Karamö, le prof virtuelLeçon 35 sur 47
Oscillations électriques libres
Je sais établir l'équation différentielle d'un circuit LC, en déduire la période propre T0 = 2π√(LC), décrire les échanges d'énergie et reconnaître les régimes d'un circuit RLC amorti.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Établir l'équation différentielle de la charge dans un circuit LC idéal
- Donner la solution sinusoïdale et calculer la pulsation, la période et la fréquence propres
- Décrire les échanges d'énergie entre condensateur et bobine et montrer la conservation de l'énergie
- Reconnaître les régimes pseudo-périodique, critique et apériodique d'un circuit RLC
Avant de commencer : Le condensateur (q = C u, énergie ½ C u²) ; l'auto-induction (u = r i + L di/dt, énergie ½ L i²) ; les dérivées des fonctions sinus et cosinus ; les oscillations mécaniques (pendule élastique) vues en première.
1Je découvre
Aïssatou écoute la radio dans le salon familial à Kankan. Pour passer de la radio rurale à une station nationale, elle tourne un bouton. Son frère Ibrahima, qui fait des études d'électronique, lui explique : « Derrière ce bouton, il y a une bobine et un condensateur. Ensemble, ils forment un circuit qui "vibre" électriquement à une fréquence bien précise. En tournant le bouton, tu changes la capacité, donc la fréquence : le poste se cale sur une autre station. »
Aïssatou est surprise : elle connaît les oscillations d'un ressort ou d'une balançoire, mais pas celles d'un courant électrique. Qu'est-ce qui « se balance » dans un circuit ? Et pourquoi la fréquence dépend-elle de la bobine et du condensateur ?
Que se passe-t-il quand on relie un condensateur chargé à une bobine ? Pourquoi le courant oscille-t-il, et à quelle fréquence ?
2Je comprends
1. L'expérience
On charge un condensateur de capacité C sous une tension U0 (interrupteur en position 1), puis on bascule l'interrupteur pour le relier à une bobine d'inductance L (position 2). Un oscilloscope visualise la tension uC aux bornes du condensateur.
On observe que uC oscille : elle devient positive, puis négative, puis de nouveau positive… Si la résistance du circuit est très faible, les oscillations sont presque sinusoïdales et leur amplitude diminue lentement. Personne n'impose ce rythme de l'extérieur : ce sont des oscillations libres.
- 1Le condensateur chargé se décharge dans la bobine : le courant augmente, l'énergie passe du condensateur à la bobine.
- 2Quand le condensateur est déchargé (q = 0), le courant est maximal ; la bobine, qui s'oppose à sa variation, maintient le courant.
- 3Le courant continue et recharge le condensateur en sens inverse ; il diminue jusqu'à s'annuler (charge maximale opposée).
- 4Le condensateur se décharge en sens inverse, et le cycle recommence : c'est une oscillation.
2. Équation différentielle du circuit LC idéal
On suppose la résistance nulle (circuit LC idéal). On note q la charge de l'armature A du condensateur et on oriente le circuit de sorte que i = dqdt. Les tensions sont uC = qC et uL = Ldidt (bobine sans résistance). La loi des mailles donne uC + uL = 0 :
qC + Ld2qdt2 = 0 Longleftrightarrow d2qdt2 + 1LC q = 0
C'est l'équation d'un oscillateur harmonique, de la même forme que celle du pendule élastique (ddotx + kmx = 0).
3. Solution : oscillations sinusoïdales
La solution générale est :
q(t) = Qmcos(ω0 t + varphi) avec ω0 = 1√LC
Vérification : d2qdt2 = -ω02 Qmcos(ω0 t + varphi) = -ω02 q = -1LCq. Juste.
- ω0 : pulsation propre (rad/s) ;
- T0 = 2πω0 = 2π√LC : période propre (s) — c'est la formule de Thomson ;
- f0 = 1T0 = 12π√LC : fréquence propre (Hz) ;
- Qm et varphi dépendent des conditions initiales (on les détermine dans la leçon suivante).
L'intensité s'obtient en dérivant : i(t) = dqdt = -Qmω0sin(ω0 t + varphi). Son amplitude est Im = Qm ω0. Le courant est maximal quand la charge est nulle, et nul quand la charge est maximale : i et q sont en quadrature.
