Karamö, le prof virtuelLeçon 25 sur 47
Champ magnétique (fiche complémentaire)
Je sais représenter un champ magnétique par un vecteur et des lignes de champ, reconnaître un champ uniforme et calculer le champ résultant de plusieurs sources, notamment avec une aiguille aimantée.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Caractériser le vecteur champ magnétique en un point (direction, sens, norme)
- Lire et tracer un spectre magnétique, reconnaître un champ uniforme
- Additionner vectoriellement deux champs magnétiques (cas perpendiculaire et cas quelconque)
- Mesurer un champ inconnu grâce à la déviation d'une aiguille aimantée
Avant de commencer : La leçon « Le champ magnétique » (aimants, pôles, aiguille aimantée) ; les vecteurs, le théorème de Pythagore et la trigonométrie (tan, cos) ; la relation d'Al-Kashi vue en mathématiques.
1Je découvre
Pendant un camp scout près de Mamou, Ibrahima pose sa boussole sur la table, à côté d'un vieux haut-parleur démonté dont il a récupéré l'aimant. L'aiguille, qui indiquait tranquillement le nord, tourne brusquement et se bloque dans une autre direction. Il éloigne l'aimant : l'aiguille revient vers le nord. Il le rapproche doucement par le côté : l'aiguille prend une position intermédiaire, comme si elle hésitait entre deux « ordres ».
Kadiatou, sa camarade de Terminale SM, lui explique : « L'aiguille n'obéit ni à la Terre seule ni à l'aimant seul. Elle s'aligne sur la somme des deux champs. »
Ibrahima se demande alors comment on fait cette « somme », et s'il est possible, à partir de l'angle dont tourne l'aiguille, de calculer la valeur du champ de l'aimant.
Comment représenter un champ magnétique, comment additionner plusieurs champs en un même point, et comment utiliser une aiguille aimantée pour mesurer un champ ?
2Je comprends
1. Le vecteur champ magnétique
Dans la leçon précédente, tu as vu qu'un aimant, un courant électrique ou la Terre modifient les propriétés de l'espace qui les entoure : on dit qu'ils créent un champ magnétique. En chaque point M, ce champ est représenté par un vecteur champ magnétique B :
- direction : celle de l'axe d'une petite aiguille aimantée placée en M (et libre de tourner) ;
- sens : du pôle sud vers le pôle nord de l'aiguille (on dit « il entre par le sud et sort par le nord de l'aiguille ») ;
- norme : la valeur B du champ, exprimée en tesla (symbole T), mesurée avec un teslamètre (sonde à effet Hall).
Quelques ordres de grandeur :
| Source | Ordre de grandeur de B |
|---|---|
| Champ magnétique terrestre | quelques dizaines de microteslas (10-5 T) |
| Aimant d'écolier, aimant de haut-parleur | 10-2 à 10-1 T |
| Électroaimant de laboratoire | de l'ordre de 1 T |
On utilise souvent le millitesla : 1 mT = 10-3 T, et le microtesla : 1 µT = 10-6 T.
2. Lignes de champ et spectre magnétique
Une ligne de champ est une courbe tangente en chacun de ses points au vecteur B, orientée dans le sens de B. L'ensemble des lignes de champ forme le spectre magnétique ; on le visualise en saupoudrant de la limaille de fer sur une feuille posée sur l'aimant.
Propriétés à connaître :
- à l'extérieur d'un aimant, les lignes de champ sortent du pôle nord et entrent par le pôle sud ;
- deux lignes de champ ne se coupent jamais (sinon B aurait deux directions au même point) ;
- là où les lignes sont serrées, le champ est intense ; là où elles sont écartées, il est faible.
3. Le champ magnétique uniforme
Un champ est uniforme dans une région de l'espace si B a la même direction, le même sens et la même norme en tout point de cette région. Ses lignes de champ sont alors des droites parallèles, également espacées.
On obtient un champ pratiquement uniforme :
- entre les branches d'un aimant en U (loin des bords) ;
- à l'intérieur d'un long solénoïde parcouru par un courant (tu l'étudieras dans la leçon sur l'électromagnétisme) ;
- à l'échelle d'une salle de classe, le champ terrestre est lui aussi uniforme.
