Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 47
Pendule conique
Je sais étudier un pendule qui tourne à vitesse constante sur un cercle horizontal et relier son inclinaison à sa vitesse de rotation.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Décrire le mouvement d'un pendule conique et faire le bilan des forces
- Appliquer la deuxième loi de Newton pour trouver la tension et l'angle d'inclinaison
- Établir la condition d'existence du mouvement conique
- Résoudre un problème de rupture du fil ou de vitesse limite
Avant de commencer : Le mouvement circulaire uniforme (accélération centripète a = ω²r), les lois de Newton, la projection de vecteurs et la trigonométrie du triangle rectangle.
1Je découvre
À la fête de fin d'année d'un quartier de Kindia, Aïssatou monte sur le manège des « chaises volantes ». Chaque siège est suspendu par des chaînes à un plateau qui tourne. À l'arrêt, les chaînes pendent verticalement. Dès que le manège accélère, les sièges s'écartent vers l'extérieur ; plus il tourne vite, plus les chaînes s'inclinent. À vitesse constante, chaque siège décrit un cercle horizontal et la chaîne balaie la surface d'un cône.
Son frère Alpha reproduit l'expérience avec une bille attachée à une ficelle qu'il fait tourner au-dessus de sa main. Il constate que, s'il tourne trop lentement, la bille ne s'écarte pas du tout, et que s'il tourne trop vite, la ficelle casse.
Comment l'angle d'inclinaison d'un pendule qui tourne dépend-il de sa vitesse de rotation, et quelle force le fil doit-il supporter ?
2Je comprends
1. Définition du pendule conique
Un pendule conique est un pendule simple (point matériel M de masse m, fil inextensible de masse négligeable et de longueur l, accroché en O) qui tourne à vitesse angulaire constante ω autour de l'axe vertical passant par O.
En régime permanent :
- le fil garde un angle constant α avec la verticale ;
- le point M décrit un cercle horizontal de centre H (projection de O sur le plan du cercle) et de rayon r = HM = lsinα ;
- le fil décrit la surface d'un cône de sommet O : d'où le nom.
Le mouvement de M est donc circulaire uniforme.
2. Bilan des forces et accélération
Référentiel terrestre supposé galiléen, frottements négligés. Le point M est soumis à :
- son poids P, vertical vers le bas, P = mg ;
- la tension T du fil, dirigée de M vers O.
Le mouvement étant circulaire uniforme, l'accélération est centripète : dirigée de M vers le centre H du cercle, horizontale, de valeur a = ω2 r = v2r.
Attention : le centre du cercle est H, pas O.
3. Application de la deuxième loi de Newton
P + T = ma. On projette sur deux axes :
- axe horizontal un (de M vers H) : Tsinα = mω2 r = mω2 lsinα ;
- axe vertical (vers le haut) : Tcosα - mg = 0 (pas d'accélération verticale).
De la première équation, comme sinα ≠ 0 :
T = mω2 l
En reportant dans la seconde : mω2 lcosα = mg, d'où :
cosα = gω2 l
On obtient aussi une relation utile en divisant les deux équations : tanα = ω2 rg = v2rg.
Autre forme de la tension : T = mgcosα.
4. Condition d'existence
Un cosinus est toujours inférieur ou égal à 1. Le mouvement conique (α ≠ 0) n'existe donc que si gω2 l < 1, c'est-à-dire :
ω > ω0 = √gl
Si le pendule tourne trop lentement (ω ≤ ω0), il reste vertical et tourne sur lui-même : c'est ce qu'a observé Alpha. Remarque que ω0 est la pulsation propre du pendule simple de même longueur.
Quand ω augmente, cosα diminue, donc α augmente : le pendule s'écarte davantage. α tend vers 90° sans jamais l'atteindre, car il faudrait une tension infinie pour équilibrer le poids avec un fil horizontal.
