Karamö, le prof virtuelLeçon 39 sur 41
Coniques : définition par foyer, directrice et excentricité
Je sais reconnaître une conique à partir de son foyer, de sa directrice et de son excentricité, et en trouver une équation cartésienne.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer la définition d'une conique par foyer, directrice et excentricité
- Reconnaître la nature d'une conique (parabole, ellipse, hyperbole) selon la valeur de l'excentricité
- Traduire la définition MF = e × MH en équation cartésienne dans un repère orthonormé
- Réduire l'équation obtenue pour identifier la conique
Avant de commencer : Distance entre deux points et distance d'un point à une droite dans un repère orthonormé ; développement et factorisation ; mise sous forme canonique d'un trinôme.
1Je découvre
Sur le toit d'une maison de Labé, Ibrahima regarde l'antenne parabolique de son oncle. Il sait qu'on l'appelle « parabolique », mais pourquoi ? Son professeur de mathématiques, M. Camara, lui répond par une expérience : « Prends un point fixe F sur une feuille et une droite fixe D. Marque tous les points M qui sont exactement à la même distance de F et de D. Tu obtiens une parabole, la forme de la coupe de ton antenne. »
Ibrahima essaie. Puis M. Camara ajoute : « Et si je te demande maintenant les points M dont la distance à F est la moitié de leur distance à D ? Ou le double ? » Ibrahima obtient alors une courbe fermée, puis une courbe en deux morceaux.
Ces trois familles de courbes, parabole, ellipse et hyperbole, sont appelées coniques. Les astronomes les retrouvent dans les trajectoires des planètes et des comètes, les ingénieurs dans les antennes, les phares et les ponts.
Comment une seule règle, « la distance au point F est proportionnelle à la distance à la droite D », suffit-elle à décrire ces trois courbes, et comment en trouver l'équation ?
2Je comprends
1. Pourquoi le mot « conique » ?
Si l'on coupe un cône de révolution par un plan qui ne passe pas par son sommet, la courbe d'intersection est une ellipse (le cercle en est un cas particulier), une parabole ou une hyperbole, suivant l'inclinaison du plan. C'est l'origine du nom. Au lycée, on ne part pas du cône : on utilise une définition plane, beaucoup plus pratique pour calculer.
2. La définition par foyer et directrice
Dans le plan, on se donne :
- une droite D, appelée directrice ;
- un point F qui n'appartient pas à D, appelé foyer ;
- un nombre réel e > 0, appelé excentricité.
Pour tout point M du plan, on note H le projeté orthogonal de M sur D ; ainsi MH = d(M, D).
Définition. La conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e est l'ensemble des points M du plan tels que :
MF = e × MH c'est-à-dire MFd(M,D) = e.
3. La nature dépend de l'excentricité
| Valeur de e | Nature de la conique | Allure |
|---|---|---|
| 0 < e < 1 | ellipse | courbe fermée, bornée |
| e = 1 | parabole | une seule branche, infinie |
| e > 1 | hyperbole | deux branches infinies |
On retient : e plus petit que 1, ellipse ; e égal à 1, parabole ; e plus grand que 1, hyperbole. Le cercle n'est pas obtenu par cette définition (il correspondrait à e = 0, sans directrice) : on le considère comme une ellipse particulière, d'excentricité nulle.
4. L'axe focal et le paramètre
La perpendiculaire à D passant par F s'appelle l'axe focal. C'est un axe de symétrie de la conique : si M vérifie MF = e × MH, son symétrique M' par rapport à cet axe vérifie la même égalité, car la symétrie conserve les distances, laisse F fixe et laisse D globalement invariante.
On note K le projeté orthogonal de F sur D et h = FK = d(F, D). Le nombre p = e × h s'appelle le paramètre de la conique.
5. Traduire la définition en équation
C'est la compétence clé. On se place dans un repère orthonormé (O ; i,j). On utilise :
- MF2 = (x - xF)2 + (y - yF)2 ;
- si D a pour équation x = k, alors d(M, D) = |x - k| ;
- si D a pour équation ax + by + c = 0, alors d(M, D) = |ax + by + c|√a2 + b2.
Comme les deux membres de MF = e × MH sont positifs, cette égalité équivaut à MF2 = e2 × MH2. Élever au carré fait disparaître la racine et la valeur absolue.
Méthode
Pour trouver une équation de la conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e :
- Je prends un point M(x ; y) quelconque et je calcule MF² avec les coordonnées.
- J'écris la distance de M à D, puis son carré (la valeur absolue disparaît).
- J'écris l'équivalence : M appartient à la conique si et seulement si MF² = e² × d(M, D)².
