Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 47
Pendule dans un véhicule
Je sais trouver l'inclinaison d'un pendule accroché dans un véhicule qui accélère, freine ou prend un virage, et m'en servir pour mesurer une accélération.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer la deuxième loi de Newton à un pendule immobile par rapport à un véhicule
- Calculer l'angle d'inclinaison et la tension pour un mouvement rectiligne accéléré ou freiné
- Traiter le cas d'un virage et d'une pente
- Utiliser un pendule comme accéléromètre
Avant de commencer : Les lois de Newton, le mouvement rectiligne uniformément varié, le mouvement circulaire uniforme et le pendule conique.
1Je découvre
Mamadou voyage en taxi-brousse de Mamou à Faranah. Au rétroviseur, le chauffeur a suspendu un petit chapelet qui pend au bout d'un cordon. Mamadou observe : quand le taxi roule tout droit à vitesse constante, le chapelet pend verticalement. Quand le chauffeur démarre fort, le chapelet part vers l'arrière. Quand il freine, il part vers l'avant. Et dans un virage à gauche, il s'écarte vers la droite, vers l'extérieur du virage.
Mamadou se dit que ce chapelet pourrait lui servir d'instrument de mesure : en lisant l'angle du cordon, il saurait si le chauffeur accélère beaucoup ou peu.
Quelle relation existe-t-il entre l'inclinaison d'un pendule accroché dans un véhicule et l'accélération de ce véhicule ?
2Je comprends
1. Le cadre de l'étude
On accroche un pendule (petit objet de masse m au bout d'un fil de masse négligeable) au plafond d'un véhicule. On étudie la situation où le pendule est immobile par rapport au véhicule : il a pris une inclinaison fixe α.
On raisonne dans le référentiel terrestre, supposé galiléen (le seul où l'on applique directement les lois de Newton). Dans ce référentiel, le pendule, immobile dans le véhicule, a la même accélération a que le véhicule.
Forces sur le pendule (frottements de l'air négligés) :
- le poids P = mg, vertical vers le bas ;
- la tension T du fil, dirigée le long du fil vers le point d'attache.
Deuxième loi de Newton : P + T = ma, donc T = m(a - g). Le fil s'aligne sur la direction de a - g.
2. Véhicule en mouvement rectiligne uniforme
Si le véhicule roule en ligne droite à vitesse constante, a = 0. Alors T = -P : le fil est vertical et T = mg. On ne peut pas distinguer ce cas du véhicule à l'arrêt : c'est le principe d'inertie.
3. Véhicule en mouvement rectiligne accéléré sur une route horizontale
Le véhicule accélère avec une accélération a horizontale, vers l'avant. Le fil s'incline d'un angle α vers l'arrière.
Projection de P + T = ma :
- horizontalement (sens de a) : Tsinα = ma ;
- verticalement (vers le haut) : Tcosα - mg = 0.
En divisant membre à membre :
tanα = ag
et, en utilisant sin2α + cos2α = 1 :
T = m√g2 + a2 = mgcosα
L'angle ne dépend pas de la masse ni de la longueur du fil : seulement de l'accélération.
Freinage : l'accélération est dirigée vers l'arrière ; le pendule s'incline vers l'avant, avec tanα = |a|g.
Exemple
Le taxi-brousse de Mamadou passe de 0 à 72 km/h en 10 s, en ligne droite, sur une route horizontale. Le chapelet a une masse de 100 g. On prend g = 9,8 m/s².
72 km/h = 20 m/s. Accélération supposée constante : a = Δv/Δt = 20/10 = 2,0 m/s².
tan α = a/g = 2,0/9,8 ≈ 0,204, donc α ≈ 11,5° vers l'arrière.
Tension : T = m√(g² + a²) = 0,100 × √(96,04 + 4) ≈ 0,100 × 10,0 = 1,00 N (au lieu de 0,98 N à l'arrêt).
Exemple
Pendule accéléromètre. Dans un car qui freine en ligne droite, Kadiatou lit un angle de 5,0° vers l'avant.
a = g tan α = 9,8 × tan 5,0° ≈ 9,8 × 0,0875 ≈ 0,86 m/s².
Le car ralentit donc de 0,86 m/s chaque seconde.
4. Véhicule dans un virage
Le véhicule décrit un virage circulaire de rayon R à vitesse constante v sur une route horizontale. Son accélération est centripète : horizontale, dirigée vers le centre du virage, de valeur a = v2R.
C'est exactement la situation du pendule conique : le fil s'incline vers l'extérieur du virage, avec :
tanα = v2Rg
Exemple
Un minibus prend un virage de rayon R = 100 m à 54 km/h. g = 9,8 m/s².
v = 54 km/h = 15 m/s ; a = v²/R = 225/100 = 2,25 m/s².
tan α = 2,25/9,8 ≈ 0,230, donc α ≈ 12,9° vers l'extérieur du virage.
5. Véhicule dans un ascenseur ou sur une pente (en plus pour SM)
Accélération verticale (ascenseur, véhicule qui monte verticalement) : a et g sont colinéaires. Le fil reste vertical, mais T = m(g + a) si l'accélération est dirigée vers le haut, et T = m(g - a) si elle est dirigée vers le bas.
Chariot descendant librement une pente sans frottement inclinée d'un angle β : son accélération vaut a = gsinβ, parallèle à la pente. La composante du poids selon la pente, mgsinβ, suffit à donner cette accélération au pendule : la tension n'a donc aucune composante parallèle à la pente. Le fil se place perpendiculairement à la pente, il fait donc l'angle β avec la verticale, et T = mgcosβ.
