Karamö, le prof virtuelLeçon 37 sur 47
Puissance et énergie électriques lors de la décharge
Je sais calculer l'énergie stockée dans un condensateur et dans une bobine, et expliquer comment cette énergie s'échange ou se perd pendant la décharge d'un condensateur.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Exprimer l'énergie électrique d'un condensateur et l'énergie magnétique d'une bobine
- Démontrer la conservation de l'énergie totale d'un circuit LC idéal
- Expliquer la diminution de l'énergie dans un circuit RLC par effet Joule
- Calculer une puissance instantanée et une intensité maximale à partir d'un bilan d'énergie
Avant de commencer : Les oscillations électriques libres (équation différentielle du circuit LC, période propre T0 = 2π√LC), l'auto-induction (uL = Ldidt), la dérivation des fonctions composées.
1Je découvre
Dans l'atelier de réparation de son oncle, au marché Madina, Ibrahima démonte le flash d'un vieil appareil photo. Son oncle l'arrête : « Attention, le gros condensateur peut encore être chargé, même débranché ! » Il le décharge en reliant ses bornes avec une résistance : on entend un petit claquement et la résistance tiédit.
Ibrahima se pose deux questions. D'où vient l'énergie qui chauffe la résistance, alors que plus aucune pile n'est branchée ? Et au cours précédent, le professeur a montré qu'un condensateur qui se décharge dans une bobine donne des oscillations qui peuvent durer longtemps : où va l'énergie pendant ces oscillations, et pourquoi finissent-elles quand même par s'éteindre ?
Quelle énergie un condensateur et une bobine peuvent-ils stocker, et comment cette énergie évolue-t-elle pendant la décharge ?
2Je comprends
1. Puissance électrique reçue par un dipôle
Pour un dipôle en convention récepteur, parcouru par le courant i et soumis à la tension u, la puissance instantanée reçue est :
p = u · i (en watts, W).
Si p > 0, le dipôle reçoit de l'énergie ; si p < 0, il en fournit au reste du circuit. La puissance est la vitesse à laquelle l'énergie varie : p = dEdt.
2. Énergie stockée dans un condensateur
Pour un condensateur de capacité C, en convention récepteur : q = C uC et i = dqdt = CduCdt.
La puissance reçue vaut p = uC · i = C uC duCdt = ddt(12C uC2).
L'énergie reçue par le condensateur est donc stockée sous forme d'énergie électrique :
Ee = 12 C uC2 = q22C = 12 q uC.
Un condensateur déchargé (q = 0) ne stocke aucune énergie. Quand il se décharge, il restitue cette énergie au circuit : c'est l'énergie qui chauffait la résistance dans l'atelier.
3. Énergie stockée dans une bobine
Pour une bobine idéale (résistance négligeable) d'inductance L : uL = Ldidt.
La puissance reçue vaut p = uL · i = L i didt = ddt(12L i2).
La bobine stocke une énergie magnétique :
Em = 12 L i2.
Cette énergie est liée au champ magnétique créé par le courant dans la bobine. Quand le courant s'annule, Em = 0.
4. Décharge d'un condensateur dans une résistance
On relie un condensateur chargé (tension initiale U0) à un conducteur ohmique R. Le courant diminue jusqu'à zéro, et toute l'énergie initiale 12CU02 est transformée en chaleur par effet Joule dans la résistance, dont la puissance reçue est pJ = R i2.
Bilan : énergie dissipée WJ = 12 C U02, quelle que soit la valeur de R. La résistance ne change que la durée de la décharge (constante de temps tau = RC), pas l'énergie libérée.
5. Le circuit LC idéal : l'énergie totale se conserve
On décharge un condensateur (charge initiale Q0) dans une bobine idéale. Avec i = dqdt, la loi des mailles donne :
Ld2qdt2 + qC = 0, de solution q(t) = Q0 cos(ω0 t) avec ω0 = 1√LC.
L'énergie totale du circuit est E = Ee + Em = q22C + 12L i2.
Dérivons-la par rapport au temps :
dEdt = qCdqdt + L i didt = i(qC + Ld2qdt2) = i × 0 = 0.
L'énergie totale est constante : E = Q022C = 12L Im2.
On peut le vérifier avec les expressions : i = -Q0ω0 sin(ω0 t), donc Im = Q0 ω0 et
E = Q022Ccos2(ω0 t) + 12L Q02 ω02 sin2(ω0 t). Comme Lω02 = 1C, on trouve E = Q022C(cos2 + sin2) = Q022C.
6. L'échange d'énergie entre condensateur et bobine
Pendant une oscillation, l'énergie passe sans arrêt du condensateur à la bobine, puis de la bobine au condensateur :
- quand q = ± Q0 : i = 0, toute l'énergie est électrique ;
- quand q = 0 : |i| = Im, toute l'énergie est magnétique.
Comme Ee = Q024C(1 + cos(2ω0 t)), l'énergie électrique oscille avec une période T02, deux fois plus courte que celle de la charge.