Exemple
L = 0,1 H et C = 10 µF. Calculer ω0, T0 et f0.
LC = 0,1 × 10 × 10⁻⁶ = 10⁻⁶ s², donc √(LC) = 10⁻³ s.
ω0 = 1 / √(LC) = 1 000 rad/s.
T0 = 2π√(LC) = 2π × 10⁻³ ≈ 6,28 × 10⁻³ s = 6,28 ms.
f0 = 1 / T0 ≈ 159 Hz.
4. Conservation de l'énergie
L'énergie totale du circuit est la somme de l'énergie électrique du condensateur et de l'énergie magnétique de la bobine :
E = q22C + 12L i2
Dérivons : dEdt = qCdqdt + L ididt = i(qC + Ld2qdt2) = 0 d'après l'équation différentielle.
Dans un circuit LC idéal, l'énergie totale se conserve : elle passe sans cesse du condensateur à la bobine et inversement, deux fois par période. On a :
E = Qm22C = 12L Im2
C'est l'analogue exact de l'oscillateur mécanique, où l'énergie passe de la forme potentielle élastique à la forme cinétique.
| Oscillateur mécanique | Oscillateur électrique |
|---|---|
| élongation x | charge q |
| vitesse v = dotx | intensité i = dotq |
| masse m | inductance L |
| raideur k | inverse de la capacité 1C |
| T0 = 2π√mk | T0 = 2π√LC |
Exemple
Avec L = 0,1 H et C = 10 µF, le condensateur est chargé sous U0 = 10 V. Calculer Qm, l'énergie totale et Im.
Qm = C U0 = 10 × 10⁻⁶ × 10 = 10⁻⁴ C.
E = ½ C U0² = ½ × 10 × 10⁻⁶ × 100 = 5 × 10⁻⁴ J.
Im = Qm ω0 = 10⁻⁴ × 1 000 = 0,1 A.
Vérification : ½ L Im² = ½ × 0,1 × 0,01 = 5 × 10⁻⁴ J. On retrouve bien la même énergie.
5. Circuit RLC : les oscillations amorties
Dans un circuit réel, il y a toujours une résistance R (fils, bobine). L'équation devient :
Ld2qdt2 + Rdqdt + qC = 0
et dEdt = -Ri2 < 0 : l'énergie diminue, dissipée par effet Joule. Selon la valeur de R, on observe trois régimes :
- Régime pseudo-périodique (R faible) : la tension oscille avec une amplitude qui décroît. La pseudo-période T est très proche de T0 quand l'amortissement est faible.
- Régime critique (R = Rc = 2√LC) : retour à zéro le plus rapide, sans oscillation.
- Régime apériodique (R > Rc) : retour lent à zéro, sans oscillation.
Pour obtenir des oscillations entretenues (qui ne s'amortissent pas), il faut compenser à chaque instant l'énergie perdue par effet Joule grâce à un dispositif électronique alimenté par un générateur : c'est le principe des oscillateurs des émetteurs radio.
En plus pour SM : on peut montrer que le dispositif d'entretien se comporte comme une « résistance négative » -R ; l'équation redevient alors celle du circuit LC idéal.
Méthode
Pour étudier un circuit LC ou RLC :
- J'oriente le circuit, je pose i = dq/dt, u_C = q/C, u_L = L di/dt (+ r i si la bobine a une résistance).
- J'écris la loi des mailles : j'obtiens l'équation différentielle en q.
- Circuit idéal : je reconnais q'' + ω0² q = 0, donc ω0 = 1/√(LC) et T0 = 2π√(LC).
- Pour l'énergie : E = q²/(2C) + ½ L i², constante si R = 0, décroissante sinon.
- Je convertis les unités : µF = 10⁻⁶ F, mH = 10⁻³ H, ms = 10⁻³ s.
3Je retiens
Je retiens
Circuit LC idéal : d²q/dt² + q/(LC) = 0 (oscillateur harmonique).
Solution : q(t) = Qm cos(ω0 t + φ) ; i(t) = dq/dt, Im = Qm ω0.
Pulsation propre ω0 = 1/√(LC) ; période propre T0 = 2π√(LC) (formule de Thomson) ; f0 = 1/T0.
