Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 27
Les équations dans ℝ × ℝ
Je sais trouver les couples solutions d'une équation à deux inconnues et résoudre un système de deux équations à deux inconnues par substitution, par combinaison et graphiquement.
- 1 h
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une équation du premier degré à deux inconnues et vérifier si un couple en est solution
- Résoudre un système de deux équations par substitution
- Résoudre un système par combinaison (addition)
- Interpréter graphiquement un système comme l'intersection de deux droites
Avant de commencer : Les équations du premier degré dans ℝ, le calcul littéral, les équations de droites (y = ax + b) et le repérage dans le plan.
1Je découvre
Sékou revient du marché de Kankan avec 12 billets dans sa poche. Il n'a que des billets de 5 000 GNF et de 10 000 GNF, et il sait qu'il possède en tout 85 000 GNF. Sa petite sœur Aïssatou lui demande : « Combien as-tu de billets de chaque sorte ? »
Sékou appelle x le nombre de billets de 5 000 GNF et y le nombre de billets de 10 000 GNF. Il écrit deux phrases mathématiques :
- le nombre de billets : x + y = 12 ;
- la somme d'argent : 5 000x + 10 000y = 85 000.
Chacune de ces égalités, seule, a beaucoup de solutions : par exemple, x = 2 et y = 10 vérifient la première, mais pas la seconde. Sékou cherche le couple (x ; y) qui vérifie les deux à la fois.
Comment trouver deux nombres inconnus qui doivent vérifier deux égalités en même temps ?
2Je comprends
1. Équation du premier degré à deux inconnues
Une équation du premier degré dans ℝ × ℝ (à deux inconnues x et y) est une équation qui peut s'écrire :
ax + by = c, où a, b, c sont des nombres réels donnés, avec a et b non tous les deux nuls.
Une solution est un couple (x ; y) de nombres réels qui rend l'égalité vraie. L'ordre compte : dans (3 ; 1), x = 3 et y = 1.
Exemple
Le couple (3 ; 1) est-il solution de 2x + y = 7 ? Et le couple (2 ; 4) ?
Pour (3 ; 1) : 2 × 3 + 1 = 6 + 1 = 7. L'égalité est vraie : (3 ; 1) est solution.
Pour (2 ; 4) : 2 × 2 + 4 = 4 + 4 = 8 et 8 ≠ 7 : (2 ; 4) n'est pas solution.
D'autres solutions : (0 ; 7), (1 ; 5), (−1 ; 9)… Il y en a une infinité.
Interprétation graphique. L'équation 2x + y = 7 s'écrit aussi y = -2x + 7 : c'est l'équation d'une droite. Les solutions de l'équation sont exactement les couples de coordonnées des points de cette droite. C'est pourquoi une équation à deux inconnues a une infinité de solutions.
2. Système de deux équations à deux inconnues
Un système de deux équations à deux inconnues s'écrit avec une accolade :
begincases ax + by = c
a'x + b'y = c' endcases
Résoudre le système, c'est trouver tous les couples (x ; y) qui vérifient les deux équations en même temps. On note S l'ensemble des solutions, par exemple S = {(7 ; 5)}.
3. Méthode par substitution
L'idée : on exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace (on « substitue ») dans l'autre équation. On obtient une équation à une seule inconnue.
Méthode
Résoudre un système par substitution :
- Je choisis l'équation la plus simple et j'isole une inconnue (de préférence celle dont le coefficient est 1 ou −1).
- Je remplace cette inconnue par son expression dans l'autre équation.
- Je résous l'équation à une inconnue obtenue.
- Je calcule l'autre inconnue avec l'expression trouvée à l'étape 1.
- Je vérifie le couple dans les DEUX équations et j'écris S.
Exemple
Résoudre le système de Sékou : x + y = 12 et 5 000x + 10 000y = 85 000.
On simplifie la deuxième équation en divisant par 5 000 : x + 2y = 17.
Dans la première équation : x = 12 − y.
On remplace dans la deuxième : (12 − y) + 2y = 17, soit 12 + y = 17, donc y = 5.
Puis x = 12 − 5 = 7.
