Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 47
Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique
Je sais étudier le mouvement d'une particule chargée dans un champ électrique uniforme : accélération, freinage et déviation.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Exprimer la force électrique et l'accélération d'une particule chargée dans un champ uniforme
- Calculer la vitesse acquise par une particule accélérée sous une tension U
- Établir l'équation de la trajectoire d'une particule déviée entre deux plaques
- Calculer la déviation à la sortie des plaques
Avant de commencer : Le champ électrostatique et la différence de potentiel (E = U/d), les lois de Newton, le théorème de l'énergie cinétique et le mouvement d'un projectile.
1Je découvre
Dans l'atelier de réparation de son oncle à Boké, Sékou démonte un vieux téléviseur à tube cathodique, très lourd et profond. Son oncle lui explique qu'au fond du tube, un « canon » envoie un faisceau d'électrons vers l'écran, et que des plaques ou des bobines dévient ce faisceau pour dessiner l'image point par point.
Sékou est intrigué : un électron est si léger qu'on ne peut pas le pousser avec la main. Comment peut-on le lancer à grande vitesse, puis le faire tourner à gauche, à droite, en haut ou en bas avec précision ?
La réponse tient en une force : celle qu'exerce un champ électrique sur une charge. C'est le même principe que celui du mouvement d'un projectile dans le champ de pesanteur, mais avec une force électrique à la place du poids.
Comment une particule chargée se déplace-t-elle dans un champ électrique uniforme, et comment calculer sa vitesse et sa déviation ?
2Je comprends
1. La force électrique
Une particule de charge q placée dans un champ électrique E subit la force électrique :
F = qE
- si q > 0 (proton, ion positif, particule α) : F a le même sens que E ;
- si q < 0 (électron) : F est de sens opposé à E.
Entre deux plaques planes et parallèles séparées d'une distance d et soumises à une tension U, le champ est uniforme (même valeur, même direction, même sens partout) : il est perpendiculaire aux plaques, dirigé de la plaque positive vers la plaque négative, et vaut :
E = Ud (E en V/m, U en V, d en m)
Le poids est négligeable. Pour un électron (me = 9,1 × 10-31 kg, e = 1,6 × 10-19 C) dans un champ de 5 000 V/m : P = me g ≈ 8,9 × 10-30 N alors que F = eE = 8,0 × 10-16 N, soit environ cent millions de fois plus. On néglige donc toujours le poids des particules devant la force électrique.
2. L'accélération de la particule
La deuxième loi de Newton, dans le référentiel du laboratoire supposé galiléen, donne qE = ma :
a = qmE
Dans un champ uniforme, a est constant. On retrouve exactement la situation d'un projectile dans le champ de pesanteur (a = g) : le mouvement est rectiligne uniformément varié si la vitesse initiale est nulle ou parallèle au champ, et parabolique sinon.
3. Accélérer ou freiner une particule
La particule entre dans le champ avec une vitesse parallèle au champ (ou sans vitesse). Le travail de la force électrique entre deux points A et B vaut WAB = qUAB, où UAB = VA - VB.
Théorème de l'énergie cinétique :
12mvB2 - 12mvA2 = qUAB
Si la particule part sans vitesse : vB = √2qUABm.
- Si qUAB > 0, la particule est accélérée.
- Si qUAB < 0, elle est freinée, et peut s'arrêter puis repartir en arrière.
Un électron (q = -e) est accéléré s'il va vers les potentiels croissants (de la cathode vers l'anode).
Exemple
Un électron part sans vitesse de la cathode C et est accéléré vers l'anode A sous la tension U = U_AC = 1 000 V.
W = qU_CA = (−e)(V_C − V_A) = e × U_AC = 1,6 × 10⁻¹⁹ × 1 000 = 1,6 × 10⁻¹⁶ J.
½ m v² = 1,6 × 10⁻¹⁶ J, donc v² = 2 × 1,6 × 10⁻¹⁶ / 9,1 × 10⁻³¹ ≈ 3,52 × 10¹⁴ m²/s².
v ≈ 1,88 × 10⁷ m/s, soit environ 6 % de la vitesse de la lumière : la mécanique de Newton reste utilisable.
