Karamö, le prof virtuelLeçon 26 sur 33
La statistique
Je sais décrire une série statistique avec le bon vocabulaire, l'organiser en tableau (effectifs, fréquences), la représenter par un diagramme adapté et en donner le mode et l'étendue.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire de la statistique (population, individu, caractère, modalité)
- Distinguer caractère qualitatif, quantitatif discret et quantitatif continu
- Construire un tableau d'effectifs et de fréquences, avec regroupement en classes
- Choisir et construire un diagramme adapté ; déterminer le mode et l'étendue
Avant de commencer : Les pourcentages, les proportions et la lecture de tableaux et de graphiques.
1Je découvre
Le comité de quartier de Hamdallaye, à Kankan, prépare une distribution de fournitures scolaires. Pour savoir combien de cahiers acheter, Ibrahima, élève de Terminale, interroge 25 familles de sa rue et note le nombre d'enfants scolarisés dans chacune :
2, 3, 1, 2, 4, 0, 2, 3, 1, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 4, 2, 0, 3, 1, 2, 4, 3, 2, 1.
Cette liste brute est difficile à lire. Le chef de quartier demande : « Quel est le nombre d'enfants le plus fréquent ? Quelle part des familles a au moins 3 enfants scolarisés ? Peux-tu me faire un dessin pour la réunion ? »
Pour répondre, Ibrahima doit organiser ces données : les compter, les ranger dans un tableau, calculer des pourcentages et choisir un graphique. C'est l'objet de la statistique descriptive.
Comment organiser, résumer et représenter une série de données pour la rendre lisible ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire de base
- La population est l'ensemble étudié : ici, les 25 familles de la rue.
- Un individu est un élément de la population : une famille.
- L'effectif total N est le nombre d'individus : N = 25.
- Le caractère (ou variable) est ce que l'on observe chez chaque individu : le nombre d'enfants scolarisés.
- Les modalités (ou valeurs) sont les différentes réponses possibles : 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Quand on n'interroge qu'une partie de la population, cette partie s'appelle un échantillon. Quand on interroge tout le monde, c'est un recensement.
2. Les types de caractères
| Type | Définition | Exemples en Guinée |
|---|---|---|
| Qualitatif | les modalités ne sont pas des nombres | langue parlée à la maison (pular, maninka, soussou…), moyen de transport |
| Quantitatif discret | nombres isolés, qu'on peut compter | nombre d'enfants, nombre de sacs de riz vendus |
| Quantitatif continu | toute valeur d'un intervalle est possible | taille, masse, durée d'un trajet, revenu |
Pour un caractère continu (ou discret avec beaucoup de valeurs), on regroupe les données en classes : des intervalles de la forme [a ; b[. Le centre de la classe est a + b2 et son amplitude est b - a.
3. Effectifs et fréquences
L'effectif ni d'une modalité est le nombre d'individus qui ont cette modalité. La somme des effectifs est l'effectif total : n1 + n2 + … + np = N.
La fréquence d'une modalité est fi = niN. C'est un nombre entre 0 et 1, que l'on écrit souvent en pourcentage (fi × 100). La somme des fréquences vaut 1, soit 100 %.
Exemple
Tableau de la série d'Ibrahima (N = 25).
On compte chaque valeur dans la liste :
| Nombre d'enfants x_i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif n_i | 2 | 5 | 8 | 6 | 3 | 1 | 25 |
| Fréquence f_i | 0,08 | 0,20 | 0,32 | 0,24 | 0,12 | 0,04 | 1 |
| Fréquence en % | 8 | 20 | 32 | 24 | 12 | 4 | 100 |
Contrôle : 2 + 5 + 8 + 6 + 3 + 1 = 25 et 8 + 20 + 32 + 24 + 12 + 4 = 100.
Familles avec au moins 3 enfants scolarisés : 6 + 3 + 1 = 10, soit 10/25 = 0,40 = 40 %.
Méthode
Pour dresser le tableau statistique d'une série brute :
- Je repère la population, le caractère et son type.
- Je range les modalités dans l'ordre croissant (ou je choisis des classes de même amplitude).
