Karamö, le prof virtuelLeçon 2 sur 33
Inéquations du premier degré
Je sais résoudre une inéquation du premier degré, un produit ou un quotient à l'aide d'un tableau de signes, et exprimer la solution sous forme d'intervalle.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Appliquer les règles de transformation d'une inéquation, notamment le changement de sens
- Résoudre ax + b > 0 et écrire la solution avec un intervalle
- Étudier le signe de ax + b et construire un tableau de signes pour un produit ou un quotient
- Résoudre un système d'inéquations et un problème de choix économique
Avant de commencer : Les équations du premier degré (leçon précédente), les intervalles de R et la comparaison des nombres réels.
1Je découvre
Ibrahima prépare la rentrée scolaire à Mamou. Sa mère lui a confié 50 000 GNF. Il doit absolument acheter un cahier de travaux pratiques à 8 000 GNF, puis il veut prendre le plus grand nombre possible de stylos à 1 500 GNF l'un pour lui et ses petits frères.
Il appelle x le nombre de stylos. La dépense totale est 8 000 + 1 500x. Mais cette fois, il ne cherche pas une dépense égale à 50 000 GNF : il veut simplement ne pas dépasser cette somme. Il écrit donc :
8 000 + 1 500x ≤ 50 000.
Ce n'est plus une équation, c'est une inéquation. La réponse n'est plus un seul nombre, mais tout un ensemble de valeurs possibles : 0 stylo, 1 stylo, 2 stylos… jusqu'à une certaine limite.
En économie, ce type de question est partout : « à partir de combien d'articles vendus suis-je en bénéfice ? », « jusqu'à quel prix mon budget suffit-il ? », « quelle offre est la moins chère ? ».
Comment résoudre une inéquation du premier degré, et comment étudier le signe d'un produit ou d'un quotient ?
2Je comprends
1. Inéquation et intervalles
Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue. Elle utilise l'un des symboles <, >, ≤ ou ≥ . Résoudre une inéquation, c'est trouver l'ensemble de tous les réels qui la vérifient. Cet ensemble s'écrit en général sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
| Inégalité | Intervalle | Crochet |
|---|---|---|
| x > 4 | ]4 ;+∞[ | 4 exclu : crochet tourné vers l'extérieur |
| x ≥ -2 | [-2 ;+∞[ | -2 inclus : crochet tourné vers le nombre |
| x < 3 | ]-∞ ;3[ | du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert |
| -1 ≤ x < 5 | [-1 ;5[ | un crochet par borne |
2. Les règles de transformation
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres : le sens de l'inégalité ne change pas.
- On peut multiplier ou diviser par un même nombre strictement positif : le sens ne change pas.
- Si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité.
Exemple pour comprendre : 2 < 5, mais en multipliant par -1, on obtient -2 > -5. Le sens s'est bien inversé.
Exemple
Résoudre 3x − 5 > 7.
3x > 12, puis on divise par 3 (positif) : x > 4.
S = ]4 ; +∞[.
Exemple
Résoudre 2 − 5x ≤ 12.
−5x ≤ 10. On divise par −5, nombre négatif : on change le sens.
x ≥ −2.
S = [−2 ; +∞[.
Exemple
Résoudre (x − 1)/3 − (2x + 1)/2 < 1.
On multiplie par 6 (positif), le sens reste le même :
2(x − 1) − 3(2x + 1) < 6
2x − 2 − 6x − 3 < 6
−4x − 5 < 6
−4x < 11. On divise par −4 : x > −11/4.
S = ]−11/4 ; +∞[.
3. Le signe de ax + b
Pour a ≠ 0, l'expression ax + b s'annule en x0 = -ba.
Règle : ax + b est du signe de a à droite de -ba et du signe contraire de a à gauche.
| x | -∞ … -ba … +∞ |
|---|---|
| ax + b | signe de -a … 0 … signe de a |
Par exemple, 2x - 4 s'annule en 2 ; comme a = 2 > 0, il est négatif avant 2 et positif après. En revanche, 3 - x s'annule en 3 ; comme a = -1 < 0, il est positif avant 3 et négatif après.
4. Le tableau de signes d'un produit ou d'un quotient
Pour résoudre une inéquation comme (2x - 4)(3 - x) ≥ 0, on ne peut pas « isoler » x. On étudie le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes : un produit (ou un quotient) de deux facteurs de même signe est positif, de signes contraires est négatif.
Méthode
Pour résoudre une inéquation produit ou quotient :
- Je mets l'inéquation sous la forme « produit (ou quotient) comparé à 0 ».
- Je cherche la valeur qui annule chaque facteur.
- Je range ces valeurs dans l'ordre croissant dans la première ligne du tableau.
- Je remplis une ligne de signes par facteur, avec la règle du signe de ax + b.
- J'applique la règle des signes sur la dernière ligne ; pour un quotient, je place une double barre sous la valeur interdite.
- Je lis la solution en faisant attention aux bornes (incluses ou exclues).
Exemple
Résoudre (2x − 4)(3 − x) ≥ 0.
2x − 4 s'annule en 2 ; 3 − x s'annule en 3.
x : −∞ 2 3 +∞
2x − 4 : − 0 + +
3 − x : + + 0 −
produit : − 0 + 0 −
Le produit est positif ou nul entre 2 et 3, bornes comprises.
S = [2 ; 3].
Exemple
Résoudre (x + 1)/(x − 2) < 0.
x + 1 s'annule en −1 ; x − 2 s'annule en 2 (valeur interdite).
x : −∞ −1 2 +∞
x + 1 : − 0 + +
x − 2 : − − || +
quotient : + 0 − || +
Le quotient est strictement négatif entre −1 et 2, bornes exclues.