7. Le circuit RLC : l'énergie diminue
Une vraie bobine a une résistance r ; le circuit contient souvent une résistance R. Avec la résistance totale Rt, la loi des mailles devient Ld2qdt2 + Rtdqdt + qC = 0. En refaisant la dérivation :
dEdt = i(Ld2qdt2 + qC) = i × (-Rt i) = -Rt i2 < 0.
L'énergie totale diminue : elle est perdue par effet Joule, à la puissance Rt i2. Les oscillations sont amorties : c'est le régime pseudo-périodique (faible résistance) ou apériodique (forte résistance). Pour entretenir les oscillations, il faut un dispositif qui fournit à chaque instant la puissance Rt i2 perdue.
- 1Condensateur chargé : toute l'énergie est électrique, E = Q₀²/2C.
- 2Le courant s'établit : l'énergie passe dans la bobine (énergie magnétique).
- 3q = 0 et courant maximal : toute l'énergie est magnétique, E = ½ L Im².
- 4Le condensateur se recharge en sens inverse : l'énergie redevient électrique.
- 5Avec une résistance, une partie est perdue en chaleur à chaque passage : l'amplitude diminue.
Méthode
Pour résoudre un problème d'énergie dans un circuit LC ou RLC :
- J'écris l'énergie totale E = q²/2C + ½ L i² (ou avec u_C : ½ C u_C² + ½ L i²).
- Circuit LC idéal : j'écris E à l'instant initial (souvent E = ½ C U₀²) et je l'égale à E à l'instant cherché.
- J'en déduis l'inconnue (intensité, tension, charge) sans résoudre l'équation différentielle.
- Circuit RLC : je calcule l'énergie perdue par différence : W_J = E_initiale − E_finale.
- Je vérifie les unités : C en farads, L en henrys, U en volts, I en ampères, E en joules.
Exemple
Un condensateur de capacité C = 2 µF est chargé sous U₀ = 12 V, puis relié à une bobine idéale d'inductance L = 0,5 H.
a) Énergie initiale : E = ½ C U₀² = ½ × 2×10⁻⁶ × 12² = 1,44×10⁻⁴ J.
b) Intensité maximale : toute l'énergie devient magnétique quand q = 0 :
½ L Im² = E, donc Im² = 2E / L = 2 × 1,44×10⁻⁴ / 0,5 = 5,76×10⁻⁴, soit Im = 0,024 A = 24 mA.
Vérification : Q₀ = C U₀ = 2,4×10⁻⁵ C ; ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(10⁻⁶) = 1000 rad/s ; Im = Q₀ ω₀ = 0,024 A. Juste.
c) Période propre : T₀ = 2π/ω₀ = 6,28×10⁻³ s ; l'énergie électrique oscille avec la période T₀/2 = 3,14×10⁻³ s.
Exemple
Dans le même circuit, à l'instant où u_C = 6 V, quelle est l'intensité ?
Conservation : ½ C u_C² + ½ L i² = E.
½ × 2×10⁻⁶ × 6² = 3,6×10⁻⁵ J, donc ½ L i² = 1,44×10⁻⁴ − 3,6×10⁻⁵ = 1,08×10⁻⁴ J.
i² = 2 × 1,08×10⁻⁴ / 0,5 = 4,32×10⁻⁴, soit |i| ≈ 2,08×10⁻² A ≈ 20,8 mA.
Remarque : quand la tension est divisée par 2, l'énergie électrique est divisée par 4 : les trois quarts de l'énergie sont dans la bobine.
Exemple
Circuit RLC : le condensateur (C = 2 µF) part de U₀ = 12 V. Après une pseudo-période, la tension maximale n'est plus que 9 V. Énergie perdue ?
E₁ = ½ × 2×10⁻⁶ × 12² = 1,44×10⁻⁴ J ; E₂ = ½ × 2×10⁻⁶ × 9² = 8,1×10⁻⁵ J.
W_J = E₁ − E₂ = 6,3×10⁻⁵ J, soit environ 44 % de l'énergie initiale perdue en chaleur en une pseudo-période.
3Je retiens
Je retiens
Puissance instantanée reçue : p = u·i, et p = dE/dt.
Énergie électrique d'un condensateur : E_e = ½ C u_C² = q²/(2C).
Énergie magnétique d'une bobine : E_m = ½ L i².
Circuit LC idéal : E = q²/(2C) + ½ L i² = constante = Q₀²/(2C) = ½ L Im², avec Im = Q₀ ω₀.
Les énergies électrique et magnétique oscillent avec la période T₀/2.
Circuit RLC : dE/dt = −R i² ; l'énergie totale diminue par effet Joule, les oscillations sont amorties.
Décharge dans une résistance seule : toute l'énergie ½ C U₀² devient chaleur, quelle que soit R.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le carré : E = ½ C U², pas ½ C U. Si U double, l'énergie est multipliée par 4.
- Additionner les maxima : l'énergie totale n'est pas ½ C U₀² + ½ L Im². Ces deux maxima ne sont jamais atteints en même temps ; chacun vaut à lui seul l'énergie totale.