Vérification : 7 + 5 = 12 et 5 000 × 7 + 10 000 × 5 = 35 000 + 50 000 = 85 000.
S = {(7 ; 5)} : Sékou a 7 billets de 5 000 GNF et 5 billets de 10 000 GNF.
Exemple
Résoudre : 2x + 3y = 13 et x − 2y = −4.
Dans la deuxième équation : x = 2y − 4.
On remplace dans la première : 2(2y − 4) + 3y = 13, soit 4y − 8 + 3y = 13, soit 7y = 21, donc y = 3.
Puis x = 2 × 3 − 4 = 2.
Vérification : 2 × 2 + 3 × 3 = 4 + 9 = 13 et 2 − 2 × 3 = 2 − 6 = −4.
S = {(2 ; 3)}.
4. Méthode par combinaison (ou par addition)
L'idée : on multiplie les équations par des nombres bien choisis pour que, en les additionnant, une inconnue disparaisse.
Exemple
Résoudre : 3x + 2y = 16 et 5x − 4y = 1.
On multiplie la première équation par 2 : 6x + 4y = 32.
On additionne membre à membre avec la deuxième : 6x + 4y + 5x − 4y = 32 + 1, soit 11x = 33, donc x = 3.
On remplace x par 3 dans la première : 9 + 2y = 16, soit 2y = 7, donc y = 3,5.
Vérification : 3 × 3 + 2 × 3,5 = 9 + 7 = 16 et 5 × 3 − 4 × 3,5 = 15 − 14 = 1.
S = {(3 ; 3,5)}.
La combinaison est pratique quand aucun coefficient ne vaut 1 ou −1 ; la substitution est plus rapide dans le cas contraire.
5. Méthode graphique
Chaque équation du système est l'équation d'une droite. Un couple solution du système correspond donc à un point qui appartient aux deux droites : c'est leur point d'intersection.
Exemple
Résoudre graphiquement : x + y = 5 et 2x − y = 1.
On écrit chaque équation sous la forme y = ax + b :
(D₁) : y = −x + 5 et (D₂) : y = 2x − 1.
On trace les deux droites : elles se coupent au point de coordonnées (2 ; 3).
Vérification par le calcul : 2 + 3 = 5 et 2 × 2 − 3 = 1.
S = {(2 ; 3)}.
La méthode graphique donne souvent une solution approchée (lecture sur le dessin) ; on la confirme par le calcul.
6. Nombre de solutions d'un système
Deux droites du plan peuvent être :
| Position des deux droites | Nombre de solutions du système |
|---|---|
| sécantes (coefficients directeurs différents) | une seule solution |
| parallèles et distinctes | aucune solution, S = ∅ |
| confondues | une infinité de solutions |
Par exemple, le système x + y = 3 et x + y = 5 n'a aucune solution : une même somme ne peut pas valoir à la fois 3 et 5 (les droites sont parallèles).
3Je retiens
Je retiens
Une équation ax + by = c a une infinité de couples solutions : ce sont les coordonnées des points d'une droite.
Résoudre un système, c'est trouver les couples (x ; y) qui vérifient les deux équations à la fois.
Substitution : isoler une inconnue dans une équation, remplacer dans l'autre.
Combinaison : multiplier puis additionner les équations pour éliminer une inconnue.
Graphiquement : la solution est le point d'intersection des deux droites.
Droites sécantes : une solution ; parallèles : aucune ; confondues : une infinité.
On vérifie toujours la solution dans les DEUX équations.
4Erreurs fréquentes
- Oublier de multiplier tous les termes : en multipliant 3x + 2y = 16 par 2, on obtient 6x + 4y = 32, et non 6x + 4y = 16.
- Inverser x et y dans le couple : si x = 7 et y = 5, on écrit S = {(7 ; 5)}, pas {(5 ; 7)}.
- Vérifier dans une seule équation : un couple peut vérifier la première sans vérifier la seconde.
- Oublier les parenthèses lors de la substitution : remplacer x par (2y − 4) dans 2x donne 2(2y − 4) = 4y − 8.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Parmi les couples (1 ; 4), (3 ; -1), (0 ; 5) et (2 ; 1), lesquels sont solutions de l'équation 3x + 2y = 7 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
On calcule 3x + 2y pour chaque couple.
