Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 13
Théorème de l'énergie cinétique
Je sais calculer l'énergie cinétique d'un objet et le travail d'une force, et j'utilise le théorème de l'énergie cinétique pour trouver une vitesse ou une distance.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer l'énergie cinétique Ec = ½ m v²
- Calculer le travail d'une force constante et le travail du poids
- Distinguer travail moteur et travail résistant
- Énoncer et appliquer le théorème de l'énergie cinétique
Avant de commencer : La leçon « La relation fondamentale de la dynamique » (bilan des forces, poids P = m g) ; le cosinus d'un angle ; les conversions de vitesse.
1Je découvre
Sur la route nationale, un camion chargé de bauxite et une moto roulent à la même vitesse. Tout le monde sait qu'en cas de choc, le camion fait bien plus de dégâts : il « emporte » beaucoup plus d'énergie. De même, une moto à 80 km/h est bien plus dangereuse qu'à 40 km/h.
Aïssatou, élève de Terminale, veut comprendre la règle exacte. Son professeur lui propose une question : « Une voiture roule à 72 km/h et freine. Si l'on connaît la force de freinage, peut-on calculer directement la distance d'arrêt, sans passer par l'accélération et le temps ? »
Pour répondre, il faut deux nouvelles grandeurs : l'énergie cinétique, qui mesure l'énergie due au mouvement, et le travail d'une force, qui mesure l'énergie qu'une force donne ou retire à un objet.
Comment relier la variation de vitesse d'un objet aux forces qui s'exercent sur lui pendant un déplacement ?
2Je comprends
1. L'énergie cinétique
Tout objet en mouvement possède une énergie cinétique (du grec « kinêsis », mouvement). Pour un solide en translation, de masse m et de vitesse v :
Ec = 12 m v2
- m en kg, v en m/s, Ec en joules (J).
- L'énergie cinétique est toujours positive ou nulle ; elle est nulle si l'objet est immobile.
- Elle est proportionnelle à la masse et au carré de la vitesse : si la vitesse double, l'énergie cinétique est multipliée par 4.
Exemple
Calcule l'énergie cinétique d'une moto de 150 kg (conducteur compris) roulant à 72 km/h, puis à 36 km/h.
72 km/h = 72 / 3,6 = 20 m/s. Ec = ½ × 150 × 20² = ½ × 150 × 400 = 30 000 J.
36 km/h = 10 m/s. Ec = ½ × 150 × 10² = 7 500 J.
En divisant la vitesse par 2, l'énergie cinétique est divisée par 4 (30 000 / 7 500 = 4).
2. Le travail d'une force constante
Quand le point d'application d'une force constante F se déplace de A à B, la force effectue un travail :
WAB(F) = F · AB = F × AB × cosα
où α est l'angle entre le vecteur force et le vecteur déplacement. Le travail s'exprime en joules (J) : 1 J = 1 N × 1 m.
| Angle α | cosα | Travail | Nom |
|---|---|---|---|
| 0° ≤ α < 90° | positif | W > 0 | moteur : la force aide le mouvement |
| α = 90° | nul | W = 0 | la force ne travaille pas |
| 90° < α ≤ 180° | négatif | W < 0 | résistant : la force s'oppose au mouvement |
Exemples : la réaction d'un support sans frottement est perpendiculaire au déplacement, elle ne travaille pas. Les frottements sont opposés au mouvement (α = 180°) : W = -f × AB.
- W > 0
- La force fournit de l'énergie à l'objet
- Exemple : force de traction du moteur
- Angle force-déplacement inférieur à 90°
- W < 0
- La force retire de l'énergie à l'objet
- Exemple : frottements, freinage
- Angle force-déplacement supérieur à 90°
3. Le travail du poids
Le poids est constant près du sol. Son travail ne dépend pas du chemin suivi, seulement de la différence d'altitude h :
- si l'objet descend d'une hauteur h : W(P) = +m g h (travail moteur) ;
- si l'objet monte d'une hauteur h : W(P) = -m g h (travail résistant).
En général, avec des altitudes zA et zB mesurées sur un axe vertical orienté vers le haut : WAB(P) = m g (zA - zB).
Exemple
Sékou tire une charrette sur 50 m avec une corde qui fait un angle de 60° avec la route. La tension de la corde vaut 200 N. Calcule le travail de cette force.
W = F × AB × cos α = 200 × 50 × cos 60° = 200 × 50 × 0,5 = 5 000 J.
Le travail est positif : il est moteur.
4. Le théorème de l'énergie cinétique
Énoncé. Dans un référentiel galiléen, la variation de l'énergie cinétique d'un solide entre deux positions A et B est égale à la somme des travaux des forces extérieures qui s'exercent sur lui entre A et B :
Ec(B) - Ec(A) = Σ WAB(Fext)
soit 12m vB2 - 12m vA2 = Σ WAB.
- Si la somme des travaux est positive, l'objet gagne de la vitesse.
- Si elle est négative, il perd de la vitesse.
- Si elle est nulle, sa vitesse ne change pas.
Ce théorème est très pratique : il donne une vitesse ou une distance sans calculer le temps.
- 1Définir le système et le référentiel (terrestre, galiléen)
- 2Préciser l'état initial A (vitesse vA) et l'état final B (vitesse vB)
- 3Faire le bilan des forces extérieures
- 4Calculer le travail de chaque force entre A et B (moteur, résistant ou nul)
- 5Écrire Ec(B) − Ec(A) = somme des travaux et résoudre
Exemple
Une mangue se détache d'une branche à 5 m du sol, sans vitesse. On néglige l'air ; g = 10 N/kg. Avec quelle vitesse touche-t-elle le sol ?