- Confondre les périodes : la charge oscille avec T₀, mais chaque énergie oscille avec T₀/2.
- Oublier les unités : 2 µF = 2×10⁻⁶ F et 50 mH = 5×10⁻² H. Une puissance de dix oubliée fausse tout le résultat.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Un condensateur de capacité C = 10 µ F est chargé sous U = 20 V.
a) Calcule sa charge Q.
b) Calcule l'énergie électrique qu'il stocke.
c) Quelle énergie stocke-t-il s'il est chargé sous 40 V ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Q = CU = 10 × 10-6 × 20 = 2 × 10-4 C.
b) Ee = 12CU2 = 12 × 10-5 × 400 = 2 × 10-3 J.
c) La tension double, donc l'énergie est multipliée par 4 : Ee = 8 × 10-3 J.
2Exercice 2
Une bobine d'inductance L = 0,2 H est parcourue par un courant d'intensité I = 0,3 A. Calcule l'énergie magnétique stockée.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Em = 12LI2 = 12 × 0,2 × 0,09 = 9 × 10-3 J.
3Exercice 3
Un circuit LC idéal comprend C = 4 µ F et L = 0,1 H. À t = 0, le condensateur porte la charge Q0 = 8 × 10-5 C et i = 0.
a) Calcule l'énergie totale du circuit.
b) Calcule ω0, puis Im de deux façons différentes.
c) Calcule l'intensité quand q = 4 × 10-5 C.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) E = Q022C = (8 × 10-5)22 × 4 × 10-6 = 6,4 × 10-98 × 10-6 = 8 × 10-4 J.
b) ω0 = 1√LC = 1√0,1 × 4 × 10-6 = 1√4 × 10-7 = 16,32 × 10-4 ≈ 1,58 × 103 rad/s.
Première méthode : Im = Q0ω0 = 8 × 10-5 × 1,58 × 103 ≈ 0,126 A.
Deuxième méthode : 12LIm2 = E, donc Im = √2EL = √1,6 × 10-30,1 = √1,6 × 10-2 ≈ 0,126 A. Les deux résultats concordent.
c) Ee = (4 × 10-5)22 × 4 × 10-6 = 1,6 × 10-98 × 10-6 = 2 × 10-4 J.
12Li2 = 8 × 10-4 - 2 × 10-4 = 6 × 10-4 J, donc i2 = 1,2 × 10-30,1 = 1,2 × 10-2 et |i| ≈ 0,110 A.
4Exercice 4
Montre, à partir de l'équation différentielle Ld2qdt2 + Rdqdt + qC = 0, que l'énergie totale d'un circuit RLC série vérifie dEdt = -Ri2. Conclus.
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E = q22C + 12Li2 avec i = dqdt.
dEdt = qCdqdt + Lididt = i(qC + Ld2qdt2).
D'après l'équation différentielle, qC + Ld2qdt2 = -Rdqdt = -Ri. Donc dEdt = -Ri2.
Conclusion : dEdt ≤ 0, l'énergie totale diminue ; elle est dissipée par effet Joule dans la résistance. Les oscillations sont amorties.
5Exercice 5
(Type BAC) Un condensateur de capacité C = 1 µ F, chargé sous U0 = 10 V, se décharge à t = 0 dans une bobine d'inductance L = 0,1 H et de résistance négligeable.
a) Établis l'équation différentielle vérifiée par la charge q(t).
b) Donne l'expression de q(t) et calcule la période propre.
c) Exprime l'énergie électrique Ee(t) et l'énergie magnétique Em(t) en fonction du temps. Montre que leur somme est constante et calcule-la.
d) La bobine a en réalité une résistance. Après quelques oscillations, la tension maximale aux bornes du condensateur est de 6 V. Calcule l'énergie dissipée par effet Joule depuis le début.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Loi des mailles : uC + uL = 0, avec uC = qC et uL = Ldidt = Ld2qdt2. D'où d2qdt2 + 1LCq = 0.
b) q(t) = Q0cos(ω0 t) car q(0) = Q0 et i(0) = 0. Q0 = CU0 = 10-5 C ; ω0 = 1√0,1 × 10-6 = 1√10-7 ≈ 3,16 × 103 rad/s ; T0 = 2π√LC = 2π × 3,16 × 10-4 ≈ 1,99 × 10-3 s, soit environ 2 ms.
c) Ee = q22C = Q022Ccos2(ω0 t).
i = -Q0ω0sin(ω0 t), donc Em = 12LQ02ω02sin2(ω0 t) = Q022Csin2(ω0 t) car Lω02 = 1C.
E = Ee + Em = Q022C : constante. E = (10-5)22 × 10-6 = 5 × 10-5 J (on retrouve 12CU02 = 12 × 10-6 × 100).
d) Quand la tension est maximale, i = 0 : toute l'énergie est électrique. E2 = 12 × 10-6 × 36 = 1,8 × 10-5 J. Énergie dissipée : WJ = 5 × 10-5 - 1,8 × 10-5 = 3,2 × 10-5 J.
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6Je vérifie
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