Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 13
Lentilles minces : relations de conjugaison et de grandissement
Je sais utiliser la relation de conjugaison et la formule du grandissement pour calculer la position, la taille et la nature de l'image donnée par une lentille mince.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser les mesures algébriques sur l'axe optique
- Appliquer la relation de conjugaison 1/OA' − 1/OA = 1/f'
- Calculer le grandissement γ = A'B'/AB = OA'/OA
- Déduire des calculs la nature de l'image (réelle ou virtuelle, droite ou renversée, agrandie ou réduite)
Avant de commencer : La leçon « Lentilles minces : points particuliers et grandeurs caractéristiques » (O, F, F', distance focale, vergence) ; le calcul avec des fractions.
1Je découvre
Pour la fête de fin d'année du lycée, à Kindia, Fanta et Sékou veulent projeter des diapositives sur un mur blanc. Ils disposent d'une lentille convergente de distance focale 10 cm. Ils placent la diapositive devant la lentille et avancent, reculent, tâtonnent longtemps avant d'obtenir une image nette sur le mur. Et surprise : l'image est à l'envers !
Sékou se dit qu'il doit exister un moyen de calculer à l'avance où placer la diapositive pour que l'image soit nette sur le mur, et quelle taille aura cette image. Fanta ajoute : « Et pourquoi, avec la même lentille utilisée comme loupe, l'image est-elle à l'endroit ? »
La construction géométrique donne une idée ; mais pour obtenir des valeurs précises, il faut des formules.
Comment calculer la position, la taille et le sens de l'image d'un objet donnée par une lentille mince ?
2Je comprends
1. Les conventions : mesures algébriques
On place un objet AB perpendiculaire à l'axe optique, le point A étant sur l'axe. La lentille en donne une image A'B', elle aussi perpendiculaire à l'axe, avec A' sur l'axe.
On oriente :
- l'axe optique dans le sens de propagation de la lumière (de gauche à droite) ;
- l'axe perpendiculaire vers le haut.
Toutes les distances sont des mesures algébriques comptées à partir du centre optique O : OA, OA', OF' = f', et les hauteurs AB, A'B'. Un objet réel placé avant la lentille a donc OA < 0.
2. La relation de conjugaison
Pour une lentille mince de centre O et de distance focale f', la position de l'image est donnée par la relation de conjugaison de Descartes :
1OA' - 1OA = 1f' = C
Elle est valable pour les lentilles convergentes (f' > 0) comme divergentes (f' < 0). Les longueurs doivent toutes être exprimées dans la même unité (cm en général, mais m si l'on utilise la vergence C en dioptries).
3. Le grandissement
Le grandissement γ (lettre grecque « gamma ») compare la taille de l'image à celle de l'objet :
γ = A'B'AB = OA'OA
Le grandissement n'a pas d'unité.
4. Lire la nature de l'image
| Résultat | Signification |
|---|---|
| OA' > 0 | image après la lentille : réelle (on peut la recueillir sur un écran) |
| OA' < 0 | image avant la lentille : virtuelle (on la voit à travers la lentille, pas sur un écran) |
| γ > 0 | image droite (même sens que l'objet) |
| γ < 0 | image renversée |
| lvertγrvert > 1 | image agrandie |
| lvertγrvert < 1 | image réduite |
- 1Écrire les données avec leur signe : OA négatif pour un objet réel, f' positif ou négatif
- 2Isoler 1/OA' = 1/f' + 1/OA, puis calculer OA' en prenant l'inverse
- 3Calculer le grandissement γ = OA' / OA
- 4Calculer la taille de l'image A'B' = γ × AB
- 5Conclure : réelle ou virtuelle (signe de OA'), droite ou renversée (signe de γ), agrandie ou réduite (|γ|)
Méthode
Pour appliquer la relation de conjugaison sans erreur :
- J'écris OA avec son signe (négatif si l'objet est avant la lentille).
- J'écris 1/OA' = 1/f' + 1/OA (attention : on ajoute 1/OA, qui est négatif).
- Je réduis au même dénominateur, puis je prends l'inverse pour trouver OA'.
- Je calcule γ = OA'/OA, puis A'B' = γ × AB.
- Je vérifie la cohérence avec un schéma ou avec les règles du tableau.
Exemple
Une lentille convergente de distance focale f' = 10 cm. Un objet AB de 2 cm est placé à 30 cm avant la lentille. Caractérise l'image.
Données : OA = −30 cm ; f' = 10 cm.
1/OA' = 1/10 + 1/(−30) = 3/30 − 1/30 = 2/30 = 1/15, donc OA' = 15 cm.
γ = OA'/OA = 15 / (−30) = −0,5.
A'B' = γ × AB = −0,5 × 2 = −1 cm.
Conclusion : l'image est réelle (15 cm après la lentille), renversée (γ < 0) et deux fois plus petite (|γ| = 0,5) ; elle mesure 1 cm.
Exemple
La même lentille utilisée comme loupe : l'objet est placé à 5 cm avant la lentille (entre F et O).
OA = −5 cm. 1/OA' = 1/10 + 1/(−5) = 1/10 − 2/10 = −1/10, donc OA' = −10 cm.
γ = (−10) / (−5) = 2.
L'image est virtuelle (avant la lentille), droite (γ > 0) et deux fois plus grande. C'est l'effet loupe, qui répond à la question de Fanta.
Exemple
Une lentille divergente de distance focale f' = −20 cm. Un objet est placé à 20 cm avant la lentille.