- Je compte l'effectif de chaque modalité, en barrant les données au fur et à mesure.
- Je vérifie que la somme des effectifs est égale à N.
- Je calcule chaque fréquence f_i = n_i / N et je vérifie que leur somme vaut 1 (ou 100 %).
4. Les représentations graphiques
On choisit le graphique selon le type de caractère.
- Diagramme en bâtons (caractère quantitatif discret) : sur l'axe horizontal, les valeurs ; sur chaque valeur, un trait vertical de hauteur proportionnelle à l'effectif.
- Diagramme en barres ou tuyaux d'orgue (caractère qualitatif) : des rectangles de même largeur, séparés.
- Diagramme circulaire (surtout qualitatif) : chaque modalité est un secteur dont l'angle est proportionnel à la fréquence : αi = fi × 360°.
- Histogramme (caractère continu, en classes) : des rectangles accolés ; quand les classes ont la même amplitude, la hauteur est proportionnelle à l'effectif.
Exemple
Angles du diagramme circulaire de la série d'Ibrahima.
α = f × 360° :
0 enfant : 0,08 × 360 = 28,8° ; 1 enfant : 0,20 × 360 = 72° ; 2 enfants : 0,32 × 360 = 115,2° ;
3 enfants : 0,24 × 360 = 86,4° ; 4 enfants : 0,12 × 360 = 43,2° ; 5 enfants : 0,04 × 360 = 14,4°.
Contrôle : 28,8 + 72 + 115,2 + 86,4 + 43,2 + 14,4 = 360°.
5. Série regroupée en classes
Sékou, surveillant d'un lycée de Kindia, relève la durée du trajet domicile-lycée (en minutes) de 40 élèves et regroupe les résultats :
| Durée (min) | [0 ; 10[ | [10 ; 20[ | [20 ; 30[ | [30 ; 40[ | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 6 | 14 | 12 | 8 | 40 |
| Centre | 5 | 15 | 25 | 35 | |
| Fréquence (%) | 15 | 35 | 30 | 20 | 100 |
La classe [10 ; 20[ contient les durées de 10 minutes (incluse) jusqu'à 20 minutes (exclue). Un élève qui met exactement 20 minutes est compté dans [20 ; 30[.
6. Premiers résumés : mode et étendue
- Le mode est la modalité qui a le plus grand effectif. Pour une série en classes, on parle de classe modale.
- L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : e = xmax - xmin. Elle mesure la dispersion de la série, de façon grossière.
Pour la série d'Ibrahima : mode = 2 enfants ; étendue = 5 - 0 = 5.
Pour la série de Sékou : classe modale = [10 ; 20[.
La moyenne, la médiane et les quartiles, qui résument mieux une série, font l'objet de la leçon « Effectifs cumulés, médiane, quartiles et moyenne ».
3Je retiens
Je retiens
Population, individu, caractère, modalités ; effectif total N.
Caractère qualitatif (mots), quantitatif discret (valeurs isolées), quantitatif continu (classes [a ; b[).
Fréquence : f_i = n_i / N ; somme des effectifs = N ; somme des fréquences = 1 = 100 %.
Centre d'une classe [a ; b[ : (a + b)/2 ; amplitude : b − a.
Bâtons : discret ; histogramme (rectangles accolés) : continu ; circulaire : angle = f × 360°.
Mode : valeur la plus fréquente (classe modale si classes) ; étendue : x_max − x_min.
4Erreurs fréquentes
- Confondre effectif et fréquence : l'effectif est un nombre d'individus, la fréquence une proportion entre 0 et 1.
- Confondre le mode avec son effectif : dans la série d'Ibrahima, le mode est 2 (enfants), pas 8 (familles).
- Utiliser un histogramme pour un caractère discret ou séparer les rectangles d'un histogramme : les classes se touchent, les rectangles aussi.
- Oublier de vérifier que la somme des angles fait 360° et que la somme des fréquences fait 100 %.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On a demandé à des élèves d'un lycée de Faranah leur moyen de transport pour venir en cours. Pour chaque question, précise la population, le caractère et son type.
a) Le moyen de transport (à pied, moto-taxi, vélo, voiture).
b) Le nombre de frères et sœurs de chaque élève.
c) La durée du trajet en minutes.