- Je développe, je réduis et je regroupe les termes en x², y², x, y.
- Si besoin, je mets sous forme canonique pour obtenir une équation réduite et je conclus sur la nature.
Exemple
Exemple 1. Foyer F(2 ; 0), directrice D : x = −2, excentricité e = 1.
M(x ; y) ; MF² = (x − 2)² + y² ; d(M, D) = |x + 2|, donc d(M, D)² = (x + 2)².
M appartient à la conique ⟺ (x − 2)² + y² = (x + 2)²
⟺ x² − 4x + 4 + y² = x² + 4x + 4
⟺ y² = 8x.
Comme e = 1, c'est une parabole. Son sommet est O(0 ; 0), milieu de [FK] avec K(−2 ; 0), et son axe est l'axe des abscisses.
Exemple
Exemple 2. Foyer F(1 ; 0), directrice D : x = 4, excentricité e = 1/2.
MF² = (x − 1)² + y² et d(M, D)² = (x − 4)².
M appartient à la conique ⟺ (x − 1)² + y² = (1/4)(x − 4)²
On multiplie par 4 : 4x² − 8x + 4 + 4y² = x² − 8x + 16
⟺ 3x² + 4y² = 12
⟺ x²/4 + y²/3 = 1.
Comme e = 1/2 < 1, c'est une ellipse, de centre O, qui coupe l'axe des abscisses en (−2 ; 0) et (2 ; 0), et l'axe des ordonnées en (0 ; −√3) et (0 ; √3).
Vérification avec le point (2 ; 0) : MF = 1 et d(M, D) = 2, donc MF = (1/2) × d(M, D). Juste.
Exemple
Exemple 3. Foyer F(4 ; 0), directrice D : x = 1, excentricité e = 2.
MF² = (x − 4)² + y² et d(M, D)² = (x − 1)².
M appartient à la conique ⟺ (x − 4)² + y² = 4(x − 1)²
⟺ x² − 8x + 16 + y² = 4x² − 8x + 4
⟺ 3x² − y² = 12
⟺ x²/4 − y²/12 = 1.
Comme e = 2 > 1, c'est une hyperbole de centre O ; elle coupe l'axe des abscisses en (−2 ; 0) et (2 ; 0).
Vérification avec (2 ; 0) : MF = 2 et d(M, D) = 1, donc MF = 2 × d(M, D). Juste.
6. Reconnaître une conique à partir d'une équation
Les trois exemples donnent des équations de la forme Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0 (sans terme en xy). On retiendra une règle pratique, qui sera justifiée dans les deux leçons suivantes :
- un seul des carrés x2 ou y2 apparaît : parabole (si la courbe n'est pas vide ou dégénérée) ;
- x2 et y2 ont des coefficients de même signe : ellipse (ou cercle si A = B) ;
- x2 et y2 ont des coefficients de signes contraires : hyperbole.
Attention : certaines équations de ce type représentent un ensemble vide, un point ou deux droites (cas « dégénérés ») ; c'est la réduction qui permet de trancher.
En plus pour la SM. Dans les exercices de BAC, on te demande souvent l'inverse : partir d'une équation, retrouver le foyer, la directrice et l'excentricité. C'est l'objet des leçons sur la parabole, l'ellipse et l'hyperbole.
3Je retiens
Je retiens
F foyer, D directrice (F n'est pas sur D), e > 0 excentricité, H projeté orthogonal de M sur D.
Conique = ensemble des points M tels que MF = e × MH.
0 < e < 1 : ellipse ; e = 1 : parabole ; e > 1 : hyperbole.
L'axe focal (perpendiculaire à D passant par F) est un axe de symétrie de la conique.
Paramètre : p = e × d(F, D).
Pour l'équation : MF² = e² × d(M, D)², puis développer et réduire.
Si D : x = k, alors d(M, D) = |x − k| ; si D : ax + by + c = 0, alors d(M, D) = |ax + by + c| / √(a² + b²).
4Erreurs fréquentes
- Oublier le carré de l'excentricité : de MF = e × MH on passe à MF² = e² × MH², pas à MF² = e × MH².
- Prendre la distance de M au foyer pour la distance à la directrice : d(M, D) se calcule avec l'équation de D, pas avec un point.
- Confondre les cas : e = 1/2 donne une ellipse, e = 2 donne une hyperbole ; ce n'est pas l'inverse.
