Karamö, le prof virtuelLeçon 24 sur 27
Rotation et homothétie
Je sais construire l'image d'une figure par une rotation ou par une homothétie, calculer des coordonnées d'images simples et utiliser l'effet de ces transformations sur les longueurs et les aires.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et construire l'image d'un point par une rotation de centre et d'angle donnés
- Connaître les propriétés de conservation de la rotation
- Définir et construire l'image d'un point par une homothétie de centre et de rapport donnés
- Utiliser l'effet d'une homothétie sur les longueurs (×
- k
- ) et les aires (× k²)
- Calculer les coordonnées de l'image d'un point par un quart de tour ou une homothétie
Avant de commencer : Symétrie et translation (leçon précédente), les vecteurs et leurs coordonnées, la propriété de Thalès, la mesure des angles au rapporteur.
1Je découvre
Au marché de Nzérékoré, Ibrahima répare des ventilateurs. Quand l'hélice tourne d'un quart de tour autour de son axe, chaque pale se retrouve à la place de la suivante : sa forme ne change pas, mais sa direction a tourné de 90°. Les points proches du centre parcourent un petit arc, ceux du bout de la pale un grand arc, mais tous tournent du même angle.
Dans la boutique voisine, Mariama agrandit des photos d'identité pour en faire des portraits. La photo agrandie a exactement la même forme que l'originale, mais toutes ses longueurs sont multipliées par 3. Mariama s'étonne pourtant : elle a besoin de 9 fois plus de papier, et non 3 fois plus.
La première transformation fait tourner les figures ; la seconde les agrandit ou les réduit.
Comment définir ces deux transformations, les construire, et prévoir ce qu'elles font aux longueurs, aux angles et aux aires ?
2Je comprends
1. La rotation
Soient O un point et α un angle. On choisit un sens de rotation : le sens direct (ou positif, ou trigonométrique) est le sens contraire des aiguilles d'une montre ; le sens indirect est celui des aiguilles d'une montre.
La rotation de centre O et d'angle α (dans un sens donné) est la transformation qui, à tout point M distinct de O, associe le point M' tel que :
- OM' = OM (M' est sur le cercle de centre O passant par M) ;
- MOM' = α, en tournant dans le sens indiqué.
Le centre O est sa propre image.
Méthode
Pour construire l'image M' de M par la rotation de centre O, d'angle α, sens direct :
- Je trace le segment [OM].
- Avec le rapporteur centré en O, je mesure l'angle α à partir de [OM], dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, et je trace la demi-droite obtenue.
- Avec le compas, je reporte la longueur OM sur cette demi-droite : j'obtiens M'.
- Pour une figure, je fais de même pour chaque sommet et je relie les images dans le même ordre.
Cas particuliers :
- la rotation d'angle 180° est la symétrie de centre O (quel que soit le sens) ;
- la rotation d'angle 90° s'appelle un quart de tour.
Propriétés. Une rotation conserve les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme, les milieux et les aires. L'image d'un cercle est un cercle de même rayon. Comme la translation, elle ne « retourne » pas les figures.
Dans un repère orthonormé, pour une rotation de centre O :
| Rotation de centre O | Image de M(x ; y) |
|---|---|
| quart de tour sens direct (+90°) | (-y ; x) |
| quart de tour sens indirect (−90°) | (y ; -x) |
| demi-tour (180°) | (-x ; -y) |
Exemple
Calculer l'image de A(3 ; 1) par le quart de tour direct de centre O, et vérifier que OA' = OA et que (OA) ⊥ (OA').
A'(−1 ; 3).
OA = √(3² + 1²) = √10 et OA' = √((−1)² + 3²) = √10 : les distances sont égales.
Vecteurs OA(3 ; 1) et OA'(−1 ; 3) : 3 × (−1) + 1 × 3 = 0, donc les droites (OA) et (OA') sont perpendiculaires.
2. L'homothétie
Soient O un point et k un nombre réel non nul. L'homothétie de centre O et de rapport k est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :
overrightarrowOM' = k overrightarrowOM.
- O, M et M' sont alignés.
- Si k > 0, M' est sur la demi-droite [OM), du même côté que M.
