Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 19
Sens de variation et extremums
Je sais utiliser le signe de la dérivée pour trouver le sens de variation d'une fonction, ses maximums et ses minimums, et résoudre un problème d'optimisation.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Relier le signe de la dérivée au sens de variation d'une fonction
- Dresser un tableau de variations complet à partir de f'
- Repérer un extremum local ou global
- Résoudre un problème d'optimisation (bénéfice maximal, coût moyen minimal)
Avant de commencer : Le calcul des dérivées, le signe d'un trinôme et d'une fonction rationnelle, la notion de fonction croissante ou décroissante.
1Je découvre
Mariama vend des beignets devant un collège de Kindia. En notant x le nombre de dizaines de beignets qu'elle prépare chaque jour, elle a estimé son bénéfice quotidien, en centaines de GNF, par :
B(x) = -x2 + 40x - 300.
Si elle prépare trop peu de beignets, elle gagne peu ; si elle en prépare trop, une partie reste invendue et elle perd de l'argent. Il existe donc une quantité « idéale ». En essayant x = 15, elle trouve B(15) = 75 ; avec x = 25, encore B(25) = 75 ; avec x = 20, elle trouve B(20) = 100. Mais est-ce vraiment le meilleur choix ? Essayer toutes les valeurs une par une serait trop long.
La leçon précédente a montré que la dérivée mesure la vitesse de variation. Quand le bénéfice monte, la dérivée est positive ; quand il descend, elle est négative ; au sommet, elle s'annule.
Comment la dérivée permet-elle de connaître les variations d'une fonction et de trouver son maximum ou son minimum ?
2Je comprends
1. Signe de la dérivée et sens de variation
On admet le théorème suivant, fondamental pour toute l'étude des fonctions.
Théorème. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f'(x) > 0 pour tout x de I (sauf peut-être en quelques points isolés où elle s'annule), alors f est strictement croissante sur I.
- Si f'(x) < 0 pour tout x de I (sauf en quelques points isolés), alors f est strictement décroissante sur I.
- Si f'(x) = 0 pour tout x de I, alors f est constante sur I.
L'idée est simple : f'(x) est le coefficient directeur de la tangente. Une tangente qui « monte » signifie que la courbe monte.
2. Extremums
Soit f définie sur un intervalle I et c un point de I.
- f(c) est un maximum local si f(x) ≤ f(c) pour tout x proche de c.
- f(c) est un minimum local si f(x) ≥ f(c) pour tout x proche de c.
- Un extremum est un maximum ou un minimum. S'il est valable sur tout I, on parle d'extremum global (ou absolu).
Propriété. Si f est dérivable et que f' s'annule en c en changeant de signe, alors f(c) est un extremum local :
- f' passe de + à - : f monte puis descend, c'est un maximum ;
- f' passe de - à + : f descend puis monte, c'est un minimum.
Attention : f'(c) = 0 ne suffit pas. Pour f(x) = x3, on a f'(x) = 3x2, qui s'annule en 0 sans changer de signe : f est croissante sur ℝ et f(0) n'est pas un extremum.
Méthode
Pour étudier les variations d'une fonction f :
- Je précise l'ensemble de définition (ou l'intervalle d'étude).
- Je calcule f'(x) et je la factorise le plus possible.
- J'étudie le signe de f'(x) (tableau de signes, signe d'un trinôme…).
- Je dresse le tableau de variations : une ligne pour x, une pour le signe de f', une pour les flèches de f.
- Je calcule les images aux points où f' s'annule et aux bornes (ou les limites).
- Je repère les extremums là où f' change de signe.
Exemple
Étudier les variations de f(x) = x³ − 3x + 1 sur ℝ.
f'(x) = 3x² − 3 = 3(x² − 1) = 3(x − 1)(x + 1).
C'est un trinôme de racines −1 et 1, avec a = 3 > 0 : positif à l'extérieur des racines, négatif entre.
f(−1) = −1 + 3 + 1 = 3 et f(1) = 1 − 3 + 1 = −1.
En +∞ et en −∞, f a la limite de x³ : +∞ et −∞.
f est croissante sur ]−∞ ; −1], décroissante sur [−1 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[.
Maximum local 3 en x = −1 ; minimum local −1 en x = 1.
| x | -∞ | -1 | 1 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | nearrow | 3 | searrow | -1 | nearrow | +∞ |
Exemple
Étudier les variations de g(x) = x + 4/x sur ]0 ; +∞[.
g'(x) = 1 − 4/x² = (x² − 4)/x² = (x − 2)(x + 2)/x².
Sur ]0 ; +∞[, x² > 0 et x + 2 > 0 : g'(x) a le signe de x − 2.
g'(x) < 0 sur ]0 ; 2[ et g'(x