- Écrire d(M, D) = x − k sans valeur absolue puis conclure sur un signe : la distance est toujours positive (le carré règle le problème).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Donne la nature de la conique d'excentricité :
a) e = 0,8 ; b) e = 1 ; c) e = √3 ; d) e = 34.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 0 < 0,8 < 1 : ellipse. b) e = 1 : parabole. c) √3 ≈ 1,73 > 1 : hyperbole. d) 0 < 34 < 1 : ellipse.
2Exercice 2
Le plan est muni d'un repère orthonormé. Détermine une équation de la conique de foyer F(0 ; 1), de directrice D : y = -1 et d'excentricité e = 1. Précise sa nature.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit M(x ; y). MF2 = x2 + (y - 1)2 et d(M, D) = |y + 1|.
M ∈ conique ⇔ x2 + (y - 1)2 = (y + 1)2 ⇔ x2 + y2 - 2y + 1 = y2 + 2y + 1 ⇔ x2 = 4y.
Comme e = 1, c'est une parabole d'équation y = x24, de sommet O et d'axe l'axe des ordonnées.
3Exercice 3
Détermine une équation de la conique de foyer F(3 ; 0), de directrice D : x = 253 et d'excentricité e = 35. Écris-la sous la forme x2a2 + y2b2 = 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
MF2 = (x - 3)2 + y2 et d(M, D)2 = (x - 253)2.
M ∈ conique ⇔ (x - 3)2 + y2 = 925(x - 253)2.
Or 925(x - 253)2 = 925(x2 - 503x + 6259) = 925x2 - 6x + 25.
L'équation devient x2 - 6x + 9 + y2 = 925x2 - 6x + 25, soit 1625x2 + y2 = 16.
On divise par 16 : x225 + y216 = 1. C'est une ellipse (e < 1), avec a = 5 et b = 4.
4Exercice 4
On considère le point F(5 ; 0) et la droite D : x = 165.
a) Détermine l'ensemble Gamma des points M tels que MF = 54 d(M, D).
b) Donne sa nature et les points où il coupe l'axe des abscisses.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) MF2 = (x - 5)2 + y2 et d(M, D)2 = (x - 165)2.
M ∈ Gamma ⇔ (x - 5)2 + y2 = 2516(x - 165)2.
2516(x2 - 325x + 25625) = 2516x2 - 10x + 16.
Donc x2 - 10x + 25 + y2 = 2516x2 - 10x + 16, soit 916x2 - y2 = 9, puis, en divisant par 9 : x216 - y29 = 1.
b) e = 54 > 1 : Gamma est une hyperbole. Avec y = 0 : x2 = 16, donc Gamma coupe l'axe des abscisses en (-4 ; 0) et (4 ; 0).
5Exercice 5
(Type BAC) Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i,j). On donne F(1 ; 1) et la droite D : x + y = 0.
a) Calcule la distance de F à D.
b) Montre que l'ensemble mathcalP des points M équidistants de F et de D a pour équation x2 - 2xy + y2 - 4x - 4y + 4 = 0.
c) Quelle est la nature de mathcalP ? Quel est son axe de symétrie ?
d) Détermine les points d'intersection de mathcalP avec les axes du repère, puis vérifie, pour l'un d'eux, qu'il est bien équidistant de F et de D.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) d(F, D) = |1 + 1|√12 + 12 = 2√2 = √2.
b) Pour M(x ; y) : MF2 = (x - 1)2 + (y - 1)2 et d(M, D)2 = (x + y)22.
M ∈ mathcalP ⇔ (x - 1)2 + (y - 1)2 = (x + y)22
⇔ 2(x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1) = x2 + 2xy + y2
⇔ 2x2 + 2y2 - 4x - 4y + 4 = x2 + 2xy + y2
⇔ x2 - 2xy + y2 - 4x - 4y + 4 = 0.
c) Les points de mathcalP sont équidistants de F et de D : e = 1, donc mathcalP est une parabole. Son axe de symétrie est l'axe focal, perpendiculaire à D et passant par F : c'est la droite d'équation y = x (elle a pour vecteur directeur (1 ; 1), normal à D, et passe par F(1 ; 1)).
d) Axe des abscisses (y = 0) : x2 - 4x + 4 = 0, soit (x - 2)2 = 0, donc x = 2 : un seul point, A(2 ; 0) (l'axe est tangent à mathcalP).
Axe des ordonnées (x = 0) : y2 - 4y + 4 = 0, soit (y - 2)2 = 0, donc y = 2 : un seul point, B(0 ; 2), symétrique de A par rapport à la droite y = x.
Vérification pour A : AF = √(2 - 1)2 + (0 - 1)2 = √2 et d(A, D) = |2 + 0|√2 = √2. Les deux distances sont égales.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
Toutes les leçons de Mathématiques · Terminale SM
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