Voir le corrigéCacher le corrigé
La population est l'ensemble des élèves interrogés du lycée.
a) Caractère : moyen de transport ; qualitatif.
b) Caractère : nombre de frères et sœurs ; quantitatif discret.
c) Caractère : durée du trajet ; quantitatif continu.
2Exercice 2
Voici les notes (sur 10) obtenues par 20 élèves à une interrogation :
6, 7, 5, 8, 7, 6, 9, 7, 4, 6, 7, 8, 5, 7, 6, 9, 7, 8, 6, 10.
a) Dresse le tableau des effectifs et des fréquences (en %).
b) Donne le mode et l'étendue.
c) Quel pourcentage d'élèves a au moins 8 ?
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a)
| Note | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 2 | 5 | 6 | 3 | 2 | 1 | 20 |
| Fréquence (%) | 5 | 10 | 25 | 30 | 15 | 10 | 5 | 100 |
Contrôle : 1 + 2 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 20.
b) Mode : 7 (effectif 6). Étendue : 10 - 4 = 6.
c) Au moins 8 : 3 + 2 + 1 = 6 élèves, soit 620 = 30 \%.
3Exercice 3
Dans un marché de Nzérékoré, on a interrogé 60 clients sur le produit qu'ils étaient venus acheter : riz 24, huile 12, poisson 15, légumes 9.
a) Calcule la fréquence de chaque produit.
b) Calcule les angles du diagramme circulaire.
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a) Riz : 2460 = 0,40 ; huile : 1260 = 0,20 ; poisson : 1560 = 0,25 ; légumes : 960 = 0,15. Somme : 1.
b) Riz : 0,40 × 360 = 144° ; huile : 72° ; poisson : 90° ; légumes : 54°. Contrôle : 144 + 72 + 90 + 54 = 360°.
4Exercice 4
Reprends la série de Sékou (durée des trajets, 40 élèves).
a) Quel est le pourcentage d'élèves qui mettent moins de 20 minutes ?
b) Quel est le pourcentage d'élèves qui mettent au moins 20 minutes ?
c) Pourquoi ne peut-on pas donner l'étendue exacte de cette série ?
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a) Moins de 20 minutes : classes [0 ; 10[ et [10 ; 20[, soit 6 + 14 = 20 élèves, 2040 = 50 \%.
b) Au moins 20 minutes : 100 - 50 = 50 \% (ou 12 + 840).
c) Les données sont regroupées en classes : on ne connaît pas la durée exacte la plus courte ni la plus longue. On sait seulement que l'étendue est au plus 40 - 0 = 40 minutes.
5Exercice 5
(Type BAC) Une coopérative agricole du Fouta-Djallon relève la masse (en kg) de 50 sacs de pommes de terre :
| Masse (kg) | [40 ; 45[ | [45 ; 50[ | [50 ; 55[ | [55 ; 60[ | [60 ; 65[ |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 11 | 18 | 12 | 5 |
a) Quel est le caractère étudié ? Quel est son type ?
b) Donne l'amplitude et le centre de chaque classe.
c) Calcule les fréquences en %.
d) Donne la classe modale et décris l'histogramme que l'on obtiendrait.
e) Quel pourcentage de sacs pèse au moins 55 kg ?
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a) Le caractère est la masse d'un sac ; il est quantitatif continu.
b) Chaque classe a une amplitude de 5 kg. Centres : 42,5 ; 47,5 ; 52,5 ; 57,5 ; 62,5.
c) N = 4 + 11 + 18 + 12 + 5 = 50. Fréquences : 8 % ; 22 % ; 36 % ; 24 % ; 10 %. Somme : 100 %.
d) Classe modale : [50 ; 55[. L'histogramme a 5 rectangles accolés de même largeur (5 kg) ; le plus haut est au centre et les hauteurs diminuent de part et d'autre : la série est à peu près symétrique.
e) Au moins 55 kg : 12 + 5 = 17 sacs, soit 1750 = 34 \%.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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