(1 ; 4) : 3 + 8 = 11 ≠ 7, non solution.
(3 ; -1) : 9 - 2 = 7, solution.
(0 ; 5) : 0 + 10 = 10 ≠ 7, non solution.
(2 ; 1) : 6 + 2 = 8 ≠ 7, non solution.
Seul (3 ; -1) est solution.
2Exercice 2
Résous par substitution : begincases x + 3y = 10
2x - y = 6 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
Dans la première équation : x = 10 - 3y. On remplace dans la deuxième :
2(10 - 3y) - y = 6, soit 20 - 6y - y = 6, soit -7y = -14, donc y = 2.
Puis x = 10 - 3 × 2 = 4.
Vérification : 4 + 6 = 10 et 8 - 2 = 6. S = {(4 ; 2)}.
3Exercice 3
Résous par combinaison : begincases 4x + 3y = 11
3x - 2y = -13 endcases
Voir le corrigéCacher le corrigé
On élimine y : on multiplie la première équation par 2 et la deuxième par 3.
8x + 6y = 22 et 9x - 6y = -39. En additionnant : 17x = -17, donc x = -1.
Dans la première : -4 + 3y = 11, soit 3y = 15, donc y = 5.
Vérification : 4 × (-1) + 3 × 5 = -4 + 15 = 11 et 3 × (-1) - 2 × 5 = -3 - 10 = -13.
S = {(-1 ; 5)}.
4Exercice 4
On considère le système begincases x - y = 1
x + 2y = 7 endcases
a) Écris chaque équation sous la forme y = ax + b.
b) Trace les deux droites dans un repère et lis les coordonnées de leur point d'intersection.
c) Vérifie ta réponse par le calcul.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x - y = 1 donne y = x - 1. x + 2y = 7 donne 2y = -x + 7, soit y = -12x + 72.
b) La première droite passe par (0 ; -1) et (1 ; 0) ; la seconde par (1 ; 3) et (7 ; 0). Elles se coupent au point (3 ; 2).
c) Par substitution : x = y + 1, donc y + 1 + 2y = 7, 3y = 6, y = 2 et x = 3. Vérification : 3 - 2 = 1 et 3 + 4 = 7. S = {(3 ; 2)}.
5Exercice 5
Sans le résoudre, dis combien de solutions possède le système begincases 2x + y = 3
4x + 2y = 10 endcases. Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
En divisant la deuxième équation par 2, on obtient 2x + y = 5. Or la première dit 2x + y = 3. Une même quantité 2x + y ne peut pas valoir 3 et 5 à la fois : le système n'a aucune solution. Graphiquement, les droites y = -2x + 3 et y = -2x + 5 ont le même coefficient directeur -2 : elles sont parallèles et distinctes.
6Exercice 6
(Type BEPC) Kadiatou achète au marché 3 kg de tomates et 2 kg d'oignons pour 26 000 GNF. Sa voisine Hawa achète, au même étal, 2 kg de tomates et 5 kg d'oignons pour 32 000 GNF. On note x le prix d'un kilogramme de tomates et y celui d'un kilogramme d'oignons, en GNF.
a) Traduis la situation par un système de deux équations.
b) Résous ce système.
c) Combien paierait-on pour 1 kg de tomates et 1 kg d'oignons ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) begincases 3x + 2y = 26 000
2x + 5y = 32 000 endcases
b) On élimine x : on multiplie la première par 2 et la deuxième par 3.
6x + 4y = 52 000 et 6x + 15y = 96 000. En soustrayant la première de la deuxième : 11y = 44 000, donc y = 4 000.
Dans la première : 3x + 8 000 = 26 000, soit 3x = 18 000, donc x = 6 000.
Vérification : 3 × 6 000 + 2 × 4 000 = 18 000 + 8 000 = 26 000 et 2 × 6 000 + 5 × 4 000 = 12 000 + 20 000 = 32 000.
Le kilogramme de tomates coûte 6 000 GNF et le kilogramme d'oignons 4 000 GNF.
c) 6 000 + 4 000 = 10 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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