Karamö, le prof virtuelLeçon 16 sur 27
Les angles inscrits
Je sais reconnaître un angle inscrit et un angle au centre dans un cercle, et utiliser leurs propriétés pour calculer des angles.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un angle inscrit, un angle au centre et l'arc qu'ils interceptent
- Utiliser la relation entre un angle inscrit et l'angle au centre associé
- Utiliser l'égalité de deux angles inscrits qui interceptent le même arc
- Démontrer qu'un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle
Avant de commencer : Le cercle (centre, rayon, corde, diamètre, arc), la somme des angles d'un triangle (180°), les angles à la base d'un triangle isocèle.
1Je découvre
Dans la cour de l'école de Faranah, les élèves de 10e jouent au football sur un terrain tracé autour d'un grand cercle de sable. Ibrahima est debout sur le bord du cercle, en un point M. Deux piquets A et B sont plantés, eux aussi, sur le bord du cercle : ce sont les poteaux d'un petit but improvisé.
Ibrahima se demande sous quel angle il « voit » le but, c'est-à-dire la mesure de l'angle AMB. Il se déplace le long du cercle, toujours du même côté du but, et il mesure à chaque fois avec son rapporteur dessiné sur un carton. Surprise : l'angle reste le même, environ 40°, où qu'il se place !
Fanta, qui se tient au centre O du cercle, mesure l'angle AOB : elle trouve environ 80°, exactement le double.
Est-ce un hasard ? Quelle relation existe-t-il entre les angles dont le sommet est sur le cercle et l'angle dont le sommet est au centre, lorsqu'ils « regardent » le même arc ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
Soit mathcalC un cercle de centre O, et A, B deux points distincts de ce cercle.
- La corde [AB] partage le cercle en deux arcs. On note oversetfrownAB l'arc considéré (en général le petit arc).
- Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. L'angle AOB est un angle au centre ; il intercepte l'arc oversetfrownAB situé entre ses côtés.
- Un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les deux côtés coupent le cercle en deux autres points. Si M est un point du cercle distinct de A et B, l'angle AMB est un angle inscrit ; il intercepte l'arc oversetfrownAB qui ne contient pas M.
On dit que l'angle au centre AOB et l'angle inscrit AMB sont associés lorsqu'ils interceptent le même arc.
Attention : un angle dont le sommet est sur le cercle mais dont un côté ne recoupe pas le cercle (par exemple un côté tangent) n'est pas un angle inscrit au sens de cette leçon.
2. La propriété de l'angle inscrit
Propriété 1. Dans un cercle, la mesure d'un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc :
AMB = 12 AOB, c'est-à-dire AOB = 2 AMB.
Pourquoi ? (cas où O est sur le côté [MB], c'est-à-dire [MB] est un diamètre). Le triangle OMA est isocèle en O, car OM = OA (ce sont deux rayons). Ses angles à la base sont donc égaux : OMA = OAM = a. Dans ce triangle, MOA = 180° - 2a. Or M, O, B sont alignés, donc AOB = 180° - MOA = 180° - (180° - 2a) = 2a. On a bien AOB = 2 AMB. Les autres positions de M se ramènent à ce cas en traçant le diamètre issu de M.
C'est ce qu'ont constaté Ibrahima et Fanta : 40° est la moitié de 80°.
3. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc
Si M et N sont deux points du cercle situés du même côté de la corde [AB], les angles inscrits AMB et ANB interceptent le même arc. Chacun vaut la moitié du même angle au centre AOB.
Propriété 2. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc ont la même mesure.
Voilà pourquoi Ibrahima voit toujours le but sous le même angle en se déplaçant sur le cercle.
4. Le cas du demi-cercle
Si [AB] est un diamètre, l'angle au centre AOB est un angle plat : il mesure 180°. Tout angle inscrit qui intercepte ce demi-cercle mesure donc 180° ÷ 2 = 90°.
Propriété 3. Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle, et l'angle droit est au sommet opposé au diamètre.
Réciproquement, si un triangle ABM est rectangle en M, alors M est sur le cercle de diamètre [AB].
5. Le quadrilatère inscrit
Un quadrilatère ABCD dont les quatre sommets sont sur un cercle est dit inscrit. Les angles A et C interceptent les deux arcs oversetfrownBD qui, ensemble, font tout le cercle. Les angles au centre associés ont pour somme 360°, donc A + C = 360° ÷ 2 = 180°.
Propriété 4. Dans un quadrilatère inscrit dans un cercle, deux angles opposés sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).
Méthode
Pour calculer un angle dans un cercle :
- Je repère le sommet de l'angle : au centre (angle au centre) ou sur le cercle (angle inscrit).
- Je repère l'arc intercepté, c'est-à-dire l'arc situé « entre les côtés » de l'angle.
- Je cherche un autre angle qui intercepte le même arc (angle au centre ou autre angle inscrit).
- J'applique la bonne propriété : moitié de l'angle au centre, égalité de deux angles inscrits, ou angle droit si l'arc est un demi-cercle.
- Je rédige en citant la propriété utilisée.
Exemple
Dans un cercle de centre O, l'angle au centre AOB mesure 110°. M est un point du grand arc AB. Calculer l'angle AMB.
