Karamö, le prof virtuelLeçon 22 sur 27
La statistique
Je sais organiser une série statistique dans un tableau, calculer effectifs, fréquences, moyenne, mode, médiane et étendue, et la représenter par un diagramme.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître le vocabulaire de la statistique (population, caractère, effectif, fréquence)
- Calculer les effectifs cumulés et les fréquences en pourcentage
- Calculer la moyenne, y compris pondérée et avec des classes
- Déterminer le mode, la médiane et l'étendue
- Construire un diagramme en bâtons, un diagramme circulaire et un histogramme
Avant de commencer : Les pourcentages, les fractions, les opérations sur les décimaux, la proportionnalité et la mesure des angles au rapporteur.
1Je découvre
Monsieur Camara, professeur de mathématiques à Kankan, vient de corriger le devoir de ses 20 élèves de 10e. Il a noté les résultats au tableau, dans le désordre :
12, 10, 14, 8, 12, 16, 10, 12, 14, 10, 12, 16, 8, 12, 10, 14, 12, 14, 16, 10.
Le directeur lui pose trois questions : « Quelle est la moyenne de la classe ? Quelle note a été la plus fréquente ? Au moins la moitié des élèves a-t-elle eu 12 ou plus ? »
Avec cette liste en vrac, il est difficile de répondre vite. Fatoumata, la déléguée, propose de compter combien d'élèves ont eu chaque note et de ranger ces résultats dans un tableau.
Comment organiser une série de données, la résumer par quelques nombres et la représenter par un graphique ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
- La population est l'ensemble étudié (ici, les 20 élèves). Chaque élément est un individu.
- Le caractère (ou variable) est ce que l'on observe chez chaque individu (ici, la note).
- Un caractère est qualitatif s'il ne se mesure pas par un nombre (couleur préférée, région d'origine, moyen de transport) ; il est quantitatif s'il se mesure par un nombre (note, taille, nombre de frères).
- Un caractère quantitatif est discret s'il prend des valeurs isolées (nombre d'enfants : 0, 1, 2…) ; il est continu s'il peut prendre toutes les valeurs d'un intervalle (taille, masse, durée). On regroupe alors les valeurs en classes, comme [10 ; 20[.
- L'effectif d'une valeur est le nombre d'individus qui ont cette valeur. L'effectif total N est le nombre total d'individus.
- La fréquence d'une valeur est f = effectifN. On l'exprime souvent en pourcentage (f × 100). La somme des fréquences vaut 1, soit 100 %.
- L'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à elle.
2. Le tableau des notes
| Note xi | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif ni | 2 | 5 | 6 | 4 | 3 | 20 |
| Fréquence (%) | 10 | 25 | 30 | 20 | 15 | 100 |
| Effectif cumulé croissant | 2 | 7 | 13 | 17 | 20 | |
| Produit ni × xi | 16 | 50 | 72 | 56 | 48 | 242 |
Par exemple, la fréquence de la note 10 est 520 = 0,25, soit 25 %.
3. Les caractéristiques de position
La moyenne. On additionne toutes les valeurs et on divise par l'effectif total. Avec un tableau, on utilise la moyenne pondérée par les effectifs :
x = n1 x1 + n2 x2 + … + np xpN.
Le mode est la valeur qui a le plus grand effectif.
La médiane est la valeur qui partage la série rangée dans l'ordre croissant en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins la moitié lui sont supérieures ou égales.
- Si N est impair, la médiane est la valeur de rang N + 12.
- Si N est pair, c'est la moyenne des valeurs de rangs N2 et N2 + 1.
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion de la série.
Exemple
Calculer la moyenne, le mode, la médiane et l'étendue des notes de la classe.
Moyenne : (2 × 8 + 5 × 10 + 6 × 12 + 4 × 14 + 3 × 16) ÷ 20 = (16 + 50 + 72 + 56 + 48) ÷ 20 = 242 ÷ 20 = 12,1.
Mode : la note 12 (effectif 6, le plus grand).
Médiane : N = 20 est pair ; on cherche les valeurs de rangs 10 et 11. D'après les effectifs cumulés, les rangs 8 à 13 correspondent à la note 12. Les deux valeurs valent 12, donc la médiane est 12.
