Karamö, le prof virtuelLeçon 20 sur 27
Les applications linéaires
Je sais reconnaître une application linéaire f(x) = ax, calculer des images et des antécédents, trouver son coefficient et la représenter par une droite passant par l'origine.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une application linéaire et son coefficient
- Calculer une image et un antécédent
- Déterminer une application linéaire à partir d'un nombre et de son image
- Représenter graphiquement une application linéaire
- Utiliser les applications linéaires pour les pourcentages
Avant de commencer : La proportionnalité (9e), le coefficient de proportionnalité, le repérage dans le plan et les équations de droites.
1Je découvre
Hawa vend du tissu au marché de Kindia. Elle affiche un seul prix : 15 000 GNF le mètre. Pour aller plus vite, elle a écrit sur un carton :
| Longueur (m) | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 15 000 | 30 000 | 45 000 | 75 000 |
Son neveu Mamadou remarque qu'on passe toujours de la première ligne à la seconde en multipliant par 15 000. Il écrit : « prix = 15 000 × longueur ». Une cliente demande 2,5 m : Mamadou calcule tout de suite 15 000 × 2,5 = 37 500 GNF. Une autre cliente dit : « J'ai 60 000 GNF, combien de mètres puis-je avoir ? » Mamadou doit faire le calcul dans l'autre sens.
Ce procédé, « multiplier toujours par le même nombre », porte un nom en mathématiques.
Qu'est-ce qu'une application linéaire, et comment l'utiliser pour calculer dans les deux sens ?
2Je comprends
1. Définition
Soit a un nombre réel donné. L'application linéaire de coefficient a est l'application f qui, à tout nombre réel x, associe le nombre ax. On écrit :
f : x mapsto ax ou f(x) = ax.
- x est la variable ;
- f(x) se lit « f de x » : c'est l'image de x par f ;
- a est le coefficient de l'application linéaire.
Dans la boutique d'Hawa, le prix est l'image de la longueur par l'application linéaire f(x) = 15 000x : son coefficient est 15 000.
Une application linéaire traduit toujours une situation de proportionnalité : le coefficient a est le coefficient de proportionnalité.
2. Image et antécédent
- Calculer l'image d'un nombre x : on calcule f(x) = ax.
- Chercher un antécédent d'un nombre y : on cherche x tel que ax = y. Si a ≠ 0, on trouve x = ya.
Exemple
Soit f l'application linéaire définie par f(x) = 3x. Calculer l'image de −2 et de 5, puis l'antécédent de 12.
f(−2) = 3 × (−2) = −6 : l'image de −2 est −6.
f(5) = 3 × 5 = 15 : l'image de 5 est 15.
On cherche x tel que 3x = 12, donc x = 12 ÷ 3 = 4 : l'antécédent de 12 est 4.
Pour la deuxième cliente d'Hawa : 15 000x = 60 000, donc x = 4. Elle peut acheter 4 m.
3. Déterminer une application linéaire
Si l'on connaît un nombre non nul x0 et son image y0, alors a x0 = y0, donc :
a = y0x0 (quotient de l'image par le nombre).
Exemple
Déterminer l'application linéaire f telle que f(5) = −15, puis calculer f(−4).
f(x) = ax et f(5) = −15, donc 5a = −15 et a = −15 ÷ 5 = −3.
Donc f(x) = −3x.
f(−4) = −3 × (−4) = 12.
Méthode
Pour déterminer une application linéaire connaissant l'image d'un nombre :
- J'écris f(x) = ax, avec a inconnu.
- Je traduis la donnée : a × (nombre) = (image).
- Je calcule a = (image) ÷ (nombre).
- J'écris f(x) = ax avec la valeur trouvée.
- Je vérifie avec la donnée de départ.
4. Deux propriétés importantes
Pour tous nombres x et x' et tout nombre k :
- f(x + x') = f(x) + f(x') ;
- f(kx) = k × f(x).
Par exemple, avec f(x) = 15 000x : le prix de 5 m est le prix de 2 m plus le prix de 3 m (30 000 + 45 000 = 75 000) ; le prix de 6 m est le double du prix de 3 m (2 × 45 000 = 90 000). Ce sont les règles de calcul de la proportionnalité que tu utilises depuis le primaire.
5. Représentation graphique
Dans un repère, la représentation graphique de l'application linéaire f(x) = ax est la droite d'équation y = ax. Cette droite passe par l'origine O du repère.
- a est le coefficient directeur de la droite ;
- si a > 0, la droite « monte » : f est croissante ;
- si a < 0, la droite « descend » : f est décroissante ;
- si a = 0, c'est l'axe des abscisses.
Pour tracer la droite, il suffit de l'origine et d'un seul autre point.
Exemple
Représenter f(x) = 1,5x et g(x) = −0,5x.
Pour f : f(0) = 0 et f(2) = 1,5 × 2 = 3. La droite passe par O(0 ; 0) et A(2 ; 3).
Pour g : g(0) = 0 et g(4) = −0,5 × 4 = −2. La droite passe par O(0 ; 0) et B(4 ; −2).
Réciproquement, une droite qui passe par l'origine (et n'est pas l'axe des ordonnées) représente une application linéaire. Pour lire son coefficient, on choisit un point M(xM ; yM) de la droite, avec xM ≠ 0 : a = yMxM.
