Karamö, le prof virtuelLeçon 36 sur 47
Oscillations électriques libres : décharge d'un condensateur
Je sais comparer la décharge d'un condensateur dans un résistor et dans une bobine, et déterminer complètement q(t), i(t) et u_C(t) à partir des conditions initiales.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Établir et résoudre l'équation de la décharge d'un condensateur dans un résistor (constante de temps τ = RC)
- Déterminer l'amplitude et la phase à l'origine de q(t) dans un circuit LC à partir des conditions initiales
- Écrire et représenter q(t), i(t) et u_C(t) lors de la décharge dans une bobine
- Exploiter un oscillogramme pour trouver T0, U0, L ou C
Avant de commencer : La leçon « Oscillations électriques libres » (équation q'' + q/(LC) = 0, T0 = 2π√(LC), énergie) ; le condensateur (q = C u) ; la fonction exponentielle ; la dérivation des fonctions trigonométriques.
1Je découvre
Dans le club d'électronique du lycée, à Mamou, Alpha et Fatoumata disposent d'un condensateur chargé sous 10 V. Alpha le relie à un résistor : sur l'écran de l'oscilloscope, la tension descend doucement vers zéro, sans jamais changer de signe. Fatoumata, elle, le relie à une bobine : la tension descend, passe par zéro, devient négative, remonte… elle oscille.
« C'est le même condensateur, chargé de la même façon, et pourtant les deux décharges n'ont rien à voir ! » remarque Alpha. Fatoumata veut aller plus loin : elle aimerait écrire l'équation exacte de la courbe qu'elle voit, avec les bonnes valeurs, pour pouvoir prévoir la tension à n'importe quel instant.
Comment se décharge un condensateur dans un résistor, puis dans une bobine ? Et comment trouver l'expression complète de la charge et du courant à partir de l'état initial du circuit ?
2Je comprends
1. Décharge dans un résistor (dipôle RC)
Un condensateur de capacité C, chargé sous la tension U0, est relié à t = 0 à un résistor de résistance R. On oriente le circuit de sorte que i = dqdt, avec q = CuC. La loi des mailles donne uC + Ri = 0, soit :
RC duCdt + uC = 0
La solution qui vérifie uC(0) = U0 est :
uC(t) = U0 e-t/tau avec tau = RC
L'intensité vaut i = CduCdt = -U0Re-t/tau : elle est négative (le courant circule dans le sens inverse du sens choisi) et décroît en valeur absolue.
- tau = RC est la constante de temps (en secondes : Ω × F = s) ;
- à t = tau, la tension ne vaut plus que 37 % de U0 ;
- après 5tau, le condensateur est pratiquement déchargé ;
- la tension ne change jamais de signe : il n'y a pas d'oscillation. Toute l'énergie 12CU02 est dissipée en chaleur dans le résistor.
Exemple
C = 100 µF, R = 10 kΩ, U0 = 12 V. Calculer τ, u_C à t = 1 s, et la date où u_C = 1 V.
τ = RC = 10 × 10³ × 100 × 10⁻⁶ = 1 s.
u_C(1 s) = 12 × e⁻¹ ≈ 12 × 0,368 ≈ 4,4 V.
u_C = 1 V ⟺ e^(−t/τ) = 1/12 ⟺ t = τ ln 12 ≈ 2,48 s.
2. Décharge dans une bobine (circuit LC)
Le condensateur chargé sous U0 est maintenant relié, à t = 0, à une bobine d'inductance L de résistance négligeable. D'après la leçon précédente :
d2qdt2 + ω02 q = 0 ω0 = 1√LC
dont la solution générale est q(t) = Qmcos(ω0 t + varphi). Il reste à trouver Qm et varphi grâce aux conditions initiales.
Conditions initiales : à t = 0, le condensateur porte la charge Q0 = CU0 et le courant est nul (une bobine empêche le courant de varier brusquement, et il était nul avant la fermeture). Donc :
- q(0) = Qmcosvarphi = Q0 ;
- i(0) = -Qmω0sinvarphi = 0, donc sinvarphi = 0.
Avec Qm > 0 et Q0 > 0 : varphi = 0 et Qm = Q0. D'où :
q(t) = Q0cos(ω0 t) uC(t) = U0cos(ω0 t) i(t) = -Q0 ω0sin(ω0 t)
L'amplitude du courant vaut Im = Q0 ω0 = CU0 ω0 = U0√CL.
Exemple
C = 4 µF chargé sous U0 = 10 V, relié à t = 0 à une bobine L = 0,1 H (résistance négligeable). Écrire q(t) et i(t).
