Karamö, le prof virtuelLeçon 29 sur 47
Particule chargée en mouvement dans un champ magnétique
Je sais caractériser la force de Lorentz magnétique et démontrer qu'une particule chargée lancée perpendiculairement à un champ uniforme décrit un cercle à vitesse constante, dont je calcule le rayon et la période.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Donner l'expression vectorielle de la force de Lorentz et trouver son sens
- Montrer que cette force ne modifie pas la valeur de la vitesse
- Établir la nature circulaire uniforme du mouvement et les expressions du rayon et de la période
- Exploiter ces résultats dans le spectrographe de masse
Avant de commencer : Les lois de Newton, le mouvement circulaire uniforme (accélération normale v²/R), le théorème de l'énergie cinétique, le mouvement d'une particule dans un champ électrique (accélération sous une tension U), le produit vectoriel.
1Je découvre
À l'hôpital, Fanta accompagne sa grand-mère qui passe un examen de radiothérapie. Dans le couloir, une affiche explique que certains appareils de traitement et de recherche guident des faisceaux de particules électriquement chargées grâce à de puissants aimants, pour les faire tourner ou les diriger avec précision.
Fanta, élève en Terminale SE à N'Zérékoré, se rappelle qu'en cours on a vu qu'un champ électrique accélère une particule chargée. Mais un aimant, lui, ne « pousse » ni ne « tire » vraiment une charge immobile. Comment peut-il alors faire tourner un faisceau ? Et pourquoi dans un cercle plutôt que dans une autre courbe ?
Quelle force un champ magnétique exerce-t-il sur une particule chargée en mouvement, et quelle trajectoire cette particule suit-elle ?
2Je comprends
1. La force de Lorentz magnétique
Une particule de charge q, animée d'une vitesse v dans un champ magnétique B, subit la force de Lorentz (partie magnétique) :
F = q v wedge B
Caractéristiques de F :
- direction : perpendiculaire à la fois à v et à B (donc perpendiculaire au plan qu'ils forment) ;
- sens : tel que le trièdre (qv, B, F) soit direct. Avec la règle des trois doigts de la main droite : pouce selon qv, index selon B, majeur selon F. Pour un électron (q = -e < 0), qv est opposé à v : la force est dans le sens contraire de celle subie par un proton ;
- valeur : F = lvert q rvert v B lvertsinαrvert, où α est l'angle entre v et B.
Cas particuliers :
- une particule immobile (v = 0) ne subit aucune force magnétique ;
- si v est parallèle à B, F = 0 : la particule continue en ligne droite ;
- si v ⊥ B, la force est maximale : F = lvert q rvert v B.
Le poids d'une particule élémentaire est toujours négligeable devant cette force. Par exemple, pour un électron de vitesse 1,33 × 107 m/s dans B = 2 × 10-3 T : F = e v B ≈ 4,2 × 10-15 N, alors que son poids vaut m g ≈ 8,9 × 10-30 N, soit environ 1015 fois moins.
2. La force magnétique ne change pas la valeur de la vitesse
La force de Lorentz est toujours perpendiculaire à la vitesse. Sa puissance est donc nulle :
P = F · v = 0
D'après le théorème de l'énergie cinétique, dEcdt = P = 0 : l'énergie cinétique est constante, donc la valeur de la vitesse v est constante. Le champ magnétique dévie la particule mais ne l'accélère pas au sens de la vitesse. C'est la grande différence avec le champ électrique.
3. Mouvement dans un champ uniforme, avec v0 ⊥ B
On lance une particule de masse m et de charge q avec une vitesse v0 perpendiculaire à un champ uniforme B. On néglige le poids.
Le mouvement est plan. La force est perpendiculaire à B, donc l'accélération n'a pas de composante selon B ; la vitesse initiale non plus. La particule reste dans le plan perpendiculaire à B contenant v0.
Le mouvement est uniforme (paragraphe 2) : v = v0.
Le mouvement est circulaire. Deuxième loi de Newton dans la base de Frenet : F = ma. La force est perpendiculaire à la vitesse, donc l'accélération est normale : at = dvdt = 0 et
an = v02R = lvert q rvert v0 Bm ⇒ R = m v0lvert q rvert B
Le rayon de courbure R est constant : la trajectoire est un cercle de rayon R, parcouru à vitesse constante. Le mouvement est circulaire uniforme.
Période et fréquence
T = 2π Rv0 = 2π mlvert q rvert B f = lvert q rvert B2π m
Résultat remarquable : la période ne dépend pas de la vitesse. Une particule plus rapide décrit un plus grand cercle, mais en exactement le même temps.