Énergie : E = q²/(2C) + ½ L i² = Qm²/(2C) = ½ L Im², constante si R = 0.
Circuit RLC : énergie dissipée par effet Joule ; régimes pseudo-périodique (R faible), critique (R = 2√(L/C)), apériodique (R grand).
Analogie : L ↔ m, 1/C ↔ k, q ↔ x, i ↔ v.
4Erreurs fréquentes
- Écrire T0 = 2π/√(LC) ou T0 = √(LC)/(2π) : la bonne formule est T0 = 2π√(LC), et c'est ω0 qui vaut 1/√(LC).
- Oublier de convertir les microfarads et les millihenrys avant le calcul.
- Croire que le courant est maximal quand le condensateur est le plus chargé : c'est l'inverse, i est maximal quand q = 0.
- Penser que les oscillations d'un circuit réel durent indéfiniment : la résistance les amortit.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un circuit LC a une inductance L = 25 mH. Quelle capacité faut-il pour que sa fréquence propre soit de 1 kHz ?
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f0 = 12π√LC, donc C = 14π2 f02 L = 14π2 × (103)2 × 0,025 ≈ 19,87 × 105 ≈ 1,01 × 10-6 F, soit environ 1 µF.
2Exercice 2
On mesure à l'oscilloscope une période propre T0 = 4 ms pour un circuit LC dont la capacité vaut 1 µF. Calcule l'inductance de la bobine.
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T0 = 2π√LC, donc L = T024π2 C = (4 × 10-3)24π2 × 10-6 = 1,6 × 10-53,948 × 10-5 ≈ 0,405 H.
3Exercice 3
Montre que l'énergie totale d'un circuit LC idéal est constante, puis explique ce qui change si le circuit contient une résistance.
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E = q22C + 12Li2. En dérivant : dEdt = qCi + Lididt = i(qC + Ld2qdt2). D'après l'équation différentielle du circuit LC, la parenthèse est nulle : dEdt = 0, l'énergie est constante. Avec une résistance R, l'équation devient Lddotq + Rdotq + qC = 0, d'où dEdt = -Ri2 ≤ 0 : l'énergie diminue, elle est dissipée par effet Joule, et les oscillations s'amortissent.
4Exercice 4
Dans un circuit LC, à un certain instant, la charge du condensateur vaut la moitié de sa charge maximale. Quelle fraction de l'énergie totale est alors stockée dans la bobine ?
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Énergie du condensateur : q22C = (Qm/2)22C = 14·Qm22C = E4. L'énergie étant conservée, la bobine stocke E - E4 = 34E, soit 75 % de l'énergie totale.
5Exercice 5
(Type BAC) Un condensateur de capacité C = 2 µF est chargé sous U0 = 12 V, puis relié à une bobine d'inductance L = 50 mH et de résistance négligeable.
a) Établis l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t).
b) Calcule la pulsation propre et la période propre.
c) Calcule la charge maximale, l'énergie totale et l'intensité maximale du courant.
d) En réalité, la bobine a une résistance de 10 Ω. Calcule la résistance critique du circuit et indique le régime observé. Que devient l'énergie ?
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a) Avec i = dqdt, uC = qC, uL = Ldidt, la loi des mailles uC + uL = 0 donne d2qdt2 + 1LCq = 0.
b) LC = 0,05 × 2 × 10-6 = 10-7 s² ; ω0 = 1√10-7 ≈ 3 162 rad/s ; T0 = 2πω0 ≈ 1,99 × 10-3 s, soit environ 2 ms.
c) Qm = CU0 = 2 × 10-6 × 12 = 2,4 × 10-5 C ; E = 12CU02 = 12 × 2 × 10-6 × 144 = 1,44 × 10-4 J ; Im = Qmω0 = 2,4 × 10-5 × 3 162 ≈ 7,6 × 10-2 A.
d) Rc = 2√LC = 2√0,052 × 10-6 = 2√25 000 ≈ 316 Ω. Comme 10 Ω est très inférieur à Rc, le régime est pseudo-périodique, avec une pseudo-période très proche de 2 ms. L'énergie diminue progressivement : elle est transformée en chaleur par effet Joule dans la résistance.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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