Karamö, le prof virtuelLeçon 21 sur 27
Les applications affines
Je sais reconnaître et utiliser une application affine f(x) = ax + b, la déterminer à partir de deux valeurs, étudier son sens de variation et la représenter pour comparer deux tarifs.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une application affine, son coefficient a et son terme constant b
- Calculer images et antécédents
- Déterminer une application affine connaissant deux nombres et leurs images
- Représenter une application affine et connaître son sens de variation
- Résoudre un problème de comparaison de tarifs
Avant de commencer : Les applications linéaires (leçon précédente), les équations de droites y = ax + b, les équations et inéquations du premier degré, les systèmes de deux équations.
1Je découvre
À Siguiri, Lansana doit transporter régulièrement des sacs de marchandises avec un tricycle de location. Deux loueurs lui font une offre :
- Offre A : 2 500 GNF par kilomètre parcouru ;
- Offre B : 5 000 GNF de frais fixes pour la journée, plus 1 500 GNF par kilomètre.
Pour 2 km, l'offre A coûte 2 × 2 500 = 5 000 GNF et l'offre B coûte 5 000 + 2 × 1 500 = 8 000 GNF : A est moins chère. Mais pour 10 km, A coûte 25 000 GNF et B coûte 5 000 + 15 000 = 20 000 GNF : cette fois, B est moins chère !
Le prix de l'offre A est proportionnel à la distance ; celui de l'offre B ne l'est pas, à cause des frais fixes.
Comment décrire mathématiquement l'offre B, et à partir de quelle distance devient-elle la plus avantageuse ?
2Je comprends
1. Définition
Soient a et b deux nombres réels donnés. L'application affine définie par a et b est l'application f qui, à tout nombre x, associe le nombre ax + b :
f : x mapsto ax + b ou f(x) = ax + b.
- a est le coefficient (ou coefficient directeur) ;
- b est le terme constant (ou ordonnée à l'origine), car f(0) = b.
Dans l'offre B, en notant x la distance en km, le prix est f(x) = 1 500x + 5 000 : a = 1 500 (prix par km) et b = 5 000 (frais fixes).
Cas particuliers :
- si b = 0, f(x) = ax : c'est une application linéaire (l'offre A : g(x) = 2 500x) ;
- si a = 0, f(x) = b : c'est une application constante (par exemple un abonnement à prix fixe).
2. Images et antécédents
Exemple
Soit f(x) = −2x + 3. Calculer f(4), f(−1), puis l'antécédent de −7.
f(4) = −2 × 4 + 3 = −8 + 3 = −5.
f(−1) = −2 × (−1) + 3 = 2 + 3 = 5.
On résout −2x + 3 = −7 : −2x = −10, donc x = 5. L'antécédent de −7 est 5.
Vérification : f(5) = −10 + 3 = −7.
3. La propriété des accroissements
Pour une application affine f(x) = ax + b et deux nombres distincts x1 et x2 :
f(x2) - f(x1) = (ax2 + b) - (ax1 + b) = a(x2 - x1).
Donc : a = f(x2) - f(x1)x2 - x1.
Autrement dit, l'accroissement de f(x) est proportionnel à l'accroissement de x, et le coefficient de proportionnalité est a. Dans l'offre B, chaque kilomètre de plus coûte 1 500 GNF de plus, quel que soit le point de départ.
4. Déterminer une application affine
Si l'on connaît deux nombres et leurs images, on trouve a par la formule des accroissements, puis b en remplaçant.
Méthode
Pour déterminer f(x) = ax + b connaissant f(x₁) et f(x₂) :
- Je calcule a = [f(x₂) − f(x₁)] ÷ (x₂ − x₁).
- Je remplace a dans l'égalité f(x₁) = a x₁ + b et je trouve b.
- J'écris f(x) = ax + b.
- Je vérifie avec la deuxième donnée f(x₂).
Exemple
Déterminer l'application affine f telle que f(2) = 7 et f(5) = 16.
a = (16 − 7) ÷ (5 − 2) = 9 ÷ 3 = 3.
f(2) = 3 × 2 + b = 7, donc b = 7 − 6 = 1.
f(x) = 3x + 1.
Vérification : f(5) = 3 × 5 + 1 = 16.
Exemple
Déterminer l'application affine g telle que g(−1) = 5 et g(3) = −3.
a = (−3 − 5) ÷ (3 − (−1)) = −8 ÷ 4 = −2.
g(−1) = −2 × (−1) + b = 2 + b = 5, donc b = 3.
g(x) = −2x + 3.
Vérification : g(3) = −6 + 3 = −3.
On peut aussi écrire un système : 2a + b = 7 et 5a + b = 16 ; en soustrayant, 3a = 9. C'est le lien avec la leçon sur les systèmes.
5. Représentation graphique et sens de variation
La représentation graphique de f(x) = ax + b est la droite d'équation y = ax + b. Elle coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; b).
| Signe de a | Allure de la droite | Sens de variation de f |
|---|---|---|
| a > 0 | elle monte | f est croissante |
| a < 0 | elle descend | f est décroissante |
| a = 0 | elle est horizontale | f est constante |
Une application croissante conserve l'ordre : si x1 < x2, alors f(x1) < f(x2). Une application décroissante inverse l'ordre.
Pour tracer la droite, il suffit de deux points ; un troisième permet de vérifier.
