Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 33
Dérivée d'une fonction
Je sais calculer un nombre dérivé et la fonction dérivée d'une fonction usuelle, écrire l'équation d'une tangente et interpréter la dérivée comme un coût marginal.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer un nombre dérivé à partir du taux d'accroissement
- Interpréter le nombre dérivé comme le coefficient directeur de la tangente
- Utiliser le tableau des dérivées usuelles et les règles de calcul (somme, produit, quotient)
- Écrire l'équation d'une tangente
- Interpréter la dérivée en économie (coût marginal)
Avant de commencer : Les fonctions usuelles et polynômes, les limites d'une fonction (forme 0/0 simplifiée), l'équation d'une droite y = mx + p.
1Je découvre
Sur la route de Mamou, un taxi-brousse démarre à un carrefour. Pendant les premières secondes, la distance parcourue (en mètres) après t secondes est d(t) = t2.
Ibrahima, assis à l'avant, se demande : « À quelle vitesse roulons-nous exactement à la seconde 2 ? »
Il calcule des vitesses moyennes sur des intervalles de plus en plus courts qui commencent à t = 2 :
| Intervalle | Distance parcourue | Vitesse moyenne |
|---|---|---|
| de 2 s à 3 s | 9 - 4 = 5 m | 5 ÷ 1 = 5 m/s |
| de 2 s à 2,1 s | 4,41 - 4 = 0,41 m | 0,41 ÷ 0,1 = 4,1 m/s |
| de 2 s à 2,01 s | 4,0401 - 4 = 0,0401 m | 0,0401 ÷ 0,01 = 4,01 m/s |
Les vitesses moyennes se rapprochent de 4 m/s. Cette valeur limite est la vitesse instantanée à t = 2 : c'est ce qu'indiquerait le compteur.
Comment calculer ce « taux de variation instantané » d'une fonction en un point, et à quoi sert-il ?
2Je comprends
1. Taux d'accroissement et nombre dérivé
Soit f une fonction définie autour d'un nombre a, et h un nombre non nul. Le taux d'accroissement de f entre a et a + h est :
f(a + h) - f(a)h.
Si ce taux tend vers un nombre réel L quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a et que L est le nombre dérivé de f en a. On le note f'(a) :
f'(a) = limh → 0 f(a + h) - f(a)h.
Exemple
Calculer le nombre dérivé de f(x) = x² en a = 3.
f(3 + h) = (3 + h)² = 9 + 6h + h², et f(3) = 9.
Taux : [f(3 + h) − f(3)]/h = (6h + h²)/h = 6 + h (pour h ≠ 0).
Quand h → 0, 6 + h → 6. Donc f'(3) = 6.
(Pour le taxi-brousse, le même calcul en a = 2 donne 4 + h → 4 : la vitesse est bien 4 m/s.)
2. Interprétation graphique : la tangente
Le taux d'accroissement est le coefficient directeur de la droite qui passe par les points A(a ; f(a)) et M(a + h ; f(a + h)) de la courbe. Quand h tend vers 0, le point M glisse vers A et cette droite se rapproche de la tangente à la courbe en A.
Le nombre dérivé f'(a) est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
L'équation de la tangente au point d'abscisse a est :
y = f'(a)(x - a) + f(a).
Pour f(x) = x2 en a = 3 : y = 6(x - 3) + 9 = 6x - 9.
3. Fonction dérivée et dérivées usuelles
Si f est dérivable en tout point d'un intervalle, la fonction qui à x associe f'(x) s'appelle la fonction dérivée de f. On n'utilise pas la définition à chaque fois : on apprend un tableau.
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Valable sur |
|---|---|---|
| k (constante) | 0 | ℝ |
| x | 1 | ℝ |
| ax + b | a | ℝ |
| x2 | 2x | ℝ |
| xn (n ≥ 1 entier) | n xn-1 | ℝ |
| 1x | -1x2 | ℝ^* |
| √x | 12√x | ]0 ; +∞[ |
4. Règles de calcul
Soient u et v deux fonctions dérivables et k un réel.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| u + v | u' + v' |
| k u | k u' |
| u × v | u'v + uv' |
| 1v | -v'v2 |
| uv | u'v - uv'v2 |
| un | n u' un-1 |
Méthode
Pour dériver une fonction :
- Je reconnais sa forme : somme, produit par une constante, produit, quotient, puissance.