Exemple
Un électron (m = 9,1 × 10⁻³¹ kg, |q| = e = 1,6 × 10⁻¹⁹ C) entre avec v0 = 2 × 10⁷ m/s perpendiculairement à un champ B = 1 × 10⁻³ T. Calculer R et T.
R = m v0 / (e B) = (9,1 × 10⁻³¹ × 2 × 10⁷) / (1,6 × 10⁻¹⁹ × 1 × 10⁻³) = 1,82 × 10⁻²³ / 1,6 × 10⁻²² ≈ 0,114 m, soit environ 11,4 cm.
T = 2π m / (e B) = 2π × 9,1 × 10⁻³¹ / 1,6 × 10⁻²² ≈ 3,57 × 10⁻⁸ s.
En plus pour SM : si v0 fait un angle quelconque avec B, la composante de la vitesse parallèle à B reste constante et la projection sur le plan perpendiculaire décrit un cercle : la trajectoire est une hélice.
4. Application : le spectrographe de masse
Le spectrographe de masse sépare des ions de même charge mais de masses différentes, par exemple les isotopes d'un même élément.
- 1Chambre d'ionisation : on produit des ions de charge q, pratiquement sans vitesse.
- 2Accélération : une tension U entre deux plaques donne à chaque ion la vitesse v = √(2|q|U / m).
- 3Déviation : les ions entrent perpendiculairement dans un champ B uniforme et décrivent un demi-cercle de rayon R = mv / (|q|B).
- 4Détection : ils frappent une plaque (ou un détecteur) à la distance 2R du point d'entrée ; les plus lourds arrivent plus loin.
En combinant les deux relations : R = 1B√2 m Ulvert q rvert. Le rayon est proportionnel à √m.
Exemple
Des ions ²⁰Ne⁺ et ²²Ne⁺ (charge e) sont accélérés sous U = 1 000 V puis entrent dans B = 0,1 T. On prend m = A × 1,66 × 10⁻²⁷ kg. Calculer la distance entre les deux impacts.
Pour ²⁰Ne⁺ : m1 = 20 × 1,66 × 10⁻²⁷ = 3,32 × 10⁻²⁶ kg.
v1 = √(2 e U / m1) = √(2 × 1,6 × 10⁻¹⁹ × 1 000 / 3,32 × 10⁻²⁶) ≈ 9,82 × 10⁴ m/s.
R1 = m1 v1 / (e B) ≈ 3,32 × 10⁻²⁶ × 9,82 × 10⁴ / (1,6 × 10⁻²⁰) ≈ 0,204 m.
Pour ²²Ne⁺ : R2 = R1 × √(22/20) ≈ 0,204 × 1,049 ≈ 0,214 m.
Les impacts sont à 2R du point d'entrée : d = 2(R2 − R1) ≈ 2 × 0,010 = 0,020 m, soit environ 2 cm.
Méthode
Pour étudier une particule dans un champ magnétique :
- Je fais le bilan des forces : force de Lorentz seule (le poids est négligeable).
- Je trouve le sens de F avec la main droite (pouce q v, index B, majeur F), en tenant compte du signe de q.
- Je justifie : F ⊥ v, donc P = 0, donc v constante (mouvement uniforme).
- J'écris la deuxième loi de Newton dans la base de Frenet : |q| v B = m v² / R, d'où R = m v / (|q| B).
- J'en déduis T = 2π m / (|q| B) et j'exploite la géométrie (demi-cercle, impact à 2R).
3Je retiens
Je retiens
Force de Lorentz : F = q v ∧ B ; valeur F = |q| v B |sin α|.
Sens : trièdre (q v, B, F) direct (main droite : pouce q v, index B, majeur F).
F est perpendiculaire à v : sa puissance est nulle, la valeur de la vitesse reste constante.
Si v0 ⊥ B (B uniforme) : mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à B.
Rayon : R = m v0 / (|q| B). Période : T = 2π m / (|q| B), indépendante de la vitesse.
Spectrographe de masse : v = √(2|q|U/m), R = (1/B)√(2mU/|q|) ; R est proportionnel à √m.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de la charge : pour un électron, la force est dans le sens opposé à celui donné par la main droite avec v.
- Croire que le champ magnétique accélère la particule : il ne change que la direction de la vitesse, jamais sa valeur.
- Écrire que la période dépend de la vitesse : T = 2π m / (|q| B) ne contient pas v.
