Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 27
Les équations de droites
Je sais lire, tracer et déterminer l'équation d'une droite, et reconnaître des droites parallèles ou perpendiculaires à partir de leurs équations.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître l'équation réduite y = ax + b d'une droite non parallèle à l'axe des ordonnées, et l'équation x = c d'une droite verticale
- Vérifier si un point appartient à une droite et tracer une droite à partir de son équation
- Déterminer l'équation d'une droite passant par deux points, ou par un point avec une direction donnée
- Utiliser les coefficients directeurs pour le parallélisme et l'orthogonalité, et calculer le point d'intersection de deux droites
Avant de commencer : Le repérage dans le plan, les coordonnées d'un vecteur (10e-maths-14), la résolution des équations du premier degré (10e-maths-11).
1Je découvre
Alpha est géomètre stagiaire à la mairie de Kissidougou. Sur le plan de la commune, muni d'un repère orthonormé, une nouvelle route rectiligne doit relier le village A(-2 ; -1) au village B(4 ; 2).
Le maire lui pose deux questions :
- « Si on prolonge cette route, passera-t-elle par le poste de santé, situé au point C(8 ; 4) ? »
- « Une deuxième route doit croiser la première à angle droit. Comment la tracer ? »
Alpha pourrait tracer la droite (AB) à la règle et regarder si elle passe par C, mais un dessin peut tromper d'un millimètre. Il veut une preuve par le calcul. Pour cela, il faut traduire « le point est sur la droite » par une relation entre l'abscisse et l'ordonnée de ce point.
Qu'est-ce que l'équation d'une droite, comment la trouver, et à quoi sert-elle ?
2Je comprends
1. L'équation réduite d'une droite
Dans un repère, toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme :
y = ax + b.
Cela veut dire : un point M(x ; y) est sur la droite si et seulement si ses coordonnées vérifient y = ax + b.
- a est le coefficient directeur (ou pente) : quand x augmente de 1, y augmente de a.
- b est l'ordonnée à l'origine : la droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b).
- Si a > 0, la droite « monte » ; si a < 0, elle « descend » ; si a = 0, elle est horizontale (y = b).
Une droite parallèle à l'axe des ordonnées (verticale) a une équation de la forme x = c : tous ses points ont la même abscisse c.
Le vecteur u(1 ; a) est un vecteur directeur de la droite y = ax + b : il indique sa direction.
2. Tracer une droite et vérifier qu'un point lui appartient
Pour tracer la droite y = 2x - 3, il suffit de deux points : pour x = 0, y = -3 ; pour x = 2, y = 2 × 2 - 3 = 1. On place (0 ; -3) et (2 ; 1), et on trace la droite qui les relie.
Pour vérifier si M(4 ; 5) est sur cette droite, on remplace : 2 × 4 - 3 = 5. On retrouve l'ordonnée de M : M est sur la droite. En revanche, pour N(1 ; 2) : 2 × 1 - 3 = -1 ≠ 2, donc N n'est pas sur la droite.
3. Trouver l'équation d'une droite passant par deux points
Si A(xA ; yA) et B(xB ; yB) ont des abscisses différentes, le coefficient directeur de (AB) est :
a = yB - yAxB - xA.
Si xA = xB, la droite est verticale : son équation est x = xA.
Méthode
Pour déterminer l'équation de la droite (AB) :
- Si x_A = x_B, l'équation est x = x_A : c'est terminé.
- Sinon, je calcule le coefficient directeur a = (y_B − y_A)/(x_B − x_A).
- J'écris y = ax + b et je remplace x et y par les coordonnées de A pour trouver b.
- J'écris l'équation y = ax + b avec les valeurs trouvées.
- Je vérifie avec le point B.
Exemple
La route d'Alpha : déterminer l'équation de (AB) avec A(−2 ; −1) et B(4 ; 2), puis dire si C(8 ; 4) est sur cette droite.
a = (2 − (−1))/(4 − (−2)) = 3/6 = 1/2.