4. Superposition de plusieurs champs
Quand plusieurs sources agissent en même temps en un point M, le champ en M est la somme vectorielle des champs créés par chaque source seule :
B = B1 + B2 + …
C'est le principe de superposition. Attention : on additionne des vecteurs, pas des nombres. La norme du champ résultant dépend de l'angle θ entre B1 et B2 :
| Situation | Norme du champ résultant |
|---|---|
| B1 et B2 de même sens (θ = 0) | B = B1 + B2 |
| B1 et B2 de sens contraires (θ = 180°) | B = lvert B1 - B2 rvert |
| B1 ⊥ B2 (θ = 90°) | B = √B12 + B22 |
| cas général | B2 = B12 + B22 + 2B1B2cosθ |
La dernière formule vient du développement de (B1 + B2)2 = B12 + B22 + 2 B1·B2.
Exemple
En un point M, deux aimants créent des champs perpendiculaires : B1 = 3 mT et B2 = 4 mT.
Les vecteurs sont perpendiculaires, donc B = √(B1² + B2²) = √(9 + 16) = √25 = 5 mT.
Direction : si α est l'angle entre B (résultant) et B1, tan α = B2 / B1 = 4/3, donc α ≈ 53,1°.
Le champ résultant vaut 5 mT et fait un angle d'environ 53° avec B1.
Exemple
Deux champs de normes B1 = 3 mT et B2 = 2 mT font entre eux un angle θ = 60°. Calculer B.
B² = B1² + B2² + 2 B1 B2 cos θ = 9 + 4 + 2 × 3 × 2 × 0,5 = 9 + 4 + 6 = 19 (en mT²).
B = √19 ≈ 4,36 mT.
Si l'angle était θ = 120° (cos θ = −0,5) : B² = 9 + 4 − 6 = 7, soit B ≈ 2,65 mT.
Plus l'angle est grand, plus le champ résultant est faible.
5. Mesurer un champ avec une aiguille aimantée
Une aiguille aimantée mobile autour d'un axe vertical est sensible uniquement à la composante horizontale du champ. En l'absence d'autre source, elle s'oriente selon la composante horizontale Bh du champ terrestre, c'est-à-dire vers le nord magnétique.
On crée maintenant, au centre de l'aiguille, un champ horizontal B perpendiculaire au méridien magnétique (par un aimant ou une bobine). L'aiguille s'oriente selon le champ résultant Bh + B et tourne d'un angle α tel que :
tanα = BBh donc B = Bh tanα
Méthode
Pour calculer un champ résultant ou un champ inconnu :
- Je fais un schéma : je place chaque vecteur champ au point étudié, avec son sens.
- Je repère l'angle entre les vecteurs (0°, 90°, 180° ou quelconque).
- J'applique la formule adaptée (somme, différence, Pythagore ou relation avec cos θ).
- Pour la direction, j'utilise tan α dans le triangle rectangle formé par les vecteurs.
- Je donne le résultat avec l'unité (T ou mT) et un nombre raisonnable de chiffres significatifs.
Exemple
On prend Bh = 2 × 10⁻⁵ T. Un aimant crée au centre d'une boussole un champ horizontal perpendiculaire au méridien magnétique. L'aiguille tourne de α = 30°. Calculer le champ B de l'aimant.
B = Bh × tan α = 2 × 10⁻⁵ × tan 30° ≈ 2 × 10⁻⁵ × 0,577 ≈ 1,15 × 10⁻⁵ T.
Remarque : si α = 45°, alors tan α = 1 et B = Bh. C'est une façon simple de repérer qu'on a créé un champ égal à la composante horizontale terrestre.
En plus pour SM : si le champ créé B n'est pas perpendiculaire au méridien, on utilise la relation générale avec cosθ et on projette les vecteurs sur deux axes (nord et est) pour trouver l'orientation de l'aiguille.
3Je retiens
Je retiens
Vecteur champ magnétique : direction de l'aiguille aimantée, sens du sud vers le nord de l'aiguille, norme B en tesla (T).
Lignes de champ : tangentes à B, sortent du pôle nord et entrent par le pôle sud d'un aimant, ne se coupent jamais.
Champ uniforme : même vecteur B en tout point ; lignes parallèles et également espacées (aimant en U, intérieur d'un solénoïde).
Superposition : B = B1 + B2 (somme vectorielle).
Champs perpendiculaires : B = √(B1² + B2²). Cas général : B² = B1² + B2² + 2 B1 B2 cos θ.
Aiguille déviée par un champ B perpendiculaire au méridien : tan α = B / Bh.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les normes sans regarder les directions : 3 mT et 4 mT perpendiculaires ne donnent pas 7 mT mais 5 mT.