- Si k < 0, M' est de l'autre côté de O.
- OM' = |k| × OM.
Si |k| > 1, c'est un agrandissement ; si |k| < 1, c'est une réduction. L'homothétie de rapport -1 est la symétrie de centre O ; celle de rapport 1 ne change rien.
Propriétés. Si A' et B' sont les images de A et B par l'homothétie de rapport k :
- overrightarrowA'B' = k overrightarrowAB, donc (A'B') est parallèle à (AB) et A'B' = |k| × AB ;
- les longueurs sont multipliées par |k| ;
- les aires sont multipliées par k2 ;
- les angles, l'alignement et le parallélisme sont conservés ;
- l'image d'un cercle de rayon r est un cercle de rayon |k| × r.
C'est la réponse à Mariama : avec k = 3, l'aire est multipliée par 32 = 9.
Le lien avec Thalès : dans un triangle OAB, si A' est sur (OA) et B' sur (OB) avec OA'OA = OB'OB = k (même disposition), alors (A'B') // (AB) et A'B'AB = k. La configuration de Thalès est une homothétie.
Méthode
Pour construire l'image M' de M par l'homothétie de centre O et de rapport k :
- Je trace la droite (OM).
- Je mesure OM et je calcule |k| × OM.
- Si k > 0, je place M' sur [OM) à la distance |k| × OM de O ; si k < 0, je le place de l'autre côté de O.
- En repère, avec O à l'origine : M'(kx ; ky).
Exemple
Homothétie de centre O : calculer l'image de A(3 ; 1) pour k = 2 et pour k = −1/2.
k = 2 : A'(2 × 3 ; 2 × 1) = (6 ; 2).
k = −1/2 : A''(−1,5 ; −0,5), situé de l'autre côté de O, deux fois plus près de O que A.
Exemple
Homothétie de centre Ω(1 ; 1) et de rapport 2. Calculer l'image de M(3 ; 2).
ΩM(3 − 1 ; 2 − 1) = (2 ; 1), donc ΩM' = 2 ΩM = (4 ; 2).
M'(1 + 4 ; 1 + 2) = M'(5 ; 3).
Exemple
Un triangle a une aire de 6 cm² et un périmètre de 12 cm. On le transforme par une homothétie de rapport −2. Donner le périmètre et l'aire de l'image.
Les longueurs sont multipliées par |−2| = 2 : périmètre 2 × 12 = 24 cm.
Les aires sont multipliées par (−2)² = 4 : aire 4 × 6 = 24 cm².
3. Comparer les transformations
| Transformation | Conserve les longueurs ? | Conserve les angles ? | Aires |
|---|---|---|---|
| Translation, symétries, rotation | oui | oui | conservées |
| Homothétie de rapport k | non (× lvert k rvert) | oui | × k2 |
3Je retiens
Je retiens
Rotation de centre O, d'angle α : OM' = OM et angle MOM' = α dans le sens choisi.
Une rotation conserve longueurs, angles, alignement, parallélisme et aires ; la rotation de 180° est la symétrie centrale.
Quart de tour de centre O : (x ; y) → (−y ; x) en sens direct, (y ; −x) en sens indirect.
Homothétie de centre O, de rapport k (k ≠ 0) : OM' = k OM (vecteurs) ; avec O origine, M'(kx ; ky).
Homothétie : (A'B') // (AB), longueurs × |k|, aires × k², angles conservés.
|k| > 1 : agrandissement ; |k| < 1 : réduction ; k < 0 : l'image passe de l'autre côté du centre.
4Erreurs fréquentes
- Tourner dans le mauvais sens : le sens direct est le sens CONTRAIRE des aiguilles d'une montre.
- Multiplier les aires par k au lieu de k² : une homothétie de rapport 3 multiplie les aires par 9.
- Placer l'image du mauvais côté quand k est négatif : pour k = −2, M' est de l'autre côté de O, à une distance double.