S = ]−1 ; 2[.
5. Système d'inéquations
Résoudre un système d'inéquations, c'est trouver les réels qui vérifient toutes les inéquations à la fois. On résout chacune, puis on prend l'intersection des solutions.
Exemple
Résoudre le système : 2x − 1 > 3 et x + 4 ≤ 10.
Première inéquation : 2x > 4, soit x > 2.
Seconde : x ≤ 6.
Les deux à la fois : 2 < x ≤ 6. S = ]2 ; 6].
6. Retour au problème d'Ibrahima
8 000 + 1 500x ≤ 50 000 ⇔ 1 500x ≤ 42 000 ⇔ x ≤ 28.
Comme x est un nombre entier de stylos, Ibrahima peut acheter au plus 28 stylos. Vérification : 8 000 + 1 500 × 28 = 50 000 GNF, soit exactement son budget.
3Je retiens
Je retiens
Ajouter un même nombre ou multiplier par un nombre positif : le sens ne change pas.
Multiplier ou diviser par un nombre négatif : on change le sens de l'inégalité.
ax + b (a ≠ 0) est du signe de a à droite de −b/a, du signe contraire à gauche.
Produit ou quotient : tableau de signes puis règle des signes ; la valeur qui annule un dénominateur est toujours exclue.
Système d'inéquations : on résout chacune puis on prend l'intersection.
On écrit toujours la solution sous forme d'intervalle, avec des crochets corrects.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de changer le sens en divisant par un nombre négatif : −3x < 6 donne x > −2, et non x < −2.
- Croire que « le produit est positif » veut dire « chaque facteur est positif » : deux facteurs négatifs donnent aussi un produit positif. Seul le tableau de signes est sûr.
- Inclure la valeur interdite d'un quotient : dans (x + 1)/(x − 2) ≥ 0, la valeur 2 n'est jamais solution, même avec « ≥ ».
- Mettre un crochet fermé du côté de l'infini : on écrit ]−∞ ; 3], jamais [−∞ ; 3].
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ et donne la solution sous forme d'intervalle.
a) 4x + 3 ≥ 11
b) 7 - 2x > 1
c) 3(x - 2) ≤ 5x + 4
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 4x ≥ 8, donc x ≥ 2. S = [2 ;+∞[.
b) -2x > -6. On divise par -2 (négatif), on change le sens : x < 3. S = ]-∞ ;3[.
c) 3x - 6 ≤ 5x + 4, soit -2x ≤ 10. On divise par -2 : x ≥ -5. S = [-5 ;+∞[.
2Exercice 2
Résous dans ℝ : x + 24 - x - 13 ≥ 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
On multiplie par 12 (positif) :
3(x + 2) - 4(x - 1) ≥ 12, soit 3x + 6 - 4x + 4 ≥ 12, donc -x + 10 ≥ 12 et -x ≥ 2.
On multiplie par -1 et on change le sens : x ≤ -2. S = ]-∞ ;-2].
3Exercice 3
À l'aide d'un tableau de signes, résous dans ℝ.
a) (x + 3)(2x - 5) ≤ 0
b) 1 - xx + 4 ≥ 0
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x + 3 s'annule en -3 ; 2x - 5 s'annule en 52.
| x | -∞ | -3 | 52 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 3 | - | 0 | + | + | |||
| 2x - 5 | - | - | 0 | + | |||
| produit | + | 0 | - | 0 | + |
Le produit est négatif ou nul entre -3 et 52 inclus : S = [-3 ;52].
b) 1 - x s'annule en 1 (a = -1 : positif avant 1, négatif après) ; x + 4 s'annule en -4 (valeur interdite).
| x | -∞ | -4 | 1 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 - x | + | + | 0 | - | |||
| x + 4 | - | 0 | + | + | |||
| quotient | - | ‖ | + | 0 | - |
S = ]-4 ;1] : -4 est exclu (valeur interdite), 1 est inclus (le quotient y vaut 0).
4Exercice 4
Résous le système : 3x - 2 < 7 et 2x + 5 ≥ 1. Donne ensuite les solutions entières.
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3x - 2 < 7 ⇔ 3x < 9 ⇔ x < 3. 2x + 5 ≥ 1 ⇔ 2x ≥ -4 ⇔ x ≥ -2.
Intersection : S = [-2 ;3[. Les solutions entières sont -2, -1, 0, 1 et 2.
5Exercice 5
(Type BAC) Aïssatou prépare des beignets qu'elle vend devant une école de Mamou. Ses charges fixes (bois, location du matériel) sont de 30 000 GNF par jour. Chaque beignet lui coûte 500 GNF d'ingrédients et elle le vend 1 000 GNF. On note x le nombre de beignets vendus dans la journée.
a) Montre que le bénéfice journalier est B(x) = 500x - 30 000.
b) Combien de beignets doit-elle vendre pour être en bénéfice (B(x) > 0) ?
c) Combien doit-elle en vendre pour gagner au moins 20 000 GNF ?
d) Elle ne peut pas préparer plus de 150 beignets par jour. Quel est son bénéfice maximal ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Recette : 1 000x. Coût : 500x + 30 000. Bénéfice : B(x) = 1 000x - 500x - 30 000 = 500x - 30 000.
b) 500x - 30 000 > 0 ⇔ 500x > 30 000 ⇔ x > 60. Elle est en bénéfice à partir de 61 beignets vendus.
c) 500x - 30 000 ≥ 20 000 ⇔ 500x ≥ 50 000 ⇔ x ≥ 100. Il lui faut vendre au moins 100 beignets.
d) B augmente avec x (car 500 > 0), donc le bénéfice est maximal pour x = 150 : B(150) = 75 000 - 30 000 = 45 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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