Seule force : le poids, qui descend de h = 5 m : W(P) = m g h.
Théorème : ½ m v² − 0 = m g h. La masse se simplifie : v² = 2 g h = 2 × 10 × 5 = 100, donc v = 10 m/s.
On retrouve le résultat obtenu avec les équations du MRUV, beaucoup plus vite.
Exemple
Retour à la question d'Aïssatou. Une voiture de 1 000 kg roule à 72 km/h sur une route horizontale. La force de freinage, constante, vaut 5 000 N. Calcule la distance d'arrêt.
v_A = 20 m/s ; v_B = 0.
Forces : poids et réaction (perpendiculaires au déplacement, travail nul), force de freinage (opposée, travail −F × d).
Théorème : 0 − ½ × 1 000 × 20² = −5 000 × d, soit −200 000 = −5 000 d.
d = 200 000 / 5 000 = 40 m.
Méthode
Pour ne pas se tromper de signe :
- Pour chaque force, je compare sa direction à celle du déplacement.
- Force dans le sens du déplacement : +F × d ; opposée : −F × d ; perpendiculaire : 0.
- Poids : + m g h si l'objet descend, − m g h s'il monte.
- Je remplace v en m/s (jamais en km/h) dans ½ m v².
3Je retiens
Je retiens
Énergie cinétique : Ec = ½ m v² (m en kg, v en m/s, Ec en J).
Travail d'une force constante : W = F × AB × cos α (en J).
W > 0 : travail moteur ; W < 0 : travail résistant ; force perpendiculaire au déplacement : W = 0.
Travail du poids : + m g h en descente, − m g h en montée ; il ne dépend pas du chemin suivi.
Théorème de l'énergie cinétique : Ec(B) − Ec(A) = somme des travaux des forces extérieures entre A et B.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le carré de la vitesse ou le ½ dans Ec = ½ m v².
- Mettre la vitesse en km/h dans la formule : on convertit d'abord en m/s.
- Donner un signe positif au travail des frottements : il est toujours résistant (négatif).
- Écrire Ec(A) − Ec(B) au lieu de Ec(B) − Ec(A) : c'est toujours « final moins initial ».
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'énergie cinétique :
a) d'un ballon de 0,45 kg lancé à 20 m/s ;
b) d'un camion de 10 tonnes roulant à 36 km/h.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Ec = 12 × 0,45 × 202 = 12 × 0,45 × 400 = 90 J.
b) m = 10 000 kg ; v = 36 ÷ 3,6 = 10 m/s. Ec = 12 × 10 000 × 100 = 500 000 J (soit 500 kJ).
2Exercice 2
Mariama monte un sac de riz de 50 kg sur une hauteur de 3 m, puis le redescend. On prend g = 10 N/kg. Calcule le travail du poids à la montée puis à la descente. Précise s'il est moteur ou résistant.
Voir le corrigéCacher le corrigé
m g h = 50 × 10 × 3 = 1 500 J.
À la montée : W(P) = -1 500 J, travail résistant.
À la descente : W(P) = +1 500 J, travail moteur.
3Exercice 3
Une force constante de 100 N déplace son point d'application de 20 m. Calcule son travail si l'angle entre la force et le déplacement vaut : a) 0° ; b) 60° ; c) 90° ; d) 180°.
Voir le corrigéCacher le corrigé
F × AB = 100 × 20 = 2 000 J.
a) W = 2 000 × cos 0° = 2 000 J.
b) W = 2 000 × 0,5 = 1 000 J.
c) W = 2 000 × 0 = 0 J.
d) W = 2 000 × (-1) = -2 000 J.
4Exercice 4
Alpha lance une pierre verticalement vers le haut à 10 m/s. On néglige l'air ; g = 10 N/kg. Grâce au théorème de l'énergie cinétique, calcule la hauteur maximale atteinte au-dessus du point de lancement.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Entre le lancement (vA = 10 m/s) et le point le plus haut (vB = 0), seul le poids travaille, et la pierre monte de h : W = -m g h.
0 - 12m × 102 = -m × 10 × h, donc 50 = 10 h et h = 5 m.
5Exercice 5
(Type BAC) Une caisse de 10 kg part sans vitesse du haut d'un plan incliné de 30° et de longueur L = 4 m. Les frottements, parallèles au plan, valent 20 N. On prend g = 10 N/kg.
a) Calcule le travail de chaque force pendant la descente.
b) Déduis-en la vitesse de la caisse en bas du plan.
c) Arrivée en bas, la caisse continue sur un sol horizontal où les frottements valent toujours 20 N. Quelle distance parcourt-elle avant de s'arrêter ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Poids : la caisse descend de h = Lsin 30° = 4 × 0,5 = 2 m ; W(P) = m g h = 10 × 10 × 2 = 200 J (moteur).
Réaction normale : perpendiculaire au déplacement, W(R) = 0.
Frottements : W(f) = -f × L = -20 × 4 = -80 J (résistant).
b) 12 × 10 × v2 - 0 = 200 + 0 - 80 = 120 J, donc v2 = 24 et v = √24 ≈ 4,9 m/s.
c) Sur le sol horizontal, le poids et la réaction ne travaillent pas. 0 - 120 = -20 × d, donc d = 6 m.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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