Karamö, le prof virtuelLeçon 19 sur 27
Résoudre un problème à l'aide d'un système de deux équations
Je sais traduire un problème de la vie courante par un système de deux équations, le résoudre et rédiger une réponse claire à la question posée.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Choisir et nommer clairement les deux inconnues d'un problème
- Traduire les informations de l'énoncé par deux équations
- Résoudre le système et vérifier la solution dans l'énoncé
- Rédiger une phrase de conclusion avec les bonnes unités
Avant de commencer : La résolution d'un système de deux équations à deux inconnues par substitution et par combinaison (leçon précédente), le calcul littéral.
1Je découvre
Mariama tient une petite boutique d'alimentation à Mamou. Un matin, un client achète 2 kg de riz et 1 litre d'huile ; il paie 38 000 GNF. Un peu plus tard, un autre client prend 3 kg de riz et 2 litres d'huile ; il paie 64 000 GNF.
Le soir, son fils Ousmane veut remplir le cahier des prix, mais l'étiquette du riz et celle de l'huile se sont décollées sous la pluie. Il ne connaît que ces deux ventes.
Ousmane pourrait essayer des prix au hasard : 10 000 GNF le kilogramme de riz ? Alors l'huile coûterait 18 000 GNF d'après la première vente, et la seconde vente ferait 30 000 + 36 000 = 66 000 GNF, ce qui ne va pas. Essayer ainsi peut prendre très longtemps.
Comment traduire ces informations en équations pour retrouver sûrement le prix du riz et celui de l'huile ?
2Je comprends
1. Les cinq étapes de la résolution d'un problème
Dans la leçon précédente, tu as appris à résoudre un système. Ici, le travail le plus important se fait avant le calcul : il faut mettre le problème en équations. Voici la démarche attendue au BEPC.
- 1Choix des inconnues : j'écris « Soit x … et y … » en précisant l'unité.
- 2Mise en équations : je traduis chaque information de l'énoncé par une égalité.
- 3Résolution : je résous le système par substitution ou par combinaison.
- 4Vérification : je contrôle que la solution respecte TOUTES les informations de l'énoncé.
- 5Conclusion : je réponds à la question par une phrase, avec les unités.
2. Bien choisir les inconnues
Les inconnues sont en général les deux quantités demandées par la question. Il faut les définir avec précision : « Soit x le prix d'un kilogramme de riz, en GNF » est correct ; « Soit x le riz » ne veut rien dire.
3. Traduire l'énoncé : le petit dictionnaire
| Phrase de l'énoncé | Traduction |
|---|---|
| la somme de x et y vaut 20 | x + y = 20 |
| x dépasse y de 7 | x - y = 7 ou x = y + 7 |
| x est le triple de y | x = 3y |
| 3 objets à x GNF et 2 à y GNF coûtent 5 000 GNF | 3x + 2y = 5 000 |
| dans 10 ans, l'âge x sera le double de l'âge y | x + 10 = 2(y + 10) |
| le périmètre d'un rectangle de longueur L et de largeur ell vaut 46 | 2(L + ell) = 46 |
Chaque information chiffrée de l'énoncé donne en général une équation. Il en faut deux pour deux inconnues.
4. Des exemples complets
Exemple
La boutique de Mariama : 2 kg de riz et 1 L d'huile coûtent 38 000 GNF ; 3 kg de riz et 2 L d'huile coûtent 64 000 GNF.
Choix des inconnues : soit x le prix d'un kilogramme de riz et y le prix d'un litre d'huile, en GNF.
Mise en équations : 2x + y = 38 000 et 3x + 2y = 64 000.
Résolution par substitution : y = 38 000 − 2x.
3x + 2(38 000 − 2x) = 64 000, soit 3x + 76 000 − 4x = 64 000, soit −x = −12 000, donc x = 12 000.
y = 38 000 − 24 000 = 14 000.
Vérification : 2 × 12 000 + 14 000 = 38 000 et 3 × 12 000 + 2 × 14 000 = 36 000 + 28 000 = 64 000.
