Karamö, le prof virtuelLeçon 12 sur 47
Solide glissant sur un plan incliné
Je sais résoudre les exercices de solide glissant sur un plan incliné, en montée ou en descente, avec ou sans frottement, par le théorème du centre d'inertie et par le théorème de l'énergie cinétique.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Faire le bilan des forces et les projeter dans un repère lié au plan incliné
- Établir l'accélération en descente et en montée, avec ou sans frottement
- Déterminer une force de frottement à partir de mesures
- Enchaîner plan incliné, piste horizontale et chute parabolique dans un exercice de type BAC
Avant de commencer : Les lois de Newton ; le mouvement du centre d'inertie ; le MRUV ; la projection du poids sur un plan incliné ; le mouvement d'un projectile.
1Je découvre
Au port minéralier, les ouvriers font descendre des caisses de matériel le long d'une rampe en bois inclinée, depuis la plateforme d'un camion jusqu'au sol. Sékou, stagiaire de Terminale SM, observe : sur la rampe neuve et lisse, les caisses arrivent en bas très vite ; sur la vieille rampe rugueuse, elles arrivent lentement, et certaines, plus légères, glissent à vitesse presque constante.
Le chef d'équipe, Ousmane, lui demande : « Tu fais de la physique au lycée ? Alors dis-moi quelle inclinaison donner à la rampe pour que les caisses n'arrivent pas trop vite en bas. »
Le plan incliné est un des exercices préférés du BAC. Il réunit tout ce qu'on a appris : bilan des forces, projection du poids, théorème du centre d'inertie, mouvement uniformément varié, énergie cinétique, et parfois une chute parabolique à la sortie du plan.
Comment prévoir le mouvement d'un solide qui glisse sur un plan incliné, avec ou sans frottement ?
2Je comprends
1. Le repère et les forces
On étudie un solide de masse m (son centre d'inertie G) sur un plan incliné d'un angle α par rapport à l'horizontale, dans le référentiel terrestre supposé galiléen.
On choisit un repère lié au plan :
- axe x'x parallèle au plan, orienté dans le sens du mouvement ;
- axe y'y perpendiculaire au plan, orienté vers le haut.
Forces extérieures :
- le poids P : vertical, vers le bas, P = mg ;
- la réaction normale RN : perpendiculaire au plan ;
- la force de frottement f (s'il y en a) : parallèle au plan, opposée au mouvement.
2. Projection du poids
L'angle entre le poids et la perpendiculaire au plan est égal à α. Donc :
- composante parallèle au plan : Psinα = mgsinα, dirigée vers le bas de la pente ;
- composante perpendiculaire au plan : Pcosα = mgcosα, dirigée vers le plan.
Sur l'axe y'y, il n'y a pas de mouvement : RN - mgcosα = 0, donc RN = mgcosα.
3. Les quatre situations
Théorème du centre d'inertie P + RN + f = maG, projeté sur x'x (orienté dans le sens du mouvement) :
| Situation | Relation | Accélération |
|---|---|---|
| descente sans frottement | mgsinα = ma | a = gsinα |
| descente avec frottement | mgsinα - f = ma | a = gsinα - fm |
| montée sans frottement | -mgsinα = ma | a = -gsinα |
| montée avec frottement | -mgsinα - f = ma | a = -(gsinα + fm) |
Dans tous les cas, a est constante : le mouvement est rectiligne uniformément varié. En montée, les deux forces s'opposent au mouvement : le solide ralentit plus vite qu'il n'accélère en descente.
Cas particulier : si le solide descend à vitesse constante, a = 0 et donc f = mgsinα. C'est une façon simple de mesurer la force de frottement.
Si l'énoncé donne un coefficient de frottement k, alors f = k RN = k mgcosα, et la descente devient a = g(sinα - kcosα).
Après une montée, le solide ne redescend que si la composante mgsinα l'emporte sur le frottement maximal possible ; sinon, il reste immobile en haut de sa course. Avec une force de frottement constante donnée, on vérifie simplement que mgsinα > f.