L'équation est y = (1/2)x + b. Avec A : −1 = (1/2) × (−2) + b, soit −1 = −1 + b, donc b = 0.
(AB) : y = (1/2)x. Vérification avec B : (1/2) × 4 = 2. Juste.
Pour C : (1/2) × 8 = 4, qui est bien l'ordonnée de C. Le poste de santé est sur la route prolongée.
4. Droites parallèles, droites perpendiculaires
Soient (d) : y = ax + b et (d') : y = a'x + b'.
| Position | Condition |
|---|---|
| (d) et (d') parallèles | a = a' (même coefficient directeur) |
| (d) et (d') confondues | a = a' et b = b' |
| (d) et (d') perpendiculaires (repère orthonormé) | a × a' = -1 |
| (d) et (d') sécantes | a ≠ a' |
La condition d'orthogonalité se vérifie avec les vecteurs directeurs u(1 ; a) et v(1 ; a') : ils sont perpendiculaires quand 1 × 1 + a × a' = 0, c'est-à-dire a a' = -1.
Exemple
Déterminer l'équation de la droite (d₁) parallèle à (d) : y = −3x + 5 passant par P(2 ; 1), puis de la droite (d₂) perpendiculaire à (Δ) : y = 2x + 1 passant par l'origine O.
(d₁) est parallèle à (d) : elle a le coefficient directeur −3. y = −3x + b ; avec P : 1 = −6 + b, donc b = 7. (d₁) : y = −3x + 7.
(d₂) est perpendiculaire à (Δ) : 2 × a′ = −1, donc a′ = −1/2. Elle passe par O(0 ; 0), donc b = 0. (d₂) : y = −(1/2)x.
5. Point d'intersection de deux droites sécantes
Le point d'intersection a des coordonnées qui vérifient les deux équations. On écrit que les deux expressions de y sont égales.
Exemple
Trouver le point d'intersection de (d) : y = 2x + 1 et (d′) : y = −x + 7.
Les coefficients directeurs 2 et −1 sont différents : les droites sont sécantes.
2x + 1 = −x + 7, donc 3x = 6 et x = 2. Puis y = 2 × 2 + 1 = 5.
Vérification dans (d′) : −2 + 7 = 5. Le point d'intersection est I(2 ; 5).
3Je retiens
Je retiens
Droite non verticale : y = ax + b (a : coefficient directeur ; b : ordonnée à l'origine). Droite verticale : x = c.
M(x ; y) est sur la droite ⟺ ses coordonnées vérifient l'équation.
Par deux points A et B (x_A ≠ x_B) : a = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), puis on trouve b avec un point.
Parallèles ⟺ même coefficient directeur (a = a′).
Perpendiculaires (repère orthonormé) ⟺ a × a′ = −1.
Intersection : on résout ax + b = a′x + b′, puis on calcule y.
4Erreurs fréquentes
- Inverser le calcul du coefficient directeur : a = (y_B − y_A)/(x_B − x_A), les ordonnées en haut, les abscisses en bas, dans le même ordre.
- Écrire y = 3 pour une droite verticale : une droite verticale s'écrit x = c ; y = 3 est horizontale.
- Croire que perpendiculaire veut dire « coefficient opposé » : la perpendiculaire à y = 2x a pour coefficient −1/2, et non −2.
- Oublier de calculer y après avoir trouvé x au point d'intersection : un point a deux coordonnées.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque droite, donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine quand c'est possible, puis dis si le point M(2 ; 3) lui appartient.
(d1) : y = 3x - 3 ; (d2) : y = -x + 4 ; (d3) : y = 3 ; (d4) : x = 2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
(d1) : a = 3, b = -3. 3 × 2 - 3 = 3 : M est sur (d1).
(d2) : a = -1, b = 4. -2 + 4 = 2 ≠ 3 : M n'est pas sur (d2).
