Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 27
Angles au centre et polygones réguliers
Je sais reconnaître un polygone régulier, calculer ses angles au centre et ses angles intérieurs, et le construire dans un cercle.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un polygone régulier et son cercle circonscrit
- Calculer l'angle au centre et l'angle intérieur d'un polygone régulier à n côtés
- Construire un triangle équilatéral, un carré et un hexagone réguliers inscrits dans un cercle
- Calculer le périmètre et l'aire d'un hexagone régulier
Avant de commencer : Les angles inscrits et les angles au centre (leçon précédente), la somme des angles d'un triangle, le triangle isocèle et le triangle équilatéral, la propriété de Pythagore.
1Je découvre
Sékou est menuisier à Labé. Un client lui commande une table à six côtés tous égaux, pour recevoir la famille lors des fêtes. Sékou dispose d'une grande planche ronde de 60 cm de rayon, et il veut découper la plus grande table possible à six côtés égaux dans ce disque.
Son apprenti Alpha propose de mesurer « au hasard » six segments de même longueur. Sékou sourit : « Si tu fais ça, le dernier côté ne tombera jamais juste. Il faut d'abord partager le tour du cercle en six angles égaux, à partir du centre. »
Combien doit mesurer chacun de ces angles ? Quelle sera la longueur de chaque côté ? Et quel angle Sékou doit-il régler sur sa scie pour assembler deux côtés voisins ?
Comment construire un polygone dont tous les côtés et tous les angles sont égaux, et comment calculer ses angles ?
2Je comprends
1. Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?
Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles ont la même mesure.
Les deux conditions sont nécessaires : un losange non carré a quatre côtés égaux mais ses angles ne sont pas tous égaux ; un rectangle non carré a quatre angles égaux mais ses côtés ne sont pas tous égaux. Aucun des deux n'est régulier.
| Nombre de côtés | Nom du polygone régulier |
|---|---|
| 3 | triangle équilatéral |
| 4 | carré |
| 5 | pentagone régulier |
| 6 | hexagone régulier |
| 8 | octogone régulier |
| 10 | décagone régulier |
| 12 | dodécagone régulier |
Propriété. Les sommets d'un polygone régulier sont tous sur un même cercle, appelé cercle circonscrit. Son centre O est le centre du polygone ; son rayon est le rayon du polygone.
2. L'angle au centre d'un polygone régulier
Si A et B sont deux sommets consécutifs d'un polygone régulier de centre O, l'angle AOB est un angle au centre du polygone. Les n angles au centre sont égaux et font ensemble le tour complet, soit 360°.
L'angle au centre d'un polygone régulier à n côtés mesure 360°n.
3. L'angle intérieur
Le triangle OAB est isocèle en O car OA = OB (deux rayons). Ses angles à la base valent donc 180° - 360°n2 chacun. L'angle intérieur du polygone au sommet B est formé de deux de ces angles à la base (un dans chaque triangle voisin). Donc :
L'angle intérieur d'un polygone régulier à n côtés mesure 180° - 360°n, ce qui s'écrit aussi (n-2) × 180°n.
| Polygone | n | Angle au centre | Angle intérieur |
|---|---|---|---|
| Triangle équilatéral | 3 | 120° | 60° |
| Carré | 4 | 90° | 90° |
| Pentagone | 5 | 72° | 108° |
| Hexagone | 6 | 60° | 120° |
| Octogone | 8 | 45° | 135° |
| Décagone | 10 | 36° | 144° |
| Dodécagone | 12 | 30° | 150° |
Remarque : l'angle au centre et l'angle intérieur sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).
4. Le cas remarquable de l'hexagone
Pour l'hexagone, l'angle au centre vaut 60°. Le triangle OAB est isocèle en O avec un angle de 60° au sommet : ses angles à la base valent (180° - 60°) ÷ 2 = 60°. Il est donc équilatéral : AB = OA.
Le côté d'un hexagone régulier est égal au rayon de son cercle circonscrit.
C'est la réponse à Sékou : l'angle au centre vaut 60°, chaque côté de la table mesure 60 cm, et deux côtés voisins forment un angle de 120°.
5. Construire un polygone régulier inscrit dans un cercle
Méthode
Pour construire un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de centre O :
- Je trace le cercle et un premier rayon [OA].
- Je calcule l'angle au centre : 360° ÷ n.
- Avec le rapporteur, je reporte cet angle à partir de [OA] et je place le sommet B sur le cercle.
- Au compas, je reporte la longueur AB tout autour du cercle pour obtenir les autres sommets.
- Je relie les sommets consécutifs et je vérifie que le dernier côté a la même longueur que les autres.
Constructions sans rapporteur :
- Hexagone : on reporte le rayon six fois au compas sur le cercle.
- Triangle équilatéral : on construit l'hexagone et on relie un sommet sur deux.
- Carré : on trace deux diamètres perpendiculaires ; leurs extrémités sont les sommets.
- Octogone : on trace les bissectrices des angles droits du carré ; on obtient 8 points sur le cercle.
6. Longueurs et aires
Pour un polygone régulier de côté c, le périmètre vaut n × c.
Pour un hexagone régulier de côté a, il est formé de 6 triangles équilatéraux de côté a. La hauteur d'un tel triangle vaut a√32 (propriété de Pythagore), donc son aire vaut a2√34 et :
Aire de l'hexagone régulier de côté a : mathcalA = 6 × a2√34 = 3√32 a2.
Pour un carré inscrit dans un cercle de rayon r, la diagonale est un diamètre (2r), donc le côté vaut r√2.
Exemple
Calculer l'angle au centre et l'angle intérieur d'un pentagone régulier.
n = 5. Angle au centre : 360° ÷ 5 = 72°.