OA = −20 cm. 1/OA' = 1/(−20) + 1/(−20) = −2/20 = −1/10, donc OA' = −10 cm.
γ = (−10) / (−20) = 0,5.
Image virtuelle, droite, deux fois plus petite. Une lentille divergente donne toujours, d'un objet réel, une image virtuelle, droite et réduite.
Exemple
Trouver la distance focale à partir de mesures. Avec une lentille inconnue, un objet placé 12 cm avant la lentille donne une image nette sur un écran situé 60 cm après la lentille.
OA = −12 cm ; OA' = 60 cm.
1/f' = 1/OA' − 1/OA = 1/60 − 1/(−12) = 1/60 + 5/60 = 6/60 = 1/10, donc f' = 10 cm (vergence C = 1/0,10 = 10 δ).
γ = 60 / (−12) = −5 : l'image est renversée et 5 fois plus grande.
5. Retour au projecteur
Dans un projecteur, l'objet (la diapositive) est placé un peu avant le foyer objet F. L'image est alors réelle, très agrandie et renversée : c'est pourquoi on place la diapositive à l'envers dans l'appareil, pour que l'image apparaisse à l'endroit sur le mur.
3Je retiens
Je retiens
Mesures algébriques depuis O ; axe orienté dans le sens de la lumière ; objet réel : OA < 0.
Relation de conjugaison : 1/OA' − 1/OA = 1/f' = C.
Grandissement : γ = A'B'/AB = OA'/OA (sans unité).
OA' > 0 : image réelle ; OA' < 0 : image virtuelle.
γ > 0 : droite ; γ < 0 : renversée ; |γ| > 1 : agrandie ; |γ| < 1 : réduite.
Mêmes unités partout ; utiliser les mètres si on emploie la vergence C en dioptries.
4Erreurs fréquentes
- Oublier le signe de OA : un objet réel placé avant la lentille a OA négatif (par exemple −30 cm et non 30 cm).
- Écrire 1/OA' = 1/f' − 1/OA : on ajoute 1/OA, c'est-à-dire 1/OA' = 1/f' + 1/OA.
- Oublier de prendre l'inverse à la fin : si 1/OA' = 1/15, alors OA' = 15 cm et non 1/15 cm.
- Mélanger cm et m, surtout quand la lentille est donnée par sa vergence en dioptries.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Une lentille convergente a une distance focale de 20 cm. Un objet est placé 60 cm avant la lentille.
a) Calcule OA'.
b) Calcule le grandissement et donne la nature de l'image.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) OA = -60 cm. 1OA' = 120 + 1-60 = 360 - 160 = 260 = 130, donc OA' = 30 cm.
b) γ = 30-60 = -0,5. Image réelle, renversée, deux fois plus petite.
2Exercice 2
Une loupe a une vergence de 20 δ. Mamadou observe un insecte placé 4 cm avant la loupe.
a) Calcule la distance focale de la loupe en cm.
b) Calcule la position de l'image et le grandissement.
c) L'image est-elle réelle ou virtuelle ? droite ou renversée ?
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a) f' = 120 = 0,05 m = 5 cm.
b) OA = -4 cm. 1OA' = 15 + 1-4 = 420 - 520 = -120, donc OA' = -20 cm. γ = -20-4 = 5.
c) OA' < 0 : image virtuelle ; γ > 0 : image droite, 5 fois plus grande.
3Exercice 3
Un objet de 3 cm est placé à 30 cm avant une lentille convergente de distance focale 15 cm. Détermine la position, la taille et la nature de l'image. Que remarques-tu ?
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OA = -30 cm. 1OA' = 115 - 130 = 130, donc OA' = 30 cm. γ = 30-30 = -1 ; A'B' = -1 × 3 = -3 cm.
Image réelle, renversée, de même taille que l'objet (3 cm). On remarque que l'objet étant à deux fois la distance focale avant la lentille, l'image se forme à deux fois la distance focale après.
4Exercice 4
Un objet est placé à 10 cm avant une lentille divergente de distance focale -10 cm. Calcule la position de l'image et le grandissement, puis caractérise l'image.
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OA = -10 cm ; f' = -10 cm. 1OA' = 1-10 + 1-10 = -210, donc OA' = -5 cm. γ = -5-10 = 0,5. Image virtuelle, droite, deux fois plus petite.
5Exercice 5
(Type BAC) Fanta veut projeter une diapositive de hauteur AB = 3 cm sur un mur situé à 2 m de la lentille. Elle utilise une lentille convergente de distance focale 10 cm.
a) L'image doit être nette sur le mur : que vaut OA' en cm ? L'image est-elle réelle ou virtuelle ?
b) Calcule la position OA de la diapositive (arrondis au dixième de cm).
c) Calcule le grandissement (arrondis à l'unité) et la hauteur de l'image sur le mur.
d) Explique pourquoi Fanta doit placer la diapositive à l'envers.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le mur est après la lentille, à 2 m : OA' = +200 cm. L'image, recueillie sur le mur, est réelle.
b) 1OA = 1OA' - 1f' = 1200 - 110 = 1 - 20200 = -19200, donc OA = -20019 ≈ -10,5 cm. La diapositive est placée à environ 10,5 cm avant la lentille, juste un peu avant le foyer objet.
c) γ = OA'OA = 200-200/19 = -19. A'B' = -19 × 3 = -57 cm. L'image mesure 57 cm de haut.
d) γ < 0 : l'image est renversée par rapport à la diapositive. Pour que l'image apparaisse à l'endroit sur le mur, il faut placer la diapositive à l'envers.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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