(d3) : a = 0, b = 3 (droite horizontale). L'ordonnée de M est 3 : M est sur (d3).
(d4) : droite verticale, pas de coefficient directeur. L'abscisse de M est 2 : M est sur (d4).
2Exercice 2
a) Détermine l'équation de la droite (AB) avec A(-1 ; 4) et B(2 ; -2).
b) Le point C(3 ; -5) est-il sur (AB) ?
c) Détermine l'équation de la droite (EF) avec E(3 ; 1) et F(3 ; 5).
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a) a = -2 - 42 - (-1) = -63 = -2. y = -2x + b ; avec A : 4 = 2 + b, donc b = 2. (AB) : y = -2x + 2. Vérification avec B : -4 + 2 = -2.
b) -2 × 3 + 2 = -4 ≠ -5 : C n'est pas sur (AB).
c) E et F ont la même abscisse 3 : (EF) : x = 3.
3Exercice 3
On donne la droite (d) : y = 12x - 1 et le point A(4 ; 0).
a) Détermine l'équation de la droite (d1) parallèle à (d) passant par A.
b) Détermine l'équation de la droite (d2) perpendiculaire à (d) passant par A (repère orthonormé).
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a) (d1) a le coefficient directeur 12. 0 = 12 × 4 + b, donc b = -2. (d1) : y = 12x - 2.
b) 12 × a' = -1, donc a' = -2. 0 = -2 × 4 + b, donc b = 8. (d2) : y = -2x + 8.
4Exercice 4
(Type BEPC) Dans un repère orthonormé, on donne A(-2 ; 1), B(2 ; 3) et C(4 ; -1).
a) Détermine l'équation de la droite (AB).
b) Détermine l'équation de la droite (BC).
c) Démontre que le triangle ABC est rectangle en B.
d) Détermine l'équation de la droite (Δ) parallèle à (AB) passant par C, puis les coordonnées du point où (Δ) coupe l'axe des ordonnées.
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a) a = 3 - 12 - (-2) = 24 = 12. Avec A : 1 = 12 × (-2) + b, donc b = 2. (AB) : y = 12x + 2. Vérification avec B : 1 + 2 = 3.
b) a' = -1 - 34 - 2 = -42 = -2. Avec B : 3 = -4 + b, donc b = 7. (BC) : y = -2x + 7. Vérification avec C : -8 + 7 = -1.
c) a × a' = 12 × (-2) = -1 : dans un repère orthonormé, (AB) ⊥ (BC). Le triangle ABC est rectangle en B.
d) (Δ) a le coefficient directeur 12. Avec C : -1 = 2 + b, donc b = -3. (Δ) : y = 12x - 3. Elle coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; -3).
5Exercice 5
(Problème) Sur le plan d'une préfecture (1 carreau = 1 km, repère orthonormé), la route n° 1 passe par A(0 ; 1) et B(6 ; 4). La route n° 2 passe par C(0 ; 10) et D(5 ; 0).
a) Détermine l'équation de chaque route.
b) Les deux routes se croisent-elles à angle droit ?
c) Calcule les coordonnées du carrefour.
d) Le marché hebdomadaire est au point M(8 ; 5). Est-il au bord de la route n° 1 ?
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a) Route n° 1 : a = 4 - 16 - 0 = 12 et b = 1 (car elle passe par (0 ; 1)) : y = 12x + 1.
Route n° 2 : a' = 0 - 105 - 0 = -2 et b' = 10 : y = -2x + 10.
b) 12 × (-2) = -1 : les routes se croisent à angle droit.
c) 12x + 1 = -2x + 10, donc 52x = 9 et x = 185 = 3,6. Puis y = 12 × 3,6 + 1 = 2,8. Vérification : -2 × 3,6 + 10 = 2,8. Le carrefour est au point (3,6 ; 2,8).
d) 12 × 8 + 1 = 5 : M est sur la route n° 1.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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