L'angle inscrit AMB et l'angle au centre AOB interceptent le même arc AB.
D'après la propriété de l'angle inscrit : AMB = AOB ÷ 2 = 110° ÷ 2 = 55°.
Exemple
A, B, M et N sont quatre points d'un cercle ; M et N sont du même côté de la corde [AB]. On sait que l'angle AMB mesure 38°. Calculer l'angle ANB, puis l'angle au centre AOB.
Les angles inscrits AMB et ANB interceptent le même arc AB, donc ils sont égaux : ANB = 38°.
L'angle au centre AOB intercepte aussi cet arc : AOB = 2 × 38° = 76°.
Exemple
[AB] est un diamètre d'un cercle de centre O et C un point du cercle. L'angle BAC mesure 35°. Calculer les angles ACB et ABC.
C est sur le cercle de diamètre [AB], donc le triangle ABC est rectangle en C : ACB = 90°.
Dans le triangle ABC, la somme des angles vaut 180° :
ABC = 180° − 90° − 35° = 55°.
3Je retiens
Je retiens
Angle au centre : sommet au centre du cercle. Angle inscrit : sommet sur le cercle, côtés qui recoupent le cercle.
Un angle inscrit mesure la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux.
Un triangle inscrit dont un côté est un diamètre est rectangle (angle droit au sommet opposé au diamètre).
Dans un quadrilatère inscrit, deux angles opposés sont supplémentaires (somme 180°).
4Erreurs fréquentes
- Doubler au lieu de diviser : l'angle inscrit est la MOITIÉ de l'angle au centre, pas le double. Si l'angle au centre vaut 80°, l'angle inscrit vaut 40°.
- Associer deux angles qui n'interceptent pas le même arc : avant d'écrire une égalité, vérifie que les deux sommets sont du même côté de la corde.
- Croire que tout angle dont le sommet est sur le cercle est inscrit : ses deux côtés doivent recouper le cercle.
- Oublier de citer la propriété : au BEPC, écris par exemple « d'après la propriété de l'angle inscrit » ou « C est sur le cercle de diamètre [AB] ».
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans un cercle de centre O, calcule l'angle inscrit AMB associé à l'angle au centre AOB dans chaque cas :
a) AOB = 64° ; b) AOB = 150° ; c) AOB = 90°.
Voir le corrigéCacher le corrigé
L'angle inscrit mesure la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.
a) 64° ÷ 2 = 32° ; b) 150° ÷ 2 = 75° ; c) 90° ÷ 2 = 45°.
2Exercice 2
Calcule l'angle au centre AOB sachant que l'angle inscrit associé AMB mesure :
a) 27° ; b) 45° ; c) 72,5°.
Voir le corrigéCacher le corrigé
L'angle au centre est le double de l'angle inscrit associé.
a) 2 × 27° = 54° ; b) 2 × 45° = 90° ; c) 2 × 72,5° = 145°.
3Exercice 3
A, B, C et D sont quatre points d'un cercle, C et D sont du même côté de la droite (AB). On donne ACB = 48°.
a) Quelle est la mesure de ADB ? Justifie.
b) Quelle est la mesure de l'angle au centre AOB ?
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a) Les angles inscrits ACB et ADB interceptent le même arc oversetfrownAB (C et D sont du même côté de la corde). Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux : ADB = 48°.
b) L'angle au centre AOB intercepte le même arc : AOB = 2 × 48° = 96°.
4Exercice 4
Le quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle. On donne DAB = 75° et ABC = 98°. Calcule BCD et CDA.
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Dans un quadrilatère inscrit, deux angles opposés sont supplémentaires.
BCD est opposé à DAB : BCD = 180° - 75° = 105°.
CDA est opposé à ABC : CDA = 180° - 98° = 82°.
Vérification : 75 + 98 + 105 + 82 = 360, la somme des angles d'un quadrilatère vaut bien 360°.
5Exercice 5
(Type BEPC) Soit mathcalC un cercle de centre O et de diamètre [AB] avec AB = 10 cm. C est un point de mathcalC tel que AC = 6 cm.
a) Démontre que le triangle ABC est rectangle en C.
b) Calcule la longueur BC.
c) On donne BAC ≈ 53°. Calcule une valeur approchée de ABC, puis de l'angle au centre AOC.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Le point C appartient au cercle de diamètre [AB]. Or, si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, il est rectangle au sommet opposé à ce diamètre. Donc ABC est rectangle en C.
b) Dans le triangle ABC rectangle en C, d'après la propriété de Pythagore : AB2 = AC2 + BC2, donc BC2 = 102 - 62 = 100 - 36 = 64 et BC = 8 cm.
c) Dans le triangle ABC : ABC = 180° - 90° - 53° = 37° (environ).
L'angle inscrit ABC et l'angle au centre AOC interceptent le même arc oversetfrownAC : AOC = 2 × 37° = 74° (environ).
Autre vérification : le triangle OAC est isocèle en O (OA = OC = 5 cm), donc OCA = OAC ≈ 53° et AOC ≈ 180° - 2 × 53° = 74°. Les deux méthodes concordent.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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