Étendue : 16 − 8 = 8.
Réponse au directeur : 13 élèves sur 20 ont eu 12 ou moins ; 20 − 7 = 13 élèves ont eu 12 ou plus, soit plus de la moitié.
Méthode
Pour trouver la médiane d'une série donnée par un tableau :
- Je range les valeurs dans l'ordre croissant et je calcule les effectifs cumulés croissants.
- Je calcule le rang du milieu : (N + 1) ÷ 2 si N est impair ; N ÷ 2 et N ÷ 2 + 1 si N est pair.
- Je cherche, dans la ligne des effectifs cumulés, la première valeur dont l'effectif cumulé atteint ou dépasse ce rang.
- Si N est pair et que les deux rangs tombent sur des valeurs différentes, je fais la moyenne de ces deux valeurs.
4. Moyenne avec coefficients
Au BEPC comme en classe, les matières ont des coefficients. La moyenne est alors pondérée par les coefficients.
Exemple
Aïssatou a obtenu 14 en maths (coefficient 4), 11 en français (coefficient 3), 13 en SVT (coefficient 2) et 15 en anglais (coefficient 1). Calculer sa moyenne.
Somme des points : 14 × 4 + 11 × 3 + 13 × 2 + 15 × 1 = 56 + 33 + 26 + 15 = 130.
Somme des coefficients : 4 + 3 + 2 + 1 = 10.
Moyenne : 130 ÷ 10 = 13.
5. Série regroupée en classes
Quand les valeurs sont regroupées en classes, on remplace chaque classe par son centre (moyenne des deux bornes) pour calculer une valeur approchée de la moyenne. La classe modale est la classe de plus grand effectif.
Exemple
On a demandé à 30 élèves de Dabola la durée de leur trajet jusqu'à l'école (en minutes). Calculer la durée moyenne.
Classes : [0 ; 10[ : 6 élèves ; [10 ; 20[ : 10 élèves ; [20 ; 30[ : 8 élèves ; [30 ; 40[ : 6 élèves. Total : 30.
Centres : 5 ; 15 ; 25 ; 35.
Moyenne ≈ (6 × 5 + 10 × 15 + 8 × 25 + 6 × 35) ÷ 30 = (30 + 150 + 200 + 210) ÷ 30 = 590 ÷ 30 ≈ 19,7 min.
Classe modale : [10 ; 20[.
6. Les diagrammes
- Diagramme en bâtons (caractère discret) : en abscisse les valeurs, en ordonnée les effectifs ; la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l'effectif.
- Diagramme circulaire (ou semi-circulaire) : chaque valeur est représentée par un secteur dont l'angle est proportionnel à l'effectif. Angle = niN × 360° (ou × 180° pour un demi-disque).
- Histogramme (série en classes) : des rectangles accolés ; si les classes ont la même amplitude, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs.
Pour les notes de la classe : angles 220 × 360° = 36° ; 520 × 360° = 90° ; 620 × 360° = 108° ; 420 × 360° = 72° ; 320 × 360° = 54°. Total : 360°.
3Je retiens
Je retiens
Fréquence = effectif ÷ effectif total ; la somme des fréquences vaut 1 (100 %).
Moyenne pondérée : (somme des nᵢ × xᵢ) ÷ N ; avec des classes, on prend les centres.
Mode : valeur (ou classe) de plus grand effectif.
Médiane : valeur du milieu de la série rangée ; on s'aide des effectifs cumulés croissants.
Étendue : plus grande valeur − plus petite valeur.
Diagramme circulaire : angle = (nᵢ ÷ N) × 360°.
4Erreurs fréquentes
- Calculer la moyenne en additionnant seulement les valeurs du tableau (8 + 10 + 12 + 14 + 16) ÷ 5 : on oublie les effectifs. Il faut multiplier chaque valeur par son effectif.
- Chercher la médiane sans ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
- Confondre le mode (la valeur la plus fréquente, ici 12) avec son effectif (ici 6).