- Oublier que O, M et M' sont toujours alignés dans une homothétie (ce n'est pas le cas dans une rotation).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans un repère orthonormé, on donne B(2 ; 5). Calcule les coordonnées de l'image de B :
a) par le quart de tour direct de centre O ; b) par le quart de tour indirect de centre O ; c) par la rotation de centre O d'angle 180°.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) (-5 ; 2). b) (5 ; -2). c) (-2 ; -5).
2Exercice 2
L'aiguille des minutes d'une horloge de la mairie tourne autour de son centre.
a) De quel angle tourne-t-elle en 15 minutes ? en 20 minutes ?
b) Dans quel sens (direct ou indirect) tourne-t-elle ?
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a) En 60 minutes, l'aiguille fait un tour complet, soit 360°. En 1 minute : 360° ÷ 60 = 6°. En 15 minutes : 15 × 6° = 90° (un quart de tour). En 20 minutes : 20 × 6° = 120°.
b) Elle tourne dans le sens des aiguilles d'une montre : c'est le sens indirect.
3Exercice 3
On considère l'homothétie h de centre O et de rapport -3.
a) Calcule l'image de C(1 ; −2) par h.
b) Un segment [PQ] mesure 2,5 cm. Combien mesure son image ?
c) Un disque a une aire de 4π cm². Quelle est l'aire de son image ?
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a) C'(-3 × 1 ; -3 × (-2)) = (-3 ; 6).
b) Les longueurs sont multipliées par |-3| = 3 : 3 × 2,5 = 7,5 cm.
c) Les aires sont multipliées par (-3)2 = 9 : 9 × 4π = 36π cm².
4Exercice 4
Un rectangle mesure 4 cm sur 3 cm. On en construit l'image par une homothétie de rapport 1,5.
a) Calcule les dimensions, le périmètre et l'aire de l'image.
b) Vérifie que l'aire a été multipliée par 1,52.
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a) Dimensions : 4 × 1,5 = 6 cm et 3 × 1,5 = 4,5 cm. Périmètre : 2 × (6 + 4,5) = 21 cm. Aire : 6 × 4,5 = 27 cm².
b) Aire de départ : 4 × 3 = 12 cm². 1,52 = 2,25 et 12 × 2,25 = 27 cm². C'est bien le cas.
5Exercice 5
(Type BEPC) Dans un repère orthonormé, on donne A(2 ; 0), B(4 ; 2) et Ω(0 ; 1).
a) Calcule les coordonnées de A' et B', images de A et B par l'homothétie de centre Ω et de rapport 2.
b) Calcule les longueurs AB et A'B'. Vérifie que A'B' = 2 AB.
c) Démontre que (A'B') est parallèle à (AB).
d) Calcule les coordonnées de E, image de A par le quart de tour direct de centre O, puis vérifie que le triangle OAE est rectangle isocèle en O.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) overrightarrowΩ A(2 ; -1), donc overrightarrowΩ A' = 2overrightarrowΩ A = (4 ; -2) et A'(0 + 4 ; 1 - 2) = (4 ; -1).
overrightarrowΩ B(4 ; 1), donc overrightarrowΩ B' = (8 ; 2) et B'(8 ; 3).
b) AB = √(4 - 2)2 + (2 - 0)2 = √8 = 2√2.
A'B' = √(8 - 4)2 + (3 + 1)2 = √32 = 4√2. On a bien A'B' = 2 × 2√2 = 2AB.
c) overrightarrowAB(2 ; 2) et overrightarrowA'B'(4 ; 4). Donc overrightarrowA'B' = 2overrightarrowAB : les vecteurs sont colinéaires, les droites (A'B') et (AB) sont parallèles (elles ne sont pas confondues, car A' n'est pas sur (AB) : la droite (AB) a pour équation y = x - 2 et 4 - 2 = 2 ≠ -1).
d) Quart de tour direct de centre O : (x ; y) mapsto (-y ; x), donc A(2 ; 0) a pour image E(0 ; 2). OA = 2 et OE = 2, donc OAE est isocèle en O. overrightarrowOA(2 ; 0) et overrightarrowOE(0 ; 2) : l'un est sur l'axe des abscisses, l'autre sur l'axe des ordonnées, ils sont perpendiculaires. OAE est rectangle isocèle en O.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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