- Pour un produit ou un quotient, j'écris clairement u, v, u' et v'.
- J'applique la formule sans simplifier trop tôt.
- Je développe et réduis le numérateur (le dénominateur v² reste en général factorisé).
- Si possible, je factorise le résultat : cela servira pour étudier son signe.
Exemple
Dériver f(x) = 3x⁴ − 2x² + 5x − 7.
On dérive terme à terme : f'(x) = 3 × 4x³ − 2 × 2x + 5 − 0 = 12x³ − 4x + 5.
Exemple
Dériver g(x) = (2x + 1)(x² − 3).
u = 2x + 1, u' = 2 ; v = x² − 3, v' = 2x.
g'(x) = u'v + uv' = 2(x² − 3) + (2x + 1)(2x) = 2x² − 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x − 6.
Contrôle : g(x) = 2x³ + x² − 6x − 3, dont la dérivée est 6x² + 2x − 6. Juste.
Exemple
Dériver h(x) = (x + 2)/(x − 1) sur ℝ \ {1}.
u = x + 2, u' = 1 ; v = x − 1, v' = 1.
h'(x) = [1 × (x − 1) − (x + 2) × 1]/(x − 1)² = (x − 1 − x − 2)/(x − 1)² = −3/(x − 1)².
5. En économie : le coût marginal
Si C(x) est le coût total de production de x unités, la dérivée C'(x) s'appelle le coût marginal. Il donne une bonne approximation du coût de fabrication d'une unité supplémentaire :
C(x + 1) - C(x) ≈ C'(x).
Exemple
Une savonnerie de Kindia a un coût total C(x) = 0,5x² + 10x + 200 (en milliers de GNF) pour x cartons.
C'(x) = x + 10, donc C'(20) = 30.
Le 21ᵉ carton coûte environ 30 000 GNF.
Valeur exacte : C(21) − C(20) = 0,5 × (441 − 400) + 10 = 20,5 + 10 = 30,5, soit 30 500 GNF.
L'approximation est très bonne.
De la même façon, la dérivée d'une recette s'appelle la recette marginale, et la dérivée d'une distance par rapport au temps est une vitesse.
3Je retiens
Je retiens
Nombre dérivé : f'(a) = lim (h → 0) [f(a + h) − f(a)]/h.
f'(a) est la pente de la tangente au point d'abscisse a.
Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
(xⁿ)' = n xⁿ⁻¹ ; (1/x)' = −1/x² ; (√x)' = 1/(2√x) ; (k)' = 0.
(u + v)' = u' + v' ; (ku)' = ku' ; (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv')/v².
En économie, C'(x) est le coût marginal : le coût approximatif d'une unité de plus.
4Erreurs fréquentes
- Dériver un produit en multipliant les dérivées : (uv)' n'est pas u'v', c'est u'v + uv'.
- Inverser l'ordre dans la formule du quotient : c'est u'v − uv' (et non uv' − u'v) au numérateur.
- Oublier les parenthèses : dans −(x + 2) × 1, le signe moins s'applique à tout le facteur.
- Confondre f(a) et f'(a) dans l'équation de la tangente : y = f'(a)(x − a) + f(a).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule la dérivée de chaque fonction.
a) f(x) = 5x3 - x2 + 4x - 1
b) g(x) = 12x4 - 3x + 2
c) h(x) = 1x + 2x sur ℝ^*
d) k(x) = 3√x sur ]0 ; +∞[
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f'(x) = 15x2 - 2x + 4.
b) g'(x) = 12 × 4x3 - 3 = 2x3 - 3.
c) h'(x) = -1x2 + 2.
d) k'(x) = 3 × 12√x = 32√x.