- Oublier de vérifier que la somme des angles d'un diagramme circulaire fait 360° et celle des fréquences 100 %.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque caractère, dis s'il est qualitatif, quantitatif discret ou quantitatif continu :
a) la région naturelle d'origine des élèves ; b) le nombre de frères et sœurs ; c) la masse d'un régime de bananes ; d) la langue parlée à la maison.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Qualitatif. b) Quantitatif discret. c) Quantitatif continu. d) Qualitatif.
2Exercice 2
Les notes de Mamadou au premier trimestre sont 11, 9, 14 et 12. Il lui reste un devoir.
a) Calcule sa moyenne actuelle.
b) Quelle note doit-il obtenir au dernier devoir pour avoir exactement 12 de moyenne sur les cinq devoirs ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (11 + 9 + 14 + 12) ÷ 4 = 46 ÷ 4 = 11,5.
b) Pour une moyenne de 12 sur 5 devoirs, il faut un total de 12 × 5 = 60 points. Il manque 60 - 46 = 14. Mamadou doit obtenir 14.
3Exercice 3
Dans une série de 7 valeurs rangées : 3 ; 5 ; 5 ; 8 ; 9 ; 12 ; 14. Donne la médiane, le mode et l'étendue, puis calcule la moyenne (arrondie au dixième).
Voir le corrigéCacher le corrigé
N = 7 est impair : la médiane est la valeur de rang 7 + 12 = 4, soit 8.
Mode : 5 (seule valeur qui apparaît deux fois). Étendue : 14 - 3 = 11.
Moyenne : (3 + 5 + 5 + 8 + 9 + 12 + 14) ÷ 7 = 56 ÷ 7 = 8.
4Exercice 4
(Type BEPC) Une enquête sur le nombre d'enfants par famille dans un quartier de Kindia a donné :
| Nombre d'enfants | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de familles | 3 | 5 | 8 | 10 | 9 | 5 |
a) Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère ? Quel est l'effectif total ?
b) Calcule les fréquences en pourcentage et les effectifs cumulés croissants.
c) Calcule le nombre moyen d'enfants par famille.
d) Détermine le mode et la médiane.
e) Calcule les angles d'un diagramme circulaire de cette série.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Population : les familles du quartier enquêtées. Caractère : le nombre d'enfants (quantitatif discret). Effectif total : 3 + 5 + 8 + 10 + 9 + 5 = 40 familles.
b)
| Nombre d'enfants | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence (%) | 7,5 | 12,5 | 20 | 25 | 22,5 | 12,5 |
| Effectif cumulé croissant | 3 | 8 | 16 | 26 | 35 | 40 |
Contrôle : 7,5 + 12,5 + 20 + 25 + 22,5 + 12,5 = 100.
c) x = 0 × 3 + 1 × 5 + 2 × 8 + 3 × 10 + 4 × 9 + 5 × 540 = 0 + 5 + 16 + 30 + 36 + 2540 = 11240 = 2,8 enfants.
d) Mode : 3 enfants (10 familles). Médiane : N = 40 est pair ; on cherche les rangs 20 et 21. Les rangs 17 à 26 correspondent à 3 enfants ; les deux valeurs sont 3. La médiane est 3.
e) Angles : 340 × 360° = 27° ; 540 × 360° = 45° ; 840 × 360° = 72° ; 1040 × 360° = 90° ; 940 × 360° = 81° ; 540 × 360° = 45°. Total : 27 + 45 + 72 + 90 + 81 + 45 = 360°.
5Exercice 5
Un groupement de producteurs du Fouta-Djallon a pesé 50 régimes de bananes :
| Masse (kg) | [5 ; 10[ | [10 ; 15[ | [15 ; 20[ | [20 ; 25[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 17 | 15 | 10 |
a) Quelle est la classe modale ?
b) Calcule une valeur approchée de la masse moyenne d'un régime.
c) Quel pourcentage des régimes pèse moins de 15 kg ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) La classe modale est [10 ; 15[ (effectif 17).
b) Centres : 7,5 ; 12,5 ; 17,5 ; 22,5.
x ≈ 8 × 7,5 + 17 × 12,5 + 15 × 17,5 + 10 × 22,550 = 60 + 212,5 + 262,5 + 22550 = 76050 = 15,2 kg.
c) Moins de 15 kg : 8 + 17 = 25 régimes sur 50, soit 2550 = 50 %.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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