Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 13
La relation fondamentale de la dynamique
Je sais faire le bilan des forces qui s'exercent sur un objet et appliquer la relation ΣF = m·a pour calculer une accélération ou une force.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Énoncer le principe de l'inertie et la relation fondamentale de la dynamique
- Faire le bilan des forces et les représenter
- Projeter la relation vectorielle sur un axe
- Calculer une accélération, une force de traction, de freinage ou une tension
Avant de commencer : Les leçons de cinématique (accélération, MRU, MRUV) ; la notion de force et le poids P = m·g vus en classes précédentes ; le sinus d'un angle.
1Je découvre
Au marché de Madina, Sékou pousse une charrette chargée de sacs de riz. Quand la charrette est vide, un petit effort suffit pour la mettre en mouvement. Quand elle est pleine, il doit pousser beaucoup plus fort pour obtenir le même démarrage. Et s'il arrête de pousser, la charrette ralentit puis s'arrête, à cause des frottements des roues sur le sol.
Sékou se pose deux questions. Pourquoi une charrette plus lourde est-elle plus difficile à faire démarrer ? Et quelle force exacte faut-il exercer pour lui donner une accélération donnée ?
La cinématique décrivait le mouvement ; il faut maintenant relier le mouvement à ses causes : les forces.
Quelle relation lie les forces qui s'exercent sur un objet, sa masse et son accélération ?
2Je comprends
1. Rappels sur les forces
Une force modélise une action mécanique exercée sur un objet. Elle est représentée par un vecteur : point d'application, direction, sens, valeur (en newtons, N).
Forces fréquentes :
- le poids P : vertical, vers le bas, appliqué au centre de gravité G, de valeur P = m g (m en kg, g ≈ 9,8 N/kg, souvent arrondi à 10 N/kg) ;
- la réaction R d'un support : perpendiculaire au support s'il n'y a pas de frottement ;
- la tension T d'un fil ou d'une corde : dirigée le long du fil ;
- les forces de frottement f : opposées au mouvement ;
- une force motrice ou de traction F.
2. Le principe de l'inertie (première loi de Newton)
Dans un référentiel galiléen (le référentiel terrestre l'est avec une bonne approximation pour les mouvements courts), si les forces qui s'exercent sur un objet se compensent (Σ F = 0), alors l'objet est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. Et réciproquement.
C'est pour cela que la charrette s'arrête quand Sékou ne pousse plus : les frottements ne sont plus compensés.
3. La relation fondamentale de la dynamique (deuxième loi de Newton)
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide de masse m est égale au produit de sa masse par le vecteur accélération de son centre de gravité :
Σ Fext = m aG
- Σ Fext en newtons (N) ; m en kilogrammes (kg) ; aG en m/s².
- Le vecteur accélération a la même direction et le même sens que la somme des forces.
- Pour une même force, plus la masse est grande, plus l'accélération est petite : c'est l'inertie de la charrette pleine.
- Le principe de l'inertie est un cas particulier : si Σ F = 0, alors a = 0.
4. Le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton)
Si un objet A exerce une force FA/B sur un objet B, alors B exerce sur A une force FB/A de même direction, de même valeur et de sens opposé : FB/A = -FA/B. Ces deux forces s'appliquent à deux objets différents : elles ne se compensent jamais sur un même objet.
5. La méthode
- 1Définir le système étudié (la charrette, le seau, la caisse…)
- 2Choisir le référentiel (terrestre, supposé galiléen)
- 3Faire le bilan des forces extérieures et les représenter sur un schéma
- 4Écrire la relation vectorielle : somme des forces = m × a
- 5Choisir un axe (en général dans le sens du mouvement) et projeter chaque force
- 6Résoudre l'équation obtenue, puis utiliser la cinématique si besoin (MRUV)
Projeter une force sur un axe : une force dans le sens de l'axe compte positivement, une force de sens opposé compte négativement, une force perpendiculaire à l'axe compte pour zéro. Une force qui fait un angle α avec l'axe donne une projection Fcosα.
Exemple
Sékou pousse horizontalement une charrette de masse 200 kg avec une force F = 300 N. Les frottements valent f = 100 N. Calcule l'accélération.
Système : la charrette. Référentiel terrestre, supposé galiléen.
Forces : P (vertical), R (verticale, vers le haut), F (horizontale, sens du mouvement), f (horizontale, sens opposé).
Relation : P + R + F + f = m a (en vecteurs).
Projection sur l'axe horizontal orienté dans le sens du mouvement : 0 + 0 + F − f = m a.
a = (F − f) / m = (300 − 100) / 200 = 1 m/s².
Exemple
Une caisse de 20 kg est soulevée verticalement par une corde. La tension de la corde vaut 260 N. On prend g = 10 N/kg. Calcule l'accélération.
Forces : le poids P = m g = 200 N (vers le bas) et la tension T = 260 N (vers le haut).
Axe vertical orienté vers le haut : T − P = m a.
a = (260 − 200) / 20 = 3 m/s², dirigée vers le haut : la caisse monte de plus en plus vite.
Exemple
Une caisse de masse m qui glisse sans frottement sur un plan incliné d'un angle α = 30° par rapport à l'horizontale. On prend g = 10 N/kg.