Conclusion : le riz coûte 12 000 GNF le kilogramme et l'huile 14 000 GNF le litre.
Exemple
Un père a aujourd'hui trois fois l'âge de son fils. Dans 12 ans, il aura le double de l'âge de son fils. Quels sont leurs âges ?
Soit p l'âge du père et f l'âge du fils aujourd'hui, en années.
p = 3f et p + 12 = 2(f + 12).
On remplace p par 3f : 3f + 12 = 2f + 24, donc f = 12. Puis p = 3 × 12 = 36.
Vérification : 36 = 3 × 12 ; dans 12 ans, 48 et 24, et 48 = 2 × 24.
Conclusion : le père a 36 ans et le fils 12 ans.
Exemple
Au stade de Kindia, un match a attiré 150 spectateurs. L'entrée coûte 10 000 GNF pour un adulte et 5 000 GNF pour un enfant. La recette est de 1 200 000 GNF. Combien d'adultes et d'enfants sont venus ?
Soit a le nombre d'adultes et e le nombre d'enfants.
a + e = 150 et 10 000a + 5 000e = 1 200 000.
On divise la deuxième équation par 5 000 : 2a + e = 240.
On soustrait la première : (2a + e) − (a + e) = 240 − 150, donc a = 90. Puis e = 150 − 90 = 60.
Vérification : 90 + 60 = 150 et 10 000 × 90 + 5 000 × 60 = 900 000 + 300 000 = 1 200 000.
Conclusion : 90 adultes et 60 enfants ont assisté au match.
Exemple
Un champ rectangulaire a un périmètre de 46 m ; sa longueur dépasse sa largeur de 7 m. Calculer ses dimensions et son aire.
Soit L la longueur et ℓ la largeur, en mètres.
2(L + ℓ) = 46, soit L + ℓ = 23, et L − ℓ = 7.
En additionnant : 2L = 30, donc L = 15. Puis ℓ = 23 − 15 = 8.
Vérification : 2 × (15 + 8) = 46 et 15 − 8 = 7.
Conclusion : le champ mesure 15 m sur 8 m ; son aire vaut 15 × 8 = 120 m².
5. La vérification dans l'énoncé
Vérifier dans l'énoncé (et pas seulement dans le système) permet de repérer une erreur de mise en équations. Il faut aussi contrôler que la solution a un sens : un nombre de personnes doit être un entier positif, un prix doit être positif, etc. Si tu trouves 12,5 enfants, c'est qu'il y a une erreur quelque part.
Méthode
Pour résoudre un problème avec un système :
- J'écris « Soit x … et soit y … » en précisant ce que représente chaque lettre et son unité.
- Je traduis deux informations de l'énoncé par deux équations et j'écris le système.
- Je résous le système (substitution si un coefficient vaut 1, sinon combinaison).
- Je vérifie dans l'énoncé et je contrôle que la solution a un sens.
- Je rédige une phrase de conclusion qui répond exactement à la question posée.
3Je retiens
Je retiens
Les cinq étapes : choix des inconnues, mise en équations, résolution, vérification, conclusion.
On définit précisément chaque inconnue avec son unité.
Deux informations indépendantes de l'énoncé donnent deux équations.
On vérifie la solution dans l'énoncé, pas seulement dans le système.
Une solution doit avoir un sens (entier, positif…) ; sinon, on cherche l'erreur.
La réponse finale est une phrase avec les unités.
4Erreurs fréquentes
- Définir mal les inconnues (« x = les oranges ») : on ne sait plus si x est un nombre d'oranges ou un prix. Écris « x le prix d'une orange, en GNF ».
- Mélanger les unités : si un prix est en GNF et l'autre en milliers de GNF, les équations deviennent fausses.
- Traduire « x dépasse y de 7 » par y − x = 7 : c'est x − y = 7.
- Oublier la phrase de conclusion : trouver x = 90 ne suffit pas, il faut dire « 90 adultes ».