- Inverser le sens des lignes de champ : à l'extérieur d'un aimant, elles vont du nord vers le sud, mais à l'intérieur de l'aiguille, B va de son pôle sud vers son pôle nord.
- Écrire tan α = Bh / B au lieu de tan α = B / Bh : l'angle α se mesure à partir de la direction du nord (celle de Bh).
- Oublier de convertir : 1 mT = 10⁻³ T et 1 µT = 10⁻⁶ T.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Réponds par vrai ou faux et justifie.
a) Deux lignes de champ peuvent se croiser en un point où le champ est très intense.
b) Entre les branches d'un aimant en U, le champ est pratiquement uniforme.
c) Le pôle nord d'une aiguille aimantée indique le sens du champ magnétique.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Faux. En un point, B a une seule direction ; si deux lignes se coupaient, il y en aurait deux. Un champ intense se traduit par des lignes serrées, pas par des lignes qui se croisent.
b) Vrai. Loin des bords, les lignes y sont parallèles et également espacées.
c) Vrai. Le vecteur B est orienté du pôle sud vers le pôle nord de l'aiguille : le pôle nord « pointe » dans le sens du champ.
2Exercice 2
En un point M, deux sources créent des champs B1 et B2 de normes B1 = 1,5 mT et B2 = 2 mT. Calcule la norme du champ résultant lorsque :
a) les deux champs ont même direction et même sens ;
b) ils ont même direction et des sens contraires ;
c) ils sont perpendiculaires. Donne aussi l'angle entre B et B2.
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a) Même sens : B = B1 + B2 = 1,5 + 2 = 3,5 mT.
b) Sens contraires : B = lvert B1 - B2 rvert = lvert 1,5 - 2 rvert = 0,5 mT, dans le sens de B2.
c) Perpendiculaires : B = √1,52 + 22 = √2,25 + 4 = √6,25 = 2,5 mT. L'angle β entre B et B2 vérifie tanβ = B1B2 = 1,52 = 0,75, donc β ≈ 36,9°.
3Exercice 3
Deux aimants identiques créent en un point O des champs de même norme 2 mT, faisant entre eux un angle de 60°. Calcule la norme du champ résultant.
Voir le corrigéCacher le corrigé
B2 = B12 + B22 + 2B1B2cos 60° = 4 + 4 + 2 × 2 × 2 × 0,5 = 12 (en mT²), donc B = √12 = 2√3 ≈ 3,46 mT.
Autre méthode : les deux vecteurs ont même norme, le résultant est porté par la bissectrice et B = 2 B1 cos 30° = 2 × 2 × √32 = 2√3 mT.
4Exercice 4
On prend Bh = 2 × 10-5 T. Un aimant crée au centre d'une boussole un champ horizontal perpendiculaire au méridien magnétique. L'aiguille dévie de α = 40°.
a) Fais un schéma des vecteurs.
b) Calcule la valeur du champ créé par l'aimant.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) On dessine Bh vers le nord, B perpendiculaire (vers l'est ou l'ouest), et le champ résultant, diagonale du rectangle ; α est l'angle entre Bh et le résultant.
b) B = Bh tanα = 2 × 10-5 × tan 40° ≈ 2 × 10-5 × 0,839 ≈ 1,68 × 10-5 T.
5Exercice 5
(Type BAC) Au laboratoire d'un lycée de Kankan, on place une aiguille aimantée en un point O. Sans aimant, elle indique le nord magnétique ; on prend Bh = 2 × 10-5 T.
a) On approche un aimant qui crée en O un champ horizontal B1 perpendiculaire au méridien magnétique, de norme B1 = 3,5 × 10-5 T. De quel angle l'aiguille tourne-t-elle ?
b) Calcule la norme du champ horizontal total en O.
c) On retourne l'aimant (on échange ses pôles) sans le déplacer. Décris la nouvelle position de l'aiguille.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) tanα = B1Bh = 3,5 × 10-52 × 10-5 = 1,75, donc α ≈ 60,3°. L'aiguille tourne d'environ 60° à partir du nord, du côté où pointe B1.
b) B = √Bh2 + B12 = √(22 + 3,52) × 10-5 = √16,25 × 10-5 ≈ 4,03 × 10-5 T.
c) En retournant l'aimant, B1 change de sens mais garde la même norme. L'aiguille tourne toujours d'environ 60° par rapport au nord, mais de l'autre côté du méridien magnétique (position symétrique).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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