- Placer le point d'impact à la distance R au lieu de 2R dans un spectrographe (la particule fait un demi-cercle).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un proton (q = +e) se déplace vers la droite de la feuille ; le champ B est perpendiculaire à la feuille, dirigé vers le lecteur (sortant). Donne la direction et le sens de la force de Lorentz. Même question pour un électron.
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Pour le proton, qv est vers la droite, B vers le lecteur. Main droite : pouce vers la droite, index vers soi, le majeur pointe vers le bas de la feuille. On vérifie avec le produit vectoriel : si v = v i et B = B k, alors v wedge B = vB (i wedge k) = -vB j : vers le bas. Pour l'électron, la force est dans le sens contraire : vers le haut de la feuille. Dans les deux cas, la force est dans le plan de la feuille, perpendiculaire à la vitesse.
2Exercice 2
Un proton (mp = 1,67 × 10-27 kg) entre avec v0 = 1,0 × 106 m/s perpendiculairement à un champ B = 0,5 T. Calcule la force subie, le rayon de sa trajectoire et sa période.
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F = e v0 B = 1,6 × 10-19 × 1,0 × 106 × 0,5 = 8 × 10-14 N.
R = mp v0eB = 1,67 × 10-27 × 1061,6 × 10-19 × 0,5 = 1,67 × 10-218 × 10-20 ≈ 2,09 × 10-2 m, soit environ 2,1 cm.
T = 2π mpeB = 2π × 1,67 × 10-278 × 10-20 ≈ 1,31 × 10-7 s.
3Exercice 3
Démontre que le mouvement d'une particule chargée lancée perpendiculairement à un champ magnétique uniforme est circulaire uniforme, et établis l'expression du rayon.
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Système : la particule ; référentiel du laboratoire supposé galiléen ; seule force : F = qv wedge B (poids négligeable).
- F ⊥ B et v0 ⊥ B : aucune accélération ni vitesse selon B, le mouvement reste dans le plan perpendiculaire à B.
- F ⊥ v : la puissance est nulle, Ec est constante, donc v = v0 : mouvement uniforme.
- Deuxième loi de Newton : F = ma. Dans la base de Frenet, at = 0 et an = v02R = lvert q rvert v0 Bm, d'où R = m v0lvert q rvert B, constant.
Un mouvement plan, uniforme, à rayon de courbure constant est circulaire uniforme.
4Exercice 4
Un électron décrit un cercle de rayon 5 cm dans un champ B = 1 × 10-3 T.
a) Calcule sa vitesse.
b) Sous quelle tension a-t-il été accéléré à partir d'une vitesse nulle ?
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a) v = eBRm = 1,6 × 10-19 × 10-3 × 0,059,1 × 10-31 ≈ 8,79 × 106 m/s.
b) Théorème de l'énergie cinétique pendant l'accélération : 12 m v2 = eU, donc U = m v22e = 9,1 × 10-31 × (8,79 × 106)22 × 1,6 × 10-19 ≈ 220 V.
5Exercice 5
(Type BAC) Des électrons, émis avec une vitesse négligeable, sont accélérés par une tension U = 500 V. Ils entrent ensuite en O dans une région où règne un champ uniforme B = 2 × 10-3 T perpendiculaire à leur vitesse. On donne m = 9,1 × 10-31 kg, e = 1,6 × 10-19 C, g = 9,8 N/kg.
a) Calcule la vitesse v0 des électrons en O.
b) Compare le poids d'un électron à la force magnétique. Conclus.
c) Montre que le mouvement est circulaire uniforme et calcule le rayon.
d) Que devient le rayon si l'on double la tension accélératrice ?
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a) 12 m v02 = eU, donc v0 = √2eUm = √2 × 1,6 × 10-19 × 5009,1 × 10-31 ≈ 1,33 × 107 m/s.
b) P = mg = 9,1 × 10-31 × 9,8 ≈ 8,9 × 10-30 N ; F = e v0 B = 1,6 × 10-19 × 1,33 × 107 × 2 × 10-3 ≈ 4,2 × 10-15 N. Le rapport F/P est de l'ordre de 1015 : le poids est négligeable.
c) Même démonstration que dans l'exercice 3 : mouvement circulaire uniforme de rayon R = m v0eB = 9,1 × 10-31 × 1,33 × 1071,6 × 10-19 × 2 × 10-3 ≈ 3,77 × 10-2 m, soit environ 3,8 cm.
d) R = 1B√2mUe est proportionnel à √U : si U double, R est multiplié par √2, soit R ≈ 5,3 cm.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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