6. Tableau de synthèse
| Mouvement du véhicule | Position du fil | Angle | Tension |
|---|---|---|---|
| Rectiligne uniforme | vertical | α = 0 | T = mg |
| Accélération horizontale a | incliné vers l'arrière | tanα = ag | m√g2 + a2 |
| Freinage a | incliné vers l'avant | tanα = ag | m√g2 + a2 |
| Virage (rayon R, vitesse v) | vers l'extérieur | tanα = v2Rg | mgcosα |
| Descente libre d'une pente β | perpendiculaire à la pente | α = β | mgcosβ |
Méthode
Pour étudier un pendule immobile dans un véhicule :
- Je me place dans le référentiel terrestre galiléen et je note que le pendule a l'accélération a du véhicule.
- Je détermine a : a = Δv/Δt (rectiligne), a = v²/R (virage), a = g sin β (pente sans frottement).
- Je fais le bilan : poids P et tension T, et j'écris P + T = ma.
- Je projette sur l'horizontale (sens de a) et la verticale : T sin α = ma et T cos α = mg.
- Je divise pour obtenir tan α = a/g, puis je calcule T = m√(g² + a²).
3Je retiens
Je retiens
On applique la loi de Newton dans le référentiel terrestre : le pendule immobile dans le véhicule a l'accélération a du véhicule.
P + T = ma : le fil s'aligne sur la direction de a − g.
Vitesse constante en ligne droite : fil vertical, T = mg.
Accélération horizontale a : tan α = a/g, T = m√(g² + a²) ; fil incliné du côté opposé à a.
Virage : tan α = v²/(Rg), fil incliné vers l'extérieur.
L'angle ne dépend ni de la masse ni de la longueur du fil : un pendule sert d'accéléromètre.
4Erreurs fréquentes
- Écrire que le pendule a une accélération nulle parce qu'il est immobile : il est immobile par rapport au véhicule, mais il accélère avec lui par rapport à la Terre.
- Incliner le fil du mauvais côté : il penche du côté opposé à l'accélération (vers l'arrière quand on accélère, vers l'avant quand on freine).
- Oublier de convertir les km/h en m/s (diviser par 3,6).
- Confondre tan α = a/g avec sin α = a/g : ce sont T sin α = ma et T cos α = mg qu'on divise.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un pendule accroché dans un camion est incliné de 8,0° vers l'arrière. Le camion roule en ligne droite sur une route horizontale (g = 9,8 m/s²). Le camion accélère-t-il ou freine-t-il ? Calcule son accélération.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Le fil penche vers l'arrière : l'accélération est dirigée vers l'avant, le camion accélère. a = gtanα = 9,8 × tan 8,0° ≈ 9,8 × 0,1405 ≈ 1,38 m/s².
2Exercice 2
Une voiture roulant à 72 km/h freine uniformément et s'arrête sur 40 m. Calcule son accélération, puis l'angle d'inclinaison d'un pendule accroché dans la voiture pendant le freinage. Dans quel sens penche-t-il ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
72 km/h = 20 m/s. Relation indépendante du temps : 0 - v02 = 2a × d, donc |a| = v022d = 40080 = 5,0 m/s².
tanα = 5,09,8 ≈ 0,510, donc α ≈ 27°. L'accélération est dirigée vers l'arrière : le pendule penche vers l'avant.
3Exercice 3
Dans un virage de rayon 50 m, Fanta lit un angle de 10° sur le pendule accroché dans le car. Calcule la vitesse du car en m/s et en km/h (g = 9,8 m/s²).
Voir le corrigéCacher le corrigé
tanα = v2Rg donne v = √Rgtanα = √50 × 9,8 × 0,1763 ≈ √86,4 ≈ 9,3 m/s, soit environ 33 km/h.
4Exercice 4
Un pendule de masse 200 g est suspendu au plafond d'un ascenseur. Calcule la tension du fil quand l'ascenseur démarre vers le haut avec une accélération de 1,5 m/s², puis quand il démarre vers le bas avec la même accélération (g = 9,8 m/s²).
Voir le corrigéCacher le corrigé
Le fil reste vertical. Montée : T = m(g + a) = 0,200 × 11,3 = 2,26 N. Descente : T = m(g - a) = 0,200 × 8,3 = 1,66 N. (À l'arrêt : 1,96 N.)
5Exercice 5
(Type BAC) Un pendule de masse m = 50 g est accroché au plafond d'un minibus. On prend g = 9,8 m/s².
a) Le minibus passe de 0 à 90 km/h en 12,5 s, en ligne droite sur une route horizontale, avec une accélération constante. Calcule cette accélération.
b) Fais le bilan des forces sur le pendule et établis l'expression de l'angle α qu'il fait avec la verticale. Calcule α et la tension du fil.
c) Le minibus aborde ensuite, à 90 km/h constants, un virage de rayon 150 m. Calcule le nouvel angle et la nouvelle tension. De quel côté le pendule s'incline-t-il ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 90 km/h = 25 m/s ; a = 2512,5 = 2,0 m/s².
b) Référentiel terrestre galiléen ; forces : poids P et tension T ; le pendule a l'accélération a du minibus. P + T = ma. Horizontalement : Tsinα = ma ; verticalement : Tcosα = mg. Donc tanα = ag = 2,09,8 ≈ 0,204 et α ≈ 11,5° (vers l'arrière). T = m√g2 + a2 = 0,050 × 10,0 ≈ 0,50 N.
c) a = v2R = 625150 ≈ 4,17 m/s², centripète. tanα = 4,179,8 ≈ 0,425, donc α ≈ 23°. T = 0,050 × √96,04 + 17,36 ≈ 0,050 × 10,65 ≈ 0,53 N. Le pendule s'incline vers l'extérieur du virage.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