5. Période de rotation
La durée d'un tour vaut Tr = 2πω. Avec ω2 = glcosα :
Tr = 2π√lcosαg = 2π√OHg
car OH = lcosα est la hauteur du cône. La période ne dépend que de la hauteur du cône, pas de la masse.
Méthode
Pour résoudre un exercice de pendule conique :
- Je fais le schéma : O, le centre H du cercle, le rayon r = l sin α, l'angle α.
- Je fais le bilan des forces : poids P (vertical) et tension T (le long du fil).
- J'écris que l'accélération est centripète, horizontale, vers H : a = ω²r.
- Je projette la loi de Newton : horizontalement T sin α = mω²l sin α ; verticalement T cos α = mg.
- J'en déduis T = mω²l et cos α = g/(ω²l), et je vérifie que ω > √(g/l).
- Je convertis toujours la fréquence en rad/s : ω = 2πN, avec N en tours par seconde.
Exemple
Une bille de masse m = 200 g est attachée à un fil de longueur l = 0,50 m. On la fait tourner à 60 tours par minute. On prend g = 9,8 m/s².
Vitesse angulaire : N = 60 tr/min = 1 tr/s, donc ω = 2π × 1 ≈ 6,28 rad/s.
Condition : ω₀ = √(9,8/0,50) ≈ 4,43 rad/s. Comme 6,28 > 4,43, le pendule s'incline.
ω²l = (2π)² × 0,50 ≈ 39,48 × 0,50 ≈ 19,74 m/s².
cos α = 9,8 / 19,74 ≈ 0,496, donc α ≈ 60,2°.
Tension : T = mω²l = 0,200 × 19,74 ≈ 3,95 N.
Rayon du cercle : r = l sin α = 0,50 × sin 60,2° ≈ 0,43 m.
Exemple
Quelle vitesse de rotation donne un angle α = 30° pour un fil de longueur l = 0,40 m (g = 9,8 m/s²) ?
cos α = g/(ω²l) donne ω² = g/(l cos α) = 9,8 / (0,40 × 0,866) ≈ 28,3 rad²/s².
ω ≈ 5,32 rad/s.
En tours par minute : N = ω/(2π) × 60 ≈ 50,8 tr/min.
Période de rotation : Tr = 2π/ω ≈ 1,18 s.
6. Comparaison avec le pendule simple
| Pendule simple | Pendule conique | |
|---|---|---|
| Trajectoire | arc de cercle vertical | cercle horizontal |
| Mouvement | oscillatoire, non uniforme | circulaire uniforme |
| Angle α ou θ | variable | constant |
| Tension | variable : mg(3cosθ - 2cosθm) | constante : mω2 l |
| Grandeur temporelle | T0 = 2π√lg | Tr = 2π√lcosαg |
On trouve le même principe dans le régulateur à boules des anciennes machines à vapeur : plus la machine tourne vite, plus les boules s'écartent et agissent sur l'arrivée de vapeur pour la ralentir.
3Je retiens
Je retiens
Pendule conique : pendule qui tourne à vitesse angulaire constante ω ; le fil fait un angle constant α avec la verticale.
Le point décrit un cercle horizontal de centre H et de rayon r = l sin α : mouvement circulaire uniforme, a = ω²r vers H.
Newton : T sin α = mω²l sin α et T cos α = mg.
Résultats : T = mω²l = mg/cos α ; cos α = g/(ω²l) ; tan α = v²/(rg).
Condition d'existence : ω > √(g/l). Plus ω est grand, plus α est grand.
Période de rotation : Tr = 2π/ω = 2π√(l cos α/g).
4Erreurs fréquentes
- Prendre O comme centre du cercle : le centre est H, et le rayon est r = l sin α, pas l.
- Oublier de convertir les tours par minute en rad/s : ω = 2π × N/60 si N est en tr/min.
- Écrire T = mg : le fil est incliné, sa tension est plus grande que le poids (T = mg/cos α).