4. Déviation par un champ perpendiculaire à la vitesse
Une particule de charge q et de masse m entre en O, avec une vitesse v0 horizontale, entre deux plaques horizontales de longueur l, séparées de d et soumises à la tension U. On prend le repère (O, i, j) avec i selon v0 et j vertical, et on choisit les signes pour que la force soit dirigée selon +j (vers la plaque qui attire la particule).
Accélération : ax = 0 et ay = |q|Em = |q|Umd.
Vitesse (conditions initiales vx(0) = v0, vy(0) = 0) : vx = v0 et vy = |q|Umdt.
Position (départ en O) : x = v0 t et y = 12|q|Umdt2.
En éliminant le temps (t = xv0), on obtient l'équation de la trajectoire :
y = |q|U2mdv02 x2
La trajectoire entre les plaques est un arc de parabole. Elle est déviée vers la plaque positive pour un électron, vers la plaque négative pour un ion positif.
Sortie des plaques (x = l, à l'instant tS = lv0) :
- déflexion (écart vertical) : yS = |q|Ul22mdv02 ;
- angle de déviation α entre vS et v0 : tanα = vyvx = |q|Ulmdv02.
Condition pour sortir sans heurter la plaque quand la particule entre à mi-distance : yS < d2.
Après les plaques, il n'y a plus de force : le mouvement est rectiligne uniforme dans la direction de vS.
Si la particule a été accélérée sous la tension U0 (avec 12mv02 = |q|U0), les formules deviennent : yS = Ul24dU0 et tanα = Ul2dU0. Elles ne dépendent ni de la charge ni de la masse de la particule.
Exemple
L'électron précédent (v₀ ≈ 1,875 × 10⁷ m/s, accéléré sous U₀ = 1 000 V) entre au milieu de deux plaques de longueur l = 5,0 cm, séparées de d = 2,0 cm, sous U = 100 V.
E = U/d = 100/0,020 = 5,0 × 10³ V/m.
a = eE/m = 1,6 × 10⁻¹⁹ × 5,0 × 10³ / 9,1 × 10⁻³¹ ≈ 8,79 × 10¹⁴ m/s².
Durée de traversée : t = l/v₀ = 0,050 / 1,875 × 10⁷ ≈ 2,67 × 10⁻⁹ s.
Déflexion : y = ½ a t² ≈ 0,5 × 8,79 × 10¹⁴ × 7,11 × 10⁻¹⁸ ≈ 3,1 × 10⁻³ m = 3,1 mm.
Contrôle : y = Ul²/(4dU₀) = 100 × 0,0025 / (4 × 0,020 × 1 000) = 3,125 × 10⁻³ m.
Comme 3,1 mm < d/2 = 10 mm, l'électron sort des plaques.
Déviation : tan α = Ul/(2dU₀) = 100 × 0,050 / (2 × 0,020 × 1 000) = 0,125, donc α ≈ 7,1°.
Méthode
Pour étudier une particule chargée dans un champ électrique uniforme :
- Je précise la particule (q, m), le référentiel galiléen et je néglige le poids.
- Je détermine le sens du champ (de + vers −) et celui de la force F = qE.
- Si la vitesse est parallèle au champ : théorème de l'énergie cinétique, ½mv_B² − ½mv_A² = qU_AB.
- Si la vitesse est perpendiculaire au champ : je choisis un repère, j'écris a, puis v(t), puis x(t) et y(t).
- J'élimine t pour obtenir y(x), je calcule la déflexion à x = l et tan α = v_y/v_x ; je vérifie y < d/2.
5. Tableau de synthèse
| Situation | Mouvement | Formule clé | ||
|---|---|---|---|---|
| v0 = 0 ou v0 parallèle à E | rectiligne uniformément varié | 12mvB2 - 12mvA2 = qUAB | ||
| v0 perpendiculaire à E | parabolique | \(y = frac{ | q | U}{2mdv_0^2}x^2\) |
| Hors du champ | rectiligne uniforme | v = vS constant |
3Je retiens
Je retiens
Force électrique : F = qE ; même sens que E si q > 0, sens opposé si q < 0. Le poids est négligeable.
Entre deux plaques : champ uniforme E = U/d, de la plaque + vers la plaque −.
Accélération constante : a = qE/m, analogue au mouvement d'un projectile.