5Je m’exerce
1Exercice 1
Traduis chaque phrase par une équation (on ne demande pas de résoudre).
a) La somme de deux nombres x et y est 45.
b) Le nombre x est le quadruple du nombre y.
c) 5 cahiers à x GNF et 3 stylos à y GNF coûtent 21 500 GNF.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x + y = 45. b) x = 4y. c) 5x + 3y = 21 500.
2Exercice 2
Dans un enclos du marché de bétail, il y a des poulets et des chèvres. Lansana compte 20 têtes et 56 pattes. Combien y a-t-il de poulets et de chèvres ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit p le nombre de poulets et c le nombre de chèvres.
Chaque animal a une tête : p + c = 20. Un poulet a 2 pattes, une chèvre 4 : 2p + 4c = 56, soit p + 2c = 28.
En soustrayant la première équation : c = 28 - 20 = 8. Puis p = 20 - 8 = 12.
Vérification : 12 + 8 = 20 têtes et 2 × 12 + 4 × 8 = 24 + 32 = 56 pattes.
Il y a 12 poulets et 8 chèvres.
3Exercice 3
Fatoumata achète 4 mangues et 3 oranges pour 11 000 GNF. Ibrahima achète 2 mangues et 5 oranges pour 9 000 GNF. Quel est le prix d'une mangue et celui d'une orange ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit m le prix d'une mangue et o le prix d'une orange, en GNF.
4m + 3o = 11 000 et 2m + 5o = 9 000.
On multiplie la deuxième par 2 : 4m + 10o = 18 000. On soustrait la première : 7o = 7 000, donc o = 1 000.
Puis 4m = 11 000 - 3 000 = 8 000, donc m = 2 000.
Vérification : 4 × 2 000 + 3 × 1 000 = 11 000 et 2 × 2 000 + 5 × 1 000 = 9 000.
Une mangue coûte 2 000 GNF et une orange 1 000 GNF.
4Exercice 4
La somme des âges d'Alpha et de sa sœur Hawa est 31 ans. Il y a 5 ans, Alpha avait le double de l'âge d'Hawa. Quels sont leurs âges aujourd'hui ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit a l'âge d'Alpha et h l'âge d'Hawa aujourd'hui, en années.
a + h = 31 et a - 5 = 2(h - 5), soit a - 5 = 2h - 10, soit a = 2h - 5.
On remplace dans la première : 2h - 5 + h = 31, soit 3h = 36, donc h = 12. Puis a = 2 × 12 - 5 = 19.
Vérification : 19 + 12 = 31 ; il y a 5 ans, Alpha avait 14 ans et Hawa 7 ans, et 14 = 2 × 7.
Alpha a 19 ans et Hawa 12 ans.
5Exercice 5
(Type BEPC) Une coopérative de femmes de Boké fabrique deux sortes de savons : des gros et des petits. Un client paie 17 500 GNF pour 2 gros savons et 3 petits. Un autre client paie 20 000 GNF pour 3 gros savons et 2 petits.
a) On note x le prix d'un gros savon et y celui d'un petit, en GNF. Écris un système traduisant la situation.
b) Additionne puis soustrais membre à membre les deux équations pour obtenir x + y et x - y.
c) Déduis-en le prix de chaque savon.
d) Un commerçant veut acheter 10 gros savons et 10 petits. Combien paiera-t-il ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) begincases 2x + 3y = 17 500
3x + 2y = 20 000 endcases
b) En additionnant : 5x + 5y = 37 500, donc x + y = 7 500.
En soustrayant la première de la deuxième : x - y = 2 500.
c) En additionnant ces deux nouvelles équations : 2x = 10 000, donc x = 5 000. Puis y = 7 500 - 5 000 = 2 500.
Vérification : 2 × 5 000 + 3 × 2 500 = 10 000 + 7 500 = 17 500 et 3 × 5 000 + 2 × 2 500 = 15 000 + 5 000 = 20 000.
Un gros savon coûte 5 000 GNF et un petit 2 500 GNF.
d) 10 × 5 000 + 10 × 2 500 = 10 × 7 500 = 75 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