- Calculer un cos α supérieur à 1 sans réagir : cela veut dire que ω est trop petit et que le pendule reste vertical.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un pendule conique de masse m = 0,50 kg et de longueur l = 1,0 m tourne en faisant un angle α = 45° avec la verticale (g = 9,8 m/s²). Calcule la vitesse angulaire, la période de rotation et la tension du fil.
Voir le corrigéCacher le corrigé
ω2 = glcosα = 9,81,0 × 0,707 ≈ 13,86 rad²/s², donc ω ≈ 3,72 rad/s.
Période : Tr = 2πω ≈ 1,69 s.
Tension : T = mgcosα = 0,50 × 9,80,707 ≈ 6,93 N (contrôle : mω2 l = 0,50 × 13,86 × 1,0 = 6,93 N).
2Exercice 2
Démontre que la tension d'un pendule conique vaut T = mω2 l et que cosα = gω2 l.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Forces : poids P et tension T ; mouvement circulaire uniforme de rayon r = lsinα, accélération centripète horizontale a = ω2 lsinα. Newton projetée horizontalement : Tsinα = mω2 lsinα, d'où T = mω2 l (sinα ≠ 0). Verticalement : Tcosα = mg, d'où mω2 lcosα = mg et cosα = gω2 l.
3Exercice 3
Une bille de masse m = 300 g, attachée à un fil de longueur l = 0,80 m, tourne en pendule conique. Le fil exerce une tension de 6,0 N (g = 9,8 m/s²). Calcule ω, la fréquence en tours par minute et l'angle α.
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ω = √Tml = √6,00,300 × 0,80 = √25 = 5,0 rad/s.
N = ω2π × 60 ≈ 47,7 tr/min.
cosα = mgT = 2,946,0 = 0,49, donc α ≈ 60,7°.
4Exercice 4
Un pendule de longueur l = 0,60 m est entraîné à 30 tours par minute (g = 9,8 m/s²). Lansana calcule cosα et trouve une valeur supérieure à 1. Explique ce qui se passe réellement.
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ω = 2π × 3060 = π ≈ 3,14 rad/s, donc ω2 l ≈ 5,92 m/s² et cosα = 9,85,92 ≈ 1,66 > 1 : impossible. En effet ω0 = √9,80,60 ≈ 4,04 rad/s et ω < ω0. Le pendule ne s'incline pas : il reste vertical et tourne sur lui-même.
5Exercice 5
(Type BAC) Une petite boule de masse m = 0,50 kg est accrochée à un fil de longueur l = 0,60 m dont l'autre extrémité est fixée en O sur un axe vertical. L'ensemble tourne à vitesse angulaire constante. Le fil casse si sa tension dépasse 20 N. On prend g = 9,8 m/s².
a) Fais le bilan des forces et représente-les sur un schéma.
b) Établis l'expression de la tension T et de cosα en fonction de m, g, l et ω.
c) Calcule la vitesse angulaire minimale pour que le fil s'incline.
d) Calcule la vitesse angulaire maximale avant la rupture du fil, puis l'angle α correspondant.
e) Le fil résiste-t-il si l'axe tourne à 90 tours par minute ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Poids P, vertical vers le bas (P = 4,9 N) ; tension T, le long du fil, vers O.
b) Newton : Tsinα = mω2 lsinα et Tcosα = mg, donc T = mω2 l et cosα = gω2 l.
c) ωmin = √gl = √9,80,60 ≈ 4,04 rad/s.
d) Tmax = mωmax2 l donne ωmax = √200,50 × 0,60 = √66,7 ≈ 8,16 rad/s (soit environ 78 tr/min). Alors cosα = mgTmax = 4,920 = 0,245, donc α ≈ 75,8°.
e) ω = 2π × 9060 = 3π ≈ 9,42 rad/s > 8,16 rad/s. La tension vaudrait 0,50 × 88,8 × 0,60 ≈ 26,6 N > 20 N : le fil casse.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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