2Exercice 2
Calcule la dérivée de chaque fonction.
a) f(x) = (3x - 2)(x2 + 1)
b) g(x) = 2x - 1x + 3 sur ℝ setminus {-3}
c) h(x) = x2x - 2 sur ℝ setminus {2}
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a) u = 3x - 2, u' = 3 ; v = x2 + 1, v' = 2x.
f'(x) = 3(x2 + 1) + (3x - 2)(2x) = 3x2 + 3 + 6x2 - 4x = 9x2 - 4x + 3.
b) u = 2x - 1, u' = 2 ; v = x + 3, v' = 1.
g'(x) = 2(x + 3) - (2x - 1) × 1(x + 3)2 = 2x + 6 - 2x + 1(x + 3)2 = 7(x + 3)2.
c) u = x2, u' = 2x ; v = x - 2, v' = 1.
h'(x) = 2x(x - 2) - x2(x - 2)2 = 2x2 - 4x - x2(x - 2)2 = x2 - 4x(x - 2)2 = x(x - 4)(x - 2)2.
3Exercice 3
Soit f(x) = x2 - 3x. En utilisant la définition (taux d'accroissement), calcule f'(1). Vérifie ton résultat avec le tableau des dérivées.
Voir le corrigéCacher le corrigé
f(1 + h) = (1 + h)2 - 3(1 + h) = 1 + 2h + h2 - 3 - 3h = h2 - h - 2 et f(1) = 1 - 3 = -2.
f(1 + h) - f(1)h = h2 - hh = h - 1 pour h ≠ 0. Quand h → 0, ce taux tend vers -1. Donc f'(1) = -1.
Vérification : f'(x) = 2x - 3, donc f'(1) = 2 - 3 = -1. Juste.
4Exercice 4
Soit f(x) = x3 - 2x + 1. Écris l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1, puis au point d'abscisse 0.
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f'(x) = 3x2 - 2.
En a = 1 : f(1) = 1 - 2 + 1 = 0 et f'(1) = 3 - 2 = 1. Tangente : y = 1 × (x - 1) + 0, soit y = x - 1.
En a = 0 : f(0) = 1 et f'(0) = -2. Tangente : y = -2(x - 0) + 1, soit y = -2x + 1.
5Exercice 5
(Type BAC) Une entreprise de jus de mangue en Moyenne-Guinée produit x caisses par jour (1 ≤ x ≤ 50). Son coût total, en milliers de GNF, est C(x) = x2 + 20x + 400.
a) Calcule le coût marginal C'(x), puis C'(10).
b) Compare C'(10) au coût exact de la 11ᵉ caisse, C(11) - C(10).
c) Le coût moyen est CM(x) = C(x)x. Montre que CM(x) = x + 20 + 400x et que CM'(x) = x2 - 400x2.
d) Pour quelle production CM'(x) = 0 ? Calcule alors CM(x) et C'(x). Que remarques-tu ?
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a) C'(x) = 2x + 20, donc C'(10) = 40 : la 11ᵉ caisse coûte environ 40 000 GNF.
b) C(11) = 121 + 220 + 400 = 741 et C(10) = 100 + 200 + 400 = 700. C(11) - C(10) = 41, soit 41 000 GNF. Le coût marginal (40 000 GNF) en est une bonne approximation.
c) CM(x) = x2 + 20x + 400x = x2x + 20xx + 400x = x + 20 + 400x.
En dérivant terme à terme : CM'(x) = 1 + 0 + 400 × (-1x2) = 1 - 400x2 = x2 - 400x2.
d) CM'(x) = 0 ⇔ x2 = 400 ⇔ x = 20 (car x > 0).
CM(20) = 20 + 20 + 40020 = 20 + 20 + 20 = 60 et C'(20) = 40 + 20 = 60.
On remarque que, pour cette production, le coût moyen est égal au coût marginal (60 000 GNF). C'est une propriété classique en économie : au point où le coût moyen cesse de baisser, il est égal au coût marginal.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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