Angle intérieur : 180° − 72° = 108°.
Vérification avec l'autre formule : (5 − 2) × 180° ÷ 5 = 540° ÷ 5 = 108°.
Exemple
Un polygone régulier a des angles intérieurs de 150°. Combien a-t-il de côtés ?
L'angle au centre vaut 180° − 150° = 30°.
Or l'angle au centre vaut 360° ÷ n, donc n = 360 ÷ 30 = 12.
C'est un dodécagone régulier (12 côtés).
Exemple
Un hexagone régulier est inscrit dans un cercle de rayon 4 cm. Calculer son périmètre et son aire.
Le côté de l'hexagone est égal au rayon : a = 4 cm.
Périmètre : 6 × 4 = 24 cm.
Aire : (3√3 ÷ 2) × 4² = (3√3 ÷ 2) × 16 = 24√3 cm², soit environ 41,57 cm².
3Je retiens
Je retiens
Polygone régulier : tous les côtés égaux ET tous les angles égaux ; ses sommets sont sur un cercle de centre O.
Angle au centre d'un polygone régulier à n côtés : 360° ÷ n.
Angle intérieur : 180° − 360° ÷ n = (n − 2) × 180° ÷ n.
Hexagone régulier : côté = rayon ; aire = (3√3 ÷ 2) × a².
Carré inscrit dans un cercle de rayon r : côté = r√2.
Périmètre d'un polygone régulier : n × côté.
4Erreurs fréquentes
- Confondre angle au centre et angle intérieur : pour l'hexagone, l'angle au centre vaut 60° mais l'angle intérieur vaut 120°.
- Croire qu'un losange est régulier : il a quatre côtés égaux, mais ses angles doivent aussi être égaux (c'est alors un carré).
- Reporter le rayon au compas pour construire un pentagone ou un octogone : cette astuce ne marche que pour l'hexagone (et donc le triangle équilatéral).
- Oublier que n doit être un nombre entier : si 360 ÷ (angle au centre) ne tombe pas juste, un tel polygone régulier n'existe pas.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule l'angle au centre et l'angle intérieur :
a) d'un octogone régulier ; b) d'un décagone régulier ; c) d'un polygone régulier à 9 côtés.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Octogone, n = 8 : angle au centre 360° ÷ 8 = 45° ; angle intérieur 180° - 45° = 135°.
b) Décagone, n = 10 : angle au centre 360° ÷ 10 = 36° ; angle intérieur 180° - 36° = 144°.
c) n = 9 : angle au centre 360° ÷ 9 = 40° ; angle intérieur 180° - 40° = 140°.
2Exercice 2
Existe-t-il un polygone régulier dont l'angle au centre mesure :
a) 40° ? b) 25° ? c) 7° ? Si oui, donne son nombre de côtés.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Il faut que n = 360 ÷ (angle au centre) soit un nombre entier supérieur ou égal à 3.
a) 360 ÷ 40 = 9 : oui, un polygone régulier à 9 côtés (ennéagone).
b) 360 ÷ 25 = 14,4 : ce n'est pas un entier, donc non.
c) 360 ÷ 7 ≈ 51,4 : pas un entier, donc non.
3Exercice 3
Un polygone régulier a des angles intérieurs de 140°. Détermine son nombre de côtés.
Voir le corrigéCacher le corrigé
L'angle au centre vaut 180° - 140° = 40°. Donc n = 360 ÷ 40 = 9. Le polygone a 9 côtés.
4Exercice 4
Trace un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
a) Construis un hexagone régulier ABCDEF inscrit dans ce cercle. Décris ta construction.
b) Déduis-en un triangle équilatéral inscrit dans le même cercle.
c) Calcule le périmètre de l'hexagone.
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a) On place un point A sur le cercle. Au compas, avec un écartement de 3 cm (le rayon), on reporte à partir de A les points B, C, D, E, F sur le cercle. On relie A, B, C, D, E, F dans l'ordre. Cela fonctionne car le côté d'un hexagone régulier est égal au rayon.
b) On relie un sommet sur deux : le triangle ACE est équilatéral inscrit dans le cercle (angle au centre AOC = 2 × 60° = 120°).
c) Périmètre : 6 × 3 = 18 cm.
5Exercice 5
(Type BEPC) Mariama brode un motif en forme de carré ABCD inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 5 cm.
a) Quelle est la mesure de l'angle au centre AOB ? Quelle est la nature du triangle AOB ?
b) Calcule la valeur exacte de AB, puis une valeur approchée au millimètre.
c) Calcule l'aire du carré, puis l'aire de la partie du disque située hors du carré (on prendra π ≈ 3,14).
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a) Un carré est un polygone régulier à 4 côtés : AOB = 360° ÷ 4 = 90°. Comme OA = OB = 5 cm, le triangle AOB est rectangle et isocèle en O.
b) D'après la propriété de Pythagore dans AOB rectangle en O : AB2 = 52 + 52 = 50, donc AB = √50 = 5√2 cm ≈ 7,1 cm.
c) Aire du carré : AB2 = 50 cm². Aire du disque : π × 52 ≈ 3,14 × 25 = 78,5 cm². Aire hors du carré : 78,5 - 50 = 28,5 cm² (environ).
6Exercice 6
Revenons à la table de Sékou : hexagone régulier de côté 60 cm. Calcule l'aire du plateau en cm², valeur exacte puis arrondie à l'unité, puis en m² (arrondie au centième).
Voir le corrigéCacher le corrigé
mathcalA = 3√32 × 602 = 3√32 × 3 600 = 5 400√3 cm².
Avec √3 ≈ 1,7321 : 5 400 × 1,7321 ≈ 9 353 cm².
Comme 1 m² = 10 000 cm², l'aire vaut environ 0,94 m².
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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