Accélération sous une tension : ½mv² − ½mv₀² = qU_AB ; départ au repos : v = √(2qU/m).
Déviation (v₀ perpendiculaire à E) : y = |q|U x² / (2mdv₀²), trajectoire parabolique.
À la sortie : y_S = |q|Ul²/(2mdv₀²) et tan α = |q|Ul/(mdv₀²) ; il faut y_S < d/2.
Après les plaques : mouvement rectiligne uniforme.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de la charge : l'électron est poussé dans le sens opposé au champ, donc vers la plaque positive.
- Garder le poids dans le bilan : il est des milliards de fois plus faible que la force électrique ; on le néglige en le signalant.
- Confondre la tension accélératrice U₀ et la tension de déviation U entre les plaques.
- Utiliser x = l pour la déflexion sur l'écran : après les plaques, la trajectoire est une droite, pas la suite de la parabole.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un proton (mp = 1,67 × 10-27 kg, q = e = 1,6 × 10-19 C) part sans vitesse et est accéléré sous une tension de 2 000 V. Calcule sa vitesse finale.
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12mp v2 = eU, donc v = √2eUmp = √2 × 1,6 × 10-19 × 20001,67 × 10-27 = √3,83 × 1011 ≈ 6,2 × 105 m/s.
2Exercice 2
Un électron entre avec une vitesse v0 = 2,0 × 107 m/s dans un champ uniforme parallèle à sa vitesse, orienté de façon à le freiner. Quelle tension faut-il pour l'arrêter ?
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L'électron s'arrête quand son énergie cinétique est entièrement dissipée : 0 - 12me v02 = -eU, donc U = me v022e = 9,1 × 10-31 × 4,0 × 10143,2 × 10-19 ≈ 1,14 × 103 V (environ 1 140 V).
3Exercice 3
Entre deux plaques distantes de 4,0 cm, on applique une tension de 200 V. Calcule le champ électrique, puis la force subie par un électron et par un proton. Compare avec le poids de l'électron.
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E = 2000,040 = 5,0 × 103 V/m. La force a la même valeur pour l'électron et le proton : F = eE = 8,0 × 10-16 N (sens opposés). Poids de l'électron : 9,1 × 10-31 × 9,8 ≈ 8,9 × 10-30 N, environ 1014 fois plus petit.
4Exercice 4
Montre que, pour une particule accélérée sous la tension U0 puis déviée par des plaques (longueur l, distance d, tension U), on a tanα = Ul2dU0.
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Accélération : 12mv02 = |q|U0, donc mv02 = 2|q|U0. Déviation : tanα = vyvx = a tSv0 = |q|Umd × lv02 = |q|Uld × mv02 = |q|Uld × 2|q|U0 = Ul2dU0.
5Exercice 5
(Type BAC) Un électron pénètre en O, à égale distance de deux plaques horizontales, avec une vitesse horizontale v0 = 2,0 × 107 m/s. Les plaques ont une longueur l = 4,0 cm, sont distantes de d = 2,0 cm et soumises à la tension U = 150 V. On donne e = 1,6 × 10-19 C et me = 9,1 × 10-31 kg.
a) Justifie que l'on peut négliger le poids de l'électron.
b) Établis les équations horaires x(t) et y(t), puis l'équation de la trajectoire.
c) Calcule la déflexion à la sortie des plaques. L'électron sort-il ?
d) Calcule l'angle de déviation à la sortie.
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a) P = me g ≈ 8,9 × 10-30 N ; F = eE = eUd = 1,6 × 10-19 × 7,5 × 103 = 1,2 × 10-15 N. P est négligeable devant F.
b) ax = 0 et ay = eUme d = 1,2 × 10-159,1 × 10-31 ≈ 1,32 × 1015 m/s² (axe Oy orienté vers la plaque positive). x = v0 t et y = 12ay t2. Trajectoire : y = eU2me d v02x2 ≈ 1,32 × 10152 × 4,0 × 1014x2 ≈ 1,65 x2 (en m).
c) yS = 1,65 × (0,040)2 ≈ 2,6 × 10-3 m = 2,6 mm < d2 = 10 mm : l'électron sort.
d) tanα = ay lv02 = 1,32 × 1015 × 0,0404,0 × 1014 ≈ 0,132, donc α ≈ 7,5°.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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