Forces : le poids P et la réaction R (perpendiculaire au plan, car pas de frottement).
Axe parallèle au plan, orienté vers le bas de la pente : la projection de R est nulle ; celle du poids vaut P sin α = m g sin α.
Donc m g sin α = m a, soit a = g sin α = 10 × sin 30° = 10 × 0,5 = 5 m/s².
Remarque : la masse se simplifie ; l'accélération ne dépend pas de la masse de la caisse.
Méthode
Pour réussir la projection :
- Je dessine l'axe sur le schéma, avec une flèche.
- Pour chaque force, je me demande : est-elle dans le sens de l'axe (+), contre lui (−), perpendiculaire (0), ou inclinée (± F cos α ou ± F sin α) ?
- J'écris une seule équation scalaire et je vérifie que chaque terme est en newtons.
3Je retiens
Je retiens
Poids : P = m g, vertical vers le bas (g ≈ 9,8 N/kg, souvent 10 N/kg).
Principe de l'inertie : si la somme des forces est nulle, l'objet est immobile ou en MRU (référentiel galiléen).
Relation fondamentale de la dynamique : somme des forces extérieures = m × a_G ; a a le même sens que la somme des forces.
Actions réciproques : F_B/A = − F_A/B, sur deux objets différents.
Méthode : système, référentiel, bilan des forces, relation vectorielle, projection sur un axe, calcul.
Plan incliné sans frottement : a = g sin α.
4Erreurs fréquentes
- Oublier une force dans le bilan, souvent le poids ou la réaction du support.
- Additionner les valeurs des forces sans tenir compte de leur sens : il faut projeter sur un axe.
- Confondre masse (kg) et poids (N) : une personne de 60 kg a un poids d'environ 600 N.
- Croire qu'un objet en mouvement subit forcément une force dans le sens du mouvement : en MRU, la somme des forces est nulle.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une voiture de masse 1 200 kg est soumise à une somme de forces horizontale de valeur 3 600 N. Calcule son accélération.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a = Σ Fm = 3 6001 200 = 3 m/s².
2Exercice 2
Une moto et son conducteur ont une masse totale de 150 kg. Les frottements valent 100 N. Quelle force motrice faut-il pour obtenir une accélération de 2 m/s² sur une route horizontale ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Sur l'axe du mouvement : F - f = m a, donc F = m a + f = 150 × 2 + 100 = 400 N.
3Exercice 3
Une voiture de masse 1 000 kg roule à 72 km/h sur une route horizontale. Elle freine et s'arrête sur 50 m, avec une décélération constante.
a) Calcule l'accélération (utilise la relation indépendante du temps).
b) Déduis-en la valeur de la force de freinage (on la suppose seule force horizontale).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v0 = 72 ÷ 3,6 = 20 m/s. 0 - 202 = 2a × 50, donc a = -400100 = -4 m/s².
b) Sur l'axe du mouvement : -Ffrein = m a, donc Ffrein = 1 000 × 4 = 4 000 N.
4Exercice 4
Une caisse de 10 kg glisse, partant du repos, sur un plan incliné de 30°. Les frottements, parallèles au plan, valent 20 N. On prend g = 10 N/kg.
a) Fais le bilan des forces.
b) Calcule l'accélération de la caisse.
c) Quelle distance parcourt-elle en 2 s ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Système : la caisse ; référentiel terrestre supposé galiléen. Forces : poids P (vertical, vers le bas, P = 100 N), réaction normale R (perpendiculaire au plan), frottements f (parallèles au plan, vers le haut de la pente, 20 N).
b) Axe parallèle au plan, orienté vers le bas de la pente : Psin 30° + 0 - f = m a, soit 100 × 0,5 - 20 = 10 a, donc a = 3010 = 3 m/s².
c) Départ du repos : d = 12 a t2 = 12 × 3 × 4 = 6 m.
5Exercice 5
(Type BAC) Kadiatou remonte un seau d'eau de masse totale 5 kg d'un puits, à l'aide d'une corde verticale. On prend g = 10 N/kg et on néglige les frottements.
a) Phase 1 (2 s) : le seau part du repos et monte avec une accélération de 1 m/s². Calcule la tension de la corde et la vitesse atteinte.
b) Phase 2 : le seau monte à vitesse constante. Calcule la tension.
c) Phase 3 : le seau ralentit avec une décélération de 2 m/s² avant d'arriver en haut. Calcule la tension.
d) Dans quelle phase la corde risque-t-elle le plus de casser ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Axe vertical orienté vers le haut ; P = m g = 50 N. La relation s'écrit T - P = m a, donc T = m(g + a).
a) T1 = 5 × (10 + 1) = 55 N. Vitesse : v = a t = 1 × 2 = 2 m/s.
b) Vitesse constante : a = 0, donc T2 = P = 50 N (principe de l'inertie).
c) Le seau monte en ralentissant : a = -2 m/s². T3 = 5 × (10 - 2) = 40 N.
d) La tension est la plus grande dans la phase 1 (55 N) : c'est au démarrage que la corde est la plus sollicitée.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
