Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 47
Mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur
Je sais traiter le mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur uniforme dans les cas les plus généraux : lancement depuis une hauteur, vitesse à l'impact, angle de tir pour atteindre une cible.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Écrire les lois vectorielles du mouvement dans un champ de pesanteur uniforme
- Traiter un lancement depuis une hauteur et calculer le point et la vitesse d'impact
- Utiliser la conservation de l'énergie mécanique pour calculer une vitesse
- Déterminer l'angle de tir permettant d'atteindre un point donné
Avant de commencer : Mouvement d'un projectile (équations horaires, trajectoire, flèche, portée) ; second degré ; formule 1 + tan²α = 1/cos²α.
1Je découvre
Du haut d'une falaise qui domine une rivière, dans le Fouta-Djallon, Alpha lance un caillou vers l'avant et un peu vers le haut. Le caillou monte, redescend bien plus bas que son point de départ et tombe dans l'eau, loin du pied de la falaise. Son amie Kadiatou, en Terminale SM, remarque que la formule de la portée apprise en classe ne marche pas ici : le point d'arrivée n'est pas au même niveau que le point de départ.
Plus tard, au terrain, son cousin Sékou veut toucher avec un ballon une cible posée sur un muret, à 20 m de lui et à 5 m de haut. Il frappe toujours à la même vitesse. Quel angle choisir ? Kadiatou affirme qu'il existe deux réponses !
Ces situations demandent d'aller plus loin que la leçon précédente. Cette leçon concerne surtout la série SM.
Comment prévoir le mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur dans les cas généraux, et comment viser une cible ?
2Je comprends
1. Le champ de pesanteur uniforme
Au voisinage de la Terre, tout objet de masse m subit son poids P = m g. Le vecteur g est le champ de pesanteur : vertical, dirigé vers le bas, de valeur g proche de 9,8 m/s² (on prend souvent 10 m/s² dans les exercices). Dans une région de quelques kilomètres, on le considère comme uniforme : même direction, même sens, même valeur en tout point.
2. Les lois vectorielles du mouvement
Le théorème du centre d'inertie donne aG = g. Par primitives successives, avec la vitesse initiale v0 et la position initiale OM0 :
v = g t + v0 et OM = 12g t2 + v0 t + OM0
Ces deux relations contiennent tout : il suffit de les projeter sur le repère choisi. Avec Oz vertical vers le haut, un lancement depuis le point (0 ; z0) sous l'angle α :
x = (v0cosα) t et z = -12g t2 + (v0sinα) t + z0
Le mouvement reste plan : il a lieu dans le plan vertical qui contient v0.
3. La vitesse grâce à l'énergie
Le poids est la seule force ; il ne dépend que de l'altitude. L'énergie mécanique Em = 12mv2 + mgz se conserve. Entre le départ et un point d'altitude z :
v2 = v02 - 2g (z - z0)
Remarque importante : la valeur de la vitesse à une altitude donnée ne dépend pas de l'angle de tir. Un caillou lancé à 10 m/s du haut d'une falaise arrive dans l'eau avec la même vitesse, qu'on le lance vers le haut, horizontalement ou vers le bas. Seule la direction de la vitesse change.
L'angle β que fait la vitesse avec l'horizontale à l'impact vérifie tanβ = |vz|vx.
4. Viser une cible : l'angle de tir
On veut que la trajectoire passe par un point C(xC ; zC), avec une vitesse v0 fixée. En utilisant 1cos2α = 1 + tan2α, l'équation de la trajectoire devient :
z = -g x22v02 (1 + tan2α) + xtanα
En remplaçant x et z par les coordonnées de C, on obtient une équation du second degré en tanα. Selon le signe du discriminant :
- Δ > 0 : deux angles possibles, un tir tendu et un tir en cloche ;
- Δ = 0 : un seul angle (la cible est juste à la limite de portée) ;
- Δ < 0 : la cible est hors d'atteinte avec cette vitesse.
Cas d'une cible au sol (zC = 0) : sin 2α = g xCv02, ce qui donne deux angles complémentaires.
Méthode
Pour un lancement depuis une hauteur z0 :
- Je place l'origine au sol, à la verticale du point de lancement (ou au point de lancement, en notant l'altitude du sol).
- J'écris x(t) et z(t) avec z0.
- Impact au sol : je résous z(t) = 0 (second degré) et je garde la date positive.
- J'en déduis x à l'impact, puis vx et vz.
- Je vérifie la valeur de la vitesse avec l'énergie : v² = v0² + 2g z0.
Exemple
Du haut d'une falaise de 20 m, Alpha lance un caillou à v0 = 10 m/s sous α = 30° au-dessus de l'horizontale ; g = 10 m/s². Origine au pied de la falaise, au niveau de l'eau.
x = 10 cos 30° t ≈ 8,66 t ; z = −5t² + 5t + 20.
Impact : −5t² + 5t + 20 = 0, soit t² − t − 4 = 0 ; Δ = 1 + 16 = 17 ; t = (1 + √17)/2 ≈ (1 + 4,123)/2 ≈ 2,56 s (l'autre racine est négative).
Distance du pied de la falaise : x ≈ 8,66 × 2,562 ≈ 22,2 m.
Vitesse d'impact par l'énergie : v² = 10² + 2 × 10 × 20 = 500, donc v ≈ 22,4 m/s.
Contrôle : vz = −10 × 2,562 + 5 ≈ −20,6 m/s ; v² ≈ 8,66² + 20,6² ≈ 75 + 425 = 500.
Angle avec l'horizontale : tan β = 20,6/8,66 ≈ 2,38, donc β ≈ 67°.
