Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 27
Symétrie et translation
Je sais construire l'image d'une figure par une symétrie centrale, une symétrie orthogonale ou une translation, calculer les coordonnées de l'image d'un point et utiliser les propriétés de conservation.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et construire l'image d'un point par une symétrie centrale, une symétrie orthogonale et une translation
- Calculer les coordonnées de l'image d'un point dans un repère
- Utiliser les propriétés de conservation (longueurs, angles, alignement, parallélisme, aires)
- Reconnaître la transformation qui envoie une figure sur une autre
Avant de commencer : Le milieu d'un segment, la médiatrice, les vecteurs et leurs coordonnées, le parallélogramme, le repérage dans le plan.
1Je découvre
À Labé, Kadiatou aide sa tante qui teint des pagnes à l'indigo. Pour décorer le tissu, la tante utilise un tampon en bois qui porte un motif en forme de triangle. Kadiatou observe trois façons de répéter le motif :
- elle fait glisser le tampon toujours de la même longueur, dans la même direction, sans le tourner : les motifs se suivent en file ;
- elle plie le tissu humide le long d'une ligne droite : le motif s'imprime en miroir de l'autre côté du pli ;
- elle fait un demi-tour au tampon autour d'un point du tissu : le motif se retrouve « la tête en bas ».
Dans les trois cas, le motif garde exactement la même taille et la même forme. Seule sa position change.
Quelles sont ces trois transformations, comment les construire avec précision, et comment calculer la position des points images dans un repère ?
2Je comprends
1. La translation
Soit u un vecteur. La translation de vecteur u est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :
overrightarrowMM' = u.
On dit que M' est l'image de M par cette translation. C'est le « glissement » du tampon de Kadiatou : tous les points se déplacent de la même longueur, dans la même direction et le même sens.
Si A a pour image A' et B pour image B', alors overrightarrowAA' = overrightarrowBB', donc ABB'A' est un parallélogramme (éventuellement aplati). On en déduit overrightarrowA'B' = overrightarrowAB.
2. La symétrie centrale
Soit O un point. La symétrie de centre O est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que O est le milieu de [MM']. Le centre O est sa propre image. C'est le demi-tour du tampon autour d'un point.
Avec les vecteurs : overrightarrowOM' = -overrightarrowOM.
3. La symétrie orthogonale (ou axiale)
Soit (Δ) une droite. La symétrie orthogonale d'axe (Δ) est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :
- si M est sur (Δ), alors M' = M ;
- sinon, (Δ) est la médiatrice du segment [MM'].
C'est le pliage du tissu : la ligne de pli est l'axe.
Méthode
Pour construire l'image d'un point M :
- Translation de vecteur u : je trace, à partir de M, un vecteur égal à u (même direction, même sens, même longueur) ; son extrémité est M'.
- Symétrie de centre O : je trace la demi-droite [MO) et je reporte au compas OM' = OM de l'autre côté de O.
- Symétrie d'axe (Δ) : je trace la perpendiculaire à (Δ) passant par M ; elle coupe (Δ) en H ; je reporte HM' = HM de l'autre côté.
- Pour une figure, je construis l'image de chaque sommet, puis je les relie dans le même ordre.
4. Les propriétés de conservation
Les trois transformations (translation, symétrie centrale, symétrie orthogonale) conservent :
- les longueurs : si A' et B' sont les images de A et B, alors A'B' = AB ;
- les mesures d'angles ;
- l'alignement : l'image d'une droite est une droite ;
- le parallélisme et l'orthogonalité ;
- les milieux et les aires.
L'image d'un cercle de centre I et de rayon r est un cercle de même rayon r, dont le centre est l'image I' de I.
Différences utiles :
- par une translation ou une symétrie centrale, l'image d'une droite lui est parallèle ;
- par une symétrie orthogonale, ce n'est pas le cas en général ;
- une symétrie orthogonale retourne la figure (comme un miroir), alors que la translation et la symétrie centrale ne la retournent pas.
5. Dans un repère : les coordonnées de l'image
Soit M(x ; y) un point du plan muni d'un repère orthonormé.
| Transformation | Coordonnées de M' |
|---|---|
| Translation de vecteur u(α ; β) | (x + α ; y + β) |
| Symétrie de centre O (origine) | (-x ; -y) |
| Symétrie de centre I(a ; b) | (2a - x ; 2b - y) |
| Symétrie d'axe (Ox) | (x ; -y) |
| Symétrie d'axe (Oy) | (-x ; y) |
Justification pour le centre I : I est le milieu de [MM'], donc a = x + x'2, soit x' = 2a - x ; de même y' = 2b - y.
Exemple
On donne A(3 ; 1) et le vecteur u(2 ; −3). Calculer les coordonnées de l'image de A par la translation de vecteur u, par la symétrie de centre O, par la symétrie d'axe (Ox).
Translation : A'(3 + 2 ; 1 − 3) = A'(5 ; −2).
Symétrie de centre O : A''(−3 ; −1).
Symétrie d'axe (Ox) : A'''(3 ; −1).
Exemple
On donne A(3 ; 1) et I(1 ; 2). Calculer les coordonnées du symétrique A' de A par rapport à I.
x' = 2 × 1 − 3 = −1 et y' = 2 × 2 − 1 = 3. Donc A'(−1 ; 3).
Vérification : le milieu de [AA'] a pour coordonnées ((3 + (−1)) ÷ 2 ; (1 + 3) ÷ 2) = (1 ; 2). C'est bien I.