6. Retour aux offres de Lansana
Travaillons en milliers de GNF pour avoir des nombres simples : offre A, g(x) = 2,5x ; offre B, f(x) = 1,5x + 5.
Les deux offres coûtent le même prix quand 2,5x = 1,5x + 5, soit x = 5. Pour 5 km, chacune coûte 2,5 × 5 = 12,5 milliers, soit 12 500 GNF.
- Pour x < 5, la droite de A est en dessous : A est moins chère.
- Pour x > 5, c'est la droite de B qui est en dessous : B est moins chère.
On le confirme par le calcul : 1,5x + 5 < 2,5x ⇔ 5 < x.
Exemple
Lansana prévoit 8 km. Quelle offre choisir et quelle économie fait-il ?
Offre A : 2 500 × 8 = 20 000 GNF.
Offre B : 5 000 + 1 500 × 8 = 5 000 + 12 000 = 17 000 GNF.
Comme 8 > 5, l'offre B est moins chère ; il économise 20 000 − 17 000 = 3 000 GNF.
3Je retiens
Je retiens
Application affine : f(x) = ax + b ; a est le coefficient, b le terme constant (f(0) = b).
Si b = 0, f est linéaire ; si a = 0, f est constante.
a = [f(x₂) − f(x₁)] ÷ (x₂ − x₁) : les accroissements sont proportionnels.
Représentation : la droite y = ax + b, qui coupe l'axe des ordonnées en (0 ; b).
a > 0 : f croissante ; a < 0 : f décroissante ; a = 0 : f constante.
Pour comparer deux tarifs, on résout f(x) = g(x) puis une inéquation, et on lit le graphique.
4Erreurs fréquentes
- Inverser a et b : dans f(x) = 1 500x + 5 000, le coefficient est 1 500, pas 5 000.
- Croire que f(2x) = 2 f(x) pour une application affine : avec f(x) = 3x + 1, f(2) = 7 mais f(4) = 13 ≠ 14.
- Calculer a avec les différences dans un ordre différent : [f(x₂) − f(x₁)] doit être divisé par (x₂ − x₁), dans le même ordre.
- Faire passer la droite par l'origine : c'est vrai seulement si b = 0.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque application, dis si elle est affine, linéaire ou constante, et donne a et b.
f(x) = 4x - 1 ; g(x) = -3x ; h(x) = 6 ; k(x) = x + 22.
Voir le corrigéCacher le corrigé
f : affine, a = 4, b = -1.
g : linéaire (donc aussi affine), a = -3, b = 0.
h : constante, a = 0, b = 6.
k(x) = x2 + 22 = 12x + 1 : affine, a = 12, b = 1.
2Exercice 2
Soit f(x) = 12x - 4.
a) Calcule f(0), f(6) et f(-2).
b) Trouve l'antécédent de 1.
c) f est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.
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a) f(0) = -4 ; f(6) = 3 - 4 = -1 ; f(-2) = -1 - 4 = -5.
b) 12x - 4 = 1 donne 12x = 5, donc x = 10.
c) Le coefficient a = 12 est positif : f est croissante.
3Exercice 3
Détermine l'application affine f telle que f(1) = -1 et f(4) = 8. Calcule ensuite f(-3).
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a = 8 - (-1)4 - 1 = 93 = 3. Puis f(1) = 3 + b = -1, donc b = -4. f(x) = 3x - 4.
Vérification : f(4) = 12 - 4 = 8. Enfin f(-3) = -9 - 4 = -13.
4Exercice 4
La droite (D) représente une application affine g et passe par les points A(0 ; 4) et B(2 ; 0).
a) Détermine g(x).
b) Quel est le sens de variation de g ?
c) Le point C(5 ; -6) appartient-il à (D) ?
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a) A(0 ; 4) donne b = g(0) = 4. a = 0 - 42 - 0 = -2. Donc g(x) = -2x + 4.
b) a = -2 < 0 : g est décroissante.
c) g(5) = -10 + 4 = -6 : le point C(5 ; -6) appartient à (D).
5Exercice 5
(Type BEPC) Un club de lecture de Nzérékoré propose deux formules pour l'année :
- formule 1 : 3 000 GNF par livre emprunté ;
- formule 2 : une carte à 20 000 GNF, puis 1 000 GNF par livre emprunté.
On note x le nombre de livres empruntés dans l'année.
a) Exprime le prix p1(x) de la formule 1 et le prix p2(x) de la formule 2.
b) Calcule le prix payé avec chaque formule pour 6 livres, puis pour 15 livres.
c) Pour combien de livres les deux formules coûtent-elles le même prix ?
d) Kadiatou pense emprunter 12 livres. Quelle formule lui conseilles-tu ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) p1(x) = 3 000x (linéaire) et p2(x) = 1 000x + 20 000 (affine).
b) Pour 6 livres : p1(6) = 18 000 GNF et p2(6) = 6 000 + 20 000 = 26 000 GNF.
Pour 15 livres : p1(15) = 45 000 GNF et p2(15) = 15 000 + 20 000 = 35 000 GNF.
c) 3 000x = 1 000x + 20 000 donne 2 000x = 20 000, donc x = 10. Pour 10 livres, les deux formules coûtent 30 000 GNF.
d) 12 > 10 : la formule 2 est la moins chère. Vérification : p1(12) = 36 000 GNF et p2(12) = 12 000 + 20 000 = 32 000 GNF. On conseille la formule 2, qui fait économiser 4 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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