4. La méthode énergétique
Le théorème de l'énergie cinétique entre A (haut) et B (bas), pour une descente de longueur L = AB :
12mvB2 - 12mvA2 = mg Lsinα - f L
La réaction normale, perpendiculaire au déplacement, ne travaille pas. Le poids travaille comme si le solide descendait la hauteur h = Lsinα : W(P) = mgh.
Méthode
Pour résoudre un exercice de plan incliné :
- Système, référentiel terrestre galiléen, schéma avec les forces et le repère lié au plan.
- Projection sur l'axe perpendiculaire : RN = mg cos α.
- Projection sur l'axe du mouvement : j'en déduis a (signe selon montée ou descente).
- Cinématique du MRUV : v = at + v0 ; x = ½at² + v0t ; v² − v0² = 2a(x − x0).
- Contrôle par le théorème de l'énergie cinétique.
- S'il y a une suite (piste horizontale, chute), la vitesse finale devient la vitesse initiale de la phase suivante.
Exemple
Descente sans frottement. Un solide part du repos en haut d'un plan incliné de α = 30°, de longueur L = 2,5 m ; g = 10 m/s².
a = g sin 30° = 10 × 0,5 = 5 m/s².
vB² = 2aL = 2 × 5 × 2,5 = 25, donc vB = 5 m/s.
Durée : t = vB/a = 1 s.
Contrôle énergétique : ½vB² = g L sin α = 10 × 2,5 × 0,5 = 12,5, donc vB² = 25.
Exemple
Mesure du frottement. Même plan, solide de masse m = 0,5 kg ; on mesure vB = 4 m/s en bas.
a = vB²/(2L) = 16/5 = 3,2 m/s² (au lieu de 5 m/s² sans frottement).
mg sin α − f = m a, donc f = m(g sin α − a) = 0,5 × (5 − 3,2) = 0,9 N.
Exemple
Montée. Ce même solide (m = 0,5 kg, f = 0,9 N) est lancé vers le haut du plan à v0 = 6 m/s.
Sans frottement : a = −5 m/s² ; distance parcourue avant l'arrêt : d = 36/10 = 3,6 m ; durée : 1,2 s.
Avec frottement : a = −(5 + 0,9/0,5) = −(5 + 1,8) = −6,8 m/s² ; d = 36/13,6 ≈ 2,65 m.
Redescend-il ? mg sin α = 0,5 × 10 × 0,5 = 2,5 N > f = 0,9 N : oui, il redescend.
Exemple
Glissement à vitesse constante. Une caisse de 20 kg descend la vieille rampe (α = 20°) à vitesse constante ; g = 10 m/s².
a = 0, donc f = mg sin α = 20 × 10 × 0,342 ≈ 68 N.
3Je retiens
Je retiens
Repère lié au plan : axe x'x parallèle au plan (sens du mouvement), axe y'y perpendiculaire.
Poids : mg sin α le long du plan (vers le bas de la pente) ; mg cos α perpendiculairement ; RN = mg cos α.
Descente : a = g sin α − f/m ; montée : a = −(g sin α + f/m). Sans frottement, f = 0.
Mouvement rectiligne uniformément varié ; v² − v0² = 2a(x − x0).
Descente à vitesse constante : f = mg sin α.
Énergie cinétique : ½mvB² − ½mvA² = mgL sin α − fL (en descente) ; RN ne travaille pas.
4Erreurs fréquentes
- Écrire mg cos α le long du plan et mg sin α perpendiculairement : vérifie avec α = 0 (plan horizontal) : la composante le long du plan doit être nulle, donc c'est bien sin α.
- Écrire RN = mg : sur un plan incliné, RN = mg cos α < mg.
- Garder le frottement dans le même sens en montée et en descente : il s'oppose toujours au mouvement, donc il change de sens quand le solide fait demi-tour.
- Oublier de mettre la hauteur L sin α (et non L) dans le travail du poids.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un solide part du repos en haut d'un plan incliné de 20° et glisse sans frottement sur 3,0 m (g = 9,8 m/s²). Calcule son accélération, sa vitesse en bas du plan et la durée de la descente.