Exemple
Le point B(−2 ; 4) a pour image B'(1 ; 6) par une translation. Quel est le vecteur de cette translation ? Quelle est l'image de C(0 ; −1) ?
Le vecteur est BB'(1 − (−2) ; 6 − 4) = (3 ; 2).
Image de C : C'(0 + 3 ; −1 + 2) = C'(3 ; 1).
6. Figures qui ont un centre ou un axe de symétrie
Une figure a un centre de symétrie O si elle est sa propre image par la symétrie de centre O : c'est le cas du parallélogramme (centre : point d'intersection des diagonales) et du cercle (centre : son centre). Une figure a un axe de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie orthogonale correspondante : un rectangle en a 2, un carré 4, un triangle équilatéral 3, un cercle une infinité.
3Je retiens
Je retiens
Translation de vecteur u : MM' = u (vecteurs). ABB'A' est un parallélogramme et A'B' = AB (vecteurs).
Symétrie de centre I : I est le milieu de [MM'] ; M'(2a − x ; 2b − y) si I(a ; b).
Symétrie d'axe (Δ) : (Δ) est la médiatrice de [MM'].
Translation de vecteur u(α ; β) : M'(x + α ; y + β).
Axe (Ox) : (x ; −y) ; axe (Oy) : (−x ; y) ; centre O : (−x ; −y).
Ces transformations conservent longueurs, angles, alignement, parallélisme, milieux et aires.
4Erreurs fréquentes
- Confondre symétrie centrale et symétrie orthogonale : dans la première, on passe par un POINT (milieu) ; dans la seconde, on traverse une DROITE perpendiculairement.
- Se tromper de sens pour le vecteur de translation : l'image de B par la translation qui envoie A sur A' vérifie BB' = AA', et non B'B = AA'.
- Pour le symétrique par rapport à I(a ; b), écrire (a − x ; b − y) : la bonne formule est (2a − x ; 2b − y).
- Oublier de relier les images dans le même ordre que les sommets de départ.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne M(4 ; −2). Calcule les coordonnées de son image :
a) par la symétrie de centre O ; b) par la symétrie d'axe (Oy) ; c) par la translation de vecteur v(-1 ; 5).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (-4 ; 2). b) (-4 ; -2). c) (4 - 1 ; -2 + 5) = (3 ; 3).
2Exercice 2
On donne A(−1 ; 3) et I(2 ; 0).
a) Calcule les coordonnées de A', symétrique de A par rapport à I.
b) Vérifie que I est le milieu de [AA'].
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x' = 2 × 2 - (-1) = 5 et y' = 2 × 0 - 3 = -3. Donc A'(5 ; -3).
b) Milieu de [AA'] : (-1 + 52 ; 3 + (-3)2) = (2 ; 0). C'est bien I.
3Exercice 3
La translation t transforme P(1 ; 2) en P'(4 ; −1).
a) Donne les coordonnées du vecteur de t.
b) Calcule l'image de Q(−3 ; 5) par t.
c) Quelle est la nature du quadrilatère PP'Q'Q ? Justifie.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) overrightarrowPP'(4 - 1 ; -1 - 2) = (3 ; -3).
b) Q'(-3 + 3 ; 5 - 3) = Q'(0 ; 2).
c) Par la translation, overrightarrowPP' = overrightarrowQQ' (les deux valent le vecteur de t). Un quadrilatère PP'Q'Q tel que overrightarrowPP' = overrightarrowQQ' est un parallélogramme (P, P', Q ne sont pas alignés ici).
4Exercice 4
Un triangle ABC a pour aire 12 cm², AB = 5 cm et BAC = 40°. On construit son image A'B'C' par une symétrie orthogonale. Donne l'aire de A'B'C', la longueur A'B' et la mesure de B'A'C'. Justifie.
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Une symétrie orthogonale conserve les aires, les longueurs et les angles. Donc l'aire de A'B'C' est 12 cm², A'B' = 5 cm et B'A'C' = 40°.
5Exercice 5
(Type BEPC) Dans un repère orthonormé (O, I, J), on donne les points A(1 ; 1), B(4 ; 2) et C(2 ; 4).
a) Calcule les coordonnées de A', B', C', images de A, B, C par la translation de vecteur u(-5 ; -3).
b) Calcule les coordonnées de A'', B'', C'', symétriques de A, B, C par rapport à l'origine O.
c) Calcule les longueurs AB et A''B''. Que constates-tu ?
d) Démontre que les droites (BC) et (B''C'') sont parallèles.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) A'(1 - 5 ; 1 - 3) = (-4 ; -2) ; B'(4 - 5 ; 2 - 3) = (-1 ; -1) ; C'(2 - 5 ; 4 - 3) = (-3 ; 1).
b) A''(-1 ; -1) ; B''(-4 ; -2) ; C''(-2 ; -4).
c) AB = √(4 - 1)2 + (2 - 1)2 = √9 + 1 = √10.
A''B'' = √(-4 + 1)2 + (-2 + 1)2 = √9 + 1 = √10.
On constate que A''B'' = AB : la symétrie centrale conserve les longueurs.
d) overrightarrowBC(2 - 4 ; 4 - 2) = (-2 ; 2) et overrightarrowB''C''(-2 + 4 ; -4 + 2) = (2 ; -2).
On a overrightarrowB''C'' = -overrightarrowBC : les vecteurs sont colinéaires, donc les droites (BC) et (B''C'') sont parallèles. C'est la propriété : l'image d'une droite par une symétrie centrale lui est parallèle.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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