Exemple
Viser une cible au sol à 30 m avec v0 = 20 m/s ; g = 10 m/s².
sin 2α = g d / v0² = 300/400 = 0,75.
2α ≈ 48,6° ou 2α ≈ 180° − 48,6° = 131,4°.
Donc α ≈ 24,3° (tir tendu) ou α ≈ 65,7° (tir en cloche). Les deux angles sont complémentaires : 24,3° + 65,7° = 90°.
3Je retiens
Je retiens
Champ de pesanteur uniforme : aG = g, quelle que soit la masse.
Lois vectorielles : v = g t + v0 ; OM = ½ g t² + v0 t + OM0.
Lancement depuis z0 : x = (v0 cos α) t ; z = −½gt² + (v0 sin α) t + z0.
Énergie mécanique conservée : v² = v0² − 2g(z − z0), indépendamment de l'angle de tir.
Viser un point : équation du second degré en tan α ; deux angles, un seul, ou aucun selon Δ.
Cible au sol : sin 2α = g d / v0² ; les deux angles sont complémentaires.
4Erreurs fréquentes
- Utiliser la formule de la portée d = v0² sin 2α / g quand le point d'arrivée est plus bas ou plus haut que le départ.
- Oublier z0 dans l'équation horaire z(t) quand le lancement se fait d'une certaine hauteur.
- Garder la racine négative de l'équation du second degré en t.
- Oublier la deuxième solution en tan α (ou en 2α) quand on cherche l'angle de tir.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans un repère (O, i, k) avec k vertical vers le haut, un objet part de O avec v0 = 3 i + 4 k (m/s) ; g = 10 m/s².
a) Écris v(t) et OM(t).
b) Calcule la date et les coordonnées du sommet.
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a) g = -10 k. v = 3 i + (4 - 10t) k ; OM = 3t i + (4t - 5t2) k.
b) Sommet : vz = 0 ⇔ t = 0,4 s. Alors x = 1,2 m et z = 1,6 - 0,8 = 0,8 m.
2Exercice 2
Un ballon est lancé d'une hauteur de 1,8 m avec une vitesse de 12 m/s, dans une direction quelconque (g = 10 m/s²). Avec quelle vitesse touche-t-il le sol ? Justifie que la réponse ne dépend pas de la direction du lancer.
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Conservation de l'énergie mécanique entre le départ (z0 = 1,8 m) et le sol (z = 0) : v2 = v02 + 2gz0 = 144 + 36 = 180, donc v = √180 ≈ 13,4 m/s. L'énergie mécanique ne dépend que de la valeur de la vitesse et de l'altitude, pas de la direction : le résultat est le même pour toute direction de lancer.
3Exercice 3
Du haut d'un pont, à 45 m au-dessus d'une rivière, Mariama lance horizontalement une pierre à 8 m/s (g = 10 m/s²).
a) Calcule la durée de la chute.
b) À quelle distance horizontale du point de lancement la pierre touche-t-elle l'eau ?
c) Calcule la vitesse de la pierre à l'impact.
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a) Origine au point de lancement, Oz vers le haut : z = -5t2. L'eau est à z = -45 m : 5t2 = 45, t = 3 s.
b) x = 8 × 3 = 24 m.
c) vx = 8 m/s ; vz = -30 m/s ; v = √64 + 900 = √964 ≈ 31,0 m/s. (Énergie : v2 = 64 + 2 × 10 × 45 = 964.)
4Exercice 4
Un lanceur projette un objet depuis le sol à 25 m/s (g = 10 m/s²).
a) Quelle est la portée maximale possible, et pour quel angle ?
b) Calcule la portée pour α = 30° puis pour α = 60°. Que remarques-tu ?
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a) La portée est maximale pour α = 45° : dmax = v02g = 62510 = 62,5 m.
b) α = 30° : d = 625 × sin 60°10 ≈ 54,1 m. α = 60° : d = 625 × sin 120°10 ≈ 54,1 m. Les deux portées sont égales, car sin 60° = sin 120° : deux angles complémentaires donnent la même portée.
5Exercice 5
(Type BAC) Sékou frappe un ballon depuis le sol avec une vitesse v0 = 20 m/s ; il veut toucher une cible C située à xC = 20 m et à la hauteur zC = 5 m. On néglige l'air ; g = 10 m/s².
a) Montre que l'équation de la trajectoire s'écrit z = -x280(1 + tan2α) + xtanα.
b) Montre que tanα vérifie tan2α - 4tanα + 2 = 0.
c) Déduis-en les deux angles de tir possibles.
d) Avec quelle vitesse le ballon atteint-il la cible ? Cette valeur dépend-elle de l'angle choisi ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Trajectoire : z = -g2v02cos2αx2 + xtanα. Avec 1cos2α = 1 + tan2α et g2v02 = 10800 = 180 : z = -x280(1 + tan2α) + xtanα.
b) Au point C : 5 = -40080(1 + tan2α) + 20tanα = -5 - 5tan2α + 20tanα. D'où 5tan2α - 20tanα + 10 = 0, et en divisant par 5 : tan2α - 4tanα + 2 = 0.
c) Δ = 16 - 8 = 8 ; tanα = 4 ± √82 = 2 ± √2. tanα1 = 2 + √2 ≈ 3,414, soit α1 ≈ 73,7° (tir en cloche) ; tanα2 = 2 - √2 ≈ 0,586, soit α2 ≈ 30,4° (tir tendu).
d) Énergie : vC2 = v02 - 2g zC = 400 - 100 = 300, donc vC = √300 ≈ 17,3 m/s. Cette valeur est la même pour les deux angles ; seule la direction de la vitesse en C diffère.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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