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a = gsin 20° = 9,8 × 0,342 ≈ 3,35 m/s². vB = √2aL = √2 × 3,35 × 3,0 ≈ √20,1 ≈ 4,48 m/s. Durée : t = vBa ≈ 4,483,35 ≈ 1,34 s.
2Exercice 2
Un palet est lancé vers le haut d'un plan incliné de 10°, sans frottement, avec une vitesse de 4 m/s (g = 9,8 m/s²). Quelle distance parcourt-il le long du plan avant de s'arrêter ?
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Axe dans le sens du mouvement (vers le haut) : a = -gsin 10° = -9,8 × 0,174 ≈ -1,70 m/s². À l'arrêt : 0 - 42 = 2 × (-1,70) d, donc d = 163,40 ≈ 4,70 m.
3Exercice 3
Un solide de 2 kg descend à vitesse constante un plan incliné de 30° (g = 10 m/s²).
a) Calcule la force de frottement et la réaction normale.
b) Calcule le rapport k = fRN. À quelle fonction trigonométrique de 30° est-il égal ?
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a) Vitesse constante : a = 0. Sur l'axe du plan : f = mgsin 30° = 2 × 10 × 0,5 = 10 N. Sur l'axe perpendiculaire : RN = mgcos 30° = 20 × 0,866 ≈ 17,3 N.
b) k = 1017,3 ≈ 0,577. C'est tan 30° : en effet k = mgsinαmgcosα = tanα.
4Exercice 4
Un solide de masse 1 kg est lâché sans vitesse en A, en haut d'un plan incliné de 30°. Il glisse jusqu'en B, avec AB = 4 m, en subissant une force de frottement constante de 2 N (g = 10 m/s²). Calcule sa vitesse en B à l'aide du théorème de l'énergie cinétique, puis vérifie avec le théorème du centre d'inertie.
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Théorème de l'énergie cinétique entre A et B : 12mvB2 - 0 = mg ABsinα - f AB = 1 × 10 × 4 × 0,5 - 2 × 4 = 20 - 8 = 12 J. Donc vB2 = 24 et vB = √24 ≈ 4,90 m/s.
Vérification : a = gsinα - fm = 5 - 2 = 3 m/s² ; vB2 = 2 × 3 × 4 = 24. Même résultat.
5Exercice 5
(Type BAC) Un petit solide de masse m = 200 g est lâché sans vitesse en A. Il descend sans frottement la ligne de plus grande pente AB d'un plan incliné de α = 30°, avec AB = 1,6 m. Il aborde ensuite une piste horizontale BC de longueur 2,0 m, où il subit une force de frottement constante de 0,4 N. En C, il quitte la piste, située à h = 0,80 m au-dessus du sol, avec une vitesse horizontale. On prend g = 10 m/s².
a) Calcule l'accélération sur AB et la vitesse en B.
b) Calcule l'accélération sur BC et la vitesse en C.
c) Établis les équations horaires du mouvement après C (origine en C, axe vertical vers le bas) et calcule la distance horizontale entre la verticale de C et le point d'impact au sol.
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a) Sur AB, sans frottement : a1 = gsin 30° = 5 m/s². vB2 = 2 × 5 × 1,6 = 16, donc vB = 4 m/s.
b) Sur BC, axe horizontal dans le sens du mouvement : -f = ma2, donc a2 = -0,40,2 = -2 m/s². vC2 = vB2 + 2a2 BC = 16 - 2 × 2 × 2,0 = 8, donc vC = √8 ≈ 2,83 m/s.
c) Après C, le solide n'est soumis qu'à son poids : a = g. Origine en C, Cx horizontal dans le sens du mouvement, Cy vertical vers le bas : x = vC t = 2,83 t et y = 12gt2 = 5t2. Le sol est atteint pour y = 0,80 m : t2 = 0,16, t = 0,4 s. Distance horizontale : x = 2,83 × 0,4 ≈ 1,13 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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