6. Pourcentages et applications linéaires
- Prendre t % d'un nombre : x mapsto t100x.
- Augmenter de t % : x mapsto (1 + t100)x.
- Diminuer de t % : x mapsto (1 - t100)x.
Ce sont trois applications linéaires.
Exemple
Pendant la fête, un commerçant baisse tous ses prix de 20 %. Un pagne coûtait 45 000 GNF. Quel est son nouveau prix ? Quel était l'ancien prix d'un article vendu 36 000 GNF après la baisse ?
Baisser de 20 %, c'est multiplier par 1 − 0,20 = 0,8 : f(x) = 0,8x.
f(45 000) = 0,8 × 45 000 = 36 000 GNF.
Pour l'ancien prix, on cherche x tel que 0,8x = 36 000 : x = 36 000 ÷ 0,8 = 45 000 GNF.
3Je retiens
Je retiens
Application linéaire de coefficient a : f(x) = ax. Elle traduit une situation de proportionnalité.
Image de x : f(x) = ax. Antécédent de y (a ≠ 0) : x = y ÷ a.
Si f(x₀) = y₀ avec x₀ ≠ 0, alors a = y₀ ÷ x₀.
f(x + x') = f(x) + f(x') et f(kx) = k f(x).
Représentation : droite d'équation y = ax qui passe par l'origine ; a > 0 croissante, a < 0 décroissante.
Augmenter de t % : multiplier par 1 + t/100 ; diminuer de t % : multiplier par 1 − t/100.
4Erreurs fréquentes
- Confondre image et antécédent : l'image de 4 par f(x) = 3x est 12 ; l'antécédent de 4 est 4/3.
- Calculer a « à l'envers » : si f(5) = 20, alors a = 20 ÷ 5 = 4, et non 5 ÷ 20.
- Croire qu'une baisse de 20 % suivie d'une hausse de 20 % ramène au prix de départ : 0,8 × 1,2 = 0,96, on perd 4 %.
- Tracer une droite qui ne passe pas par l'origine pour une application linéaire : f(0) = 0 toujours.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit f l'application linéaire définie par f(x) = -2x.
a) Calcule f(3), f(-5) et f(14).
b) Trouve l'antécédent de 8 et celui de -7.
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a) f(3) = -2 × 3 = -6 ; f(-5) = -2 × (-5) = 10 ; f(14) = -2 × 14 = -12.
b) -2x = 8 donne x = -4. -2x = -7 donne x = 72 = 3,5.
2Exercice 2
Parmi les applications suivantes, lesquelles sont linéaires ? Donne leur coefficient.
g(x) = 7x ; h(x) = x + 7 ; k(x) = x4 ; m(x) = x2 ; p(x) = -x.
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g est linéaire, de coefficient 7.
h n'est pas linéaire : h(0) = 7 ≠ 0 (c'est une application affine).
k est linéaire, de coefficient 14 car x4 = 14x.
m n'est pas linéaire : x2 n'est pas de la forme ax (par exemple m(2) = 4 mais m(4) = 16 ≠ 2 × 4).
p est linéaire, de coefficient -1.
3Exercice 3
On sait que f est une application linéaire et que f(4) = 10.
a) Détermine le coefficient de f.
b) Calcule f(-2) et l'antécédent de 7,5.
c) Représente f dans un repère.
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a) 4a = 10, donc a = 104 = 2,5 et f(x) = 2,5x.
b) f(-2) = 2,5 × (-2) = -5. 2,5x = 7,5 donne x = 3 : l'antécédent de 7,5 est 3.
c) La droite passe par l'origine O et par le point (4 ; 10) (ou (2 ; 5)).
4Exercice 4
Le prix d'un sac de ciment passe de 80 000 GNF à 92 000 GNF.
a) Calcule le pourcentage d'augmentation.
b) Au même taux, quel sera le nouveau prix d'un article qui coûtait 50 000 GNF ?
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a) Augmentation : 92 000 - 80 000 = 12 000 GNF. Taux : 12 00080 000 = 0,15, soit 15 %.
b) Augmenter de 15 %, c'est multiplier par 1,15 : 1,15 × 50 000 = 57 500 GNF.
5Exercice 5
(Type BEPC) Un taxi-moto facture la course proportionnellement à la distance. Pour 6 km, Ousmane paie 12 000 GNF.
a) Justifie que le prix est donné par une application linéaire f et détermine-la.
b) Combien coûte une course de 9,5 km ?
c) Aïssatou a 17 000 GNF. Quelle distance peut-elle parcourir ?
d) Dans un repère (1 cm pour 1 km en abscisse, 1 cm pour 2 000 GNF en ordonnée), représente f pour x entre 0 et 10.
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a) Le prix est proportionnel à la distance, donc il s'obtient en multipliant la distance par un même nombre a : c'est une application linéaire f(x) = ax. Avec f(6) = 12 000 : a = 12 000 ÷ 6 = 2 000. Donc f(x) = 2 000x (x en km, f(x) en GNF).
b) f(9,5) = 2 000 × 9,5 = 19 000 GNF.
c) 2 000x = 17 000 donne x = 8,5 km.
d) La droite passe par l'origine et par le point (10 ; 20 000), soit 10 cm à droite et 10 cm en haut avec les unités choisies. On peut contrôler avec le point (6 ; 12 000), placé à 6 cm et 6 cm.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