LC = 0,1 × 4 × 10⁻⁶ = 4 × 10⁻⁷ s² ; ω0 = 1/√(4 × 10⁻⁷) ≈ 1 581 rad/s ; T0 = 2π/ω0 ≈ 3,97 ms.
Q0 = C U0 = 4 × 10⁻⁶ × 10 = 4 × 10⁻⁵ C.
Conditions initiales q(0) = Q0 et i(0) = 0 : φ = 0.
q(t) = 4 × 10⁻⁵ cos(1 581 t) en coulombs.
i(t) = −4 × 10⁻⁵ × 1 581 sin(1 581 t) ≈ −6,3 × 10⁻² sin(1 581 t) en ampères.
Le condensateur est déchargé pour la première fois à t = T0/4 ≈ 0,99 ms ; à cet instant |i| = Im ≈ 63 mA.
3. Autres conditions initiales
Si l'on prend l'origine des dates à un autre moment, la phase change. Par exemple, si à t = 0 le condensateur est déchargé (q(0) = 0) et le courant vaut I0 > 0 :
- Qmcosvarphi = 0, donc varphi = ± π2 ;
- i(0) = -Qmω0sinvarphi = I0 > 0 impose sinvarphi < 0, donc varphi = -π2 et Qm = I0ω0.
Alors q(t) = I0ω0cos(ω0 t - π2) = I0ω0sin(ω0 t).
Méthode
Pour déterminer q(t) dans un circuit LC :
- J'écris la solution générale q(t) = Qm cos(ω0 t + φ) et je calcule ω0 = 1/√(LC).
- Je dérive : i(t) = −Qm ω0 sin(ω0 t + φ).
- Je traduis les conditions initiales : valeurs de q(0) et de i(0).
- Je résous : d'abord le signe de sin φ et cos φ, puis φ, puis Qm (toujours positive).
- J'écris q(t), i(t) et u_C(t) = q(t)/C avec les valeurs numériques, et je vérifie à t = 0.
4. Comparer les deux décharges
- Équation du premier ordre : RC du/dt + u = 0
- u_C = U0 e^(−t/τ), τ = RC
- Décroissance sans changement de signe
- Énergie dissipée en chaleur
- Équation du second ordre : d²q/dt² + q/(LC) = 0
- u_C = U0 cos(ω0 t), T0 = 2π√(LC)
- Oscillations : la tension change de signe
- Énergie échangée entre condensateur et bobine
5. Exploiter un oscillogramme
Sur l'écran d'un oscilloscope, on lit la tension uC(t) :
- la période T0 : on mesure la durée de plusieurs oscillations (plus précis) et on divise par leur nombre ;
- l'amplitude U0 : valeur maximale de la tension.
On en déduit L = T024π2 C (ou C si L est connue) et Im = CU0 ω0.
Exemple
Un oscillogramme montre 5 oscillations en 10 ms, d'amplitude 8 V. C = 1 µF. Trouver L et Im.
T0 = 10 ms / 5 = 2 ms.
L = T0² / (4π² C) = (2 × 10⁻³)² / (4π² × 10⁻⁶) = 4 × 10⁻⁶ / 3,948 × 10⁻⁵ ≈ 0,101 H.
ω0 = 2π / T0 ≈ 3 142 rad/s ; Im = C U0 ω0 = 10⁻⁶ × 8 × 3 142 ≈ 2,5 × 10⁻² A.
En réalité, la bobine a toujours une petite résistance : l'amplitude diminue lentement (régime pseudo-périodique). Si la résistance est grande, on retrouve une décharge sans oscillation, proche de celle du dipôle RC.
3Je retiens
Je retiens
Décharge dans un résistor : u_C(t) = U0 e^(−t/τ), τ = RC ; i = −(U0/R) e^(−t/τ) ; pas d'oscillation.
À t = τ : 37 % de U0 ; après 5τ : condensateur pratiquement déchargé.
Décharge dans une bobine : q(t) = Qm cos(ω0 t + φ), ω0 = 1/√(LC).
Conditions initiales q(0) = Q0 = C U0 et i(0) = 0 : φ = 0 et q(t) = Q0 cos(ω0 t), u_C(t) = U0 cos(ω0 t).
i(t) = −Q0 ω0 sin(ω0 t) ; Im = C U0 ω0 = U0 √(C/L).
Oscillogramme : T0 lu sur plusieurs périodes ; L = T0²/(4π² C).
4Erreurs fréquentes
- Choisir φ au hasard : il faut TOUJOURS utiliser les deux conditions initiales q(0) et i(0).
- Prendre une amplitude Qm négative : on garde Qm > 0 et c'est la phase φ qui porte le signe.
- Écrire u_C(t) = U0 e^(−t/τ) pour la décharge dans une bobine : l'exponentielle concerne le résistor ; avec une bobine, la tension oscille.
- Oublier que la dérivée de cos(ω0 t) est −ω0 sin(ω0 t) : le facteur ω0 donne Im = Qm ω0.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un condensateur de 470 µF, chargé sous 9 V, se décharge dans un résistor de 2,2 kΩ.
a) Calcule la constante de temps.
b) Calcule la tension au bout de 2 s.
c) Au bout de combien de temps la tension est-elle divisée par deux ?
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a) tau = RC = 2 200 × 470 × 10-6 ≈ 1,03 s.
b) uC(2) = 9 e-2/1,034 ≈ 9 × 0,145 ≈ 1,3 V.
c) uC = U02 ⇔ e-t/tau = 12 ⇔ t = tauln 2 ≈ 1,034 × 0,693 ≈ 0,72 s.
2Exercice 2
Calcule l'énergie dissipée dans le résistor de l'exercice 1 pendant toute la décharge.
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Toute l'énergie initiale du condensateur est dissipée : E = 12CU02 = 12 × 470 × 10-6 × 81 ≈ 1,9 × 10-2 J.
3Exercice 3
Dans un circuit LC, la charge s'écrit q(t) = Qmcos(ω0 t + varphi). À t = 0, le condensateur est déchargé et l'intensité vaut I0 = -20 mA. On donne ω0 = 2 000 rad/s. Détermine Qm et varphi.
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q(0) = Qmcosvarphi = 0, donc varphi = ± π2. i(0) = -Qmω0sinvarphi = I0 < 0, donc sinvarphi > 0 : varphi = +π2. Alors -Qmω0 = I0, soit Qm = lvert I0 rvertω0 = 0,0202 000 = 10-5 C.
q(t) = 10-5cos(2 000 t + π2) C, c'est-à-dire q(t) = -10-5sin(2 000 t) C.
4Exercice 4
Un oscillogramme de la tension aux bornes d'un condensateur de capacité inconnue, relié à une bobine de 0,4 H, montre 4 oscillations en 16 ms. Calcule C.
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T0 = 164 = 4 ms. C = T024π2 L = (4 × 10-3)24π2 × 0,4 = 1,6 × 10-515,79 ≈ 1,01 × 10-6 F, soit environ 1 µF.
5Exercice 5
(Type BAC) Un condensateur de capacité C = 0,5 µF est chargé sous U0 = 20 V. À t = 0, on le relie à une bobine d'inductance L = 0,2 H et de résistance négligeable.
a) Établis l'équation différentielle vérifiée par q(t).
b) Calcule ω0 et T0.
c) En utilisant les conditions initiales, établis l'expression numérique de q(t), puis celles de uC(t) et i(t).
d) Calcule la date à laquelle le courant est maximal en valeur absolue pour la première fois, et la valeur de ce maximum.
e) Vérifie la conservation de l'énergie en comparant l'énergie initiale du condensateur et l'énergie de la bobine à la date trouvée en d).
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a) Avec i = dqdt, uC = qC et uL = Ldidt, la loi des mailles uC + uL = 0 donne d2qdt2 + 1LCq = 0.
b) LC = 0,2 × 0,5 × 10-6 = 10-7 s² ; ω0 = 1√10-7 ≈ 3 162 rad/s ; T0 = 2πω0 ≈ 1,99 × 10-3 s.
c) q(t) = Qmcos(ω0 t + varphi). À t = 0 : q(0) = CU0 = 0,5 × 10-6 × 20 = 10-5 C et i(0) = 0. De i(0) = -Qmω0sinvarphi = 0 on tire varphi = 0 (car q(0) > 0), puis Qm = 10-5 C.
q(t) = 10-5cos(3 162 t) C ; uC(t) = qC = 20cos(3 162 t) V ; i(t) = -10-5 × 3 162sin(3 162 t) ≈ -3,16 × 10-2sin(3 162 t) A.
d) lvert i rvert est maximal pour la première fois quand sin(ω0 t) = 1, soit ω0 t = π2 : t = T04 ≈ 0,50 ms. Alors lvert i rvert = Im ≈ 3,16 × 10-2 A.
e) Énergie initiale : 12CU02 = 12 × 0,5 × 10-6 × 400 = 10-4 J. À t = T04, q = 0 et toute l'énergie est dans la bobine : 12LIm2 = 12 × 0,2 × (3,162 × 10-2)2 ≈ 0,1 × 10-3 = 10-4 J. Les deux valeurs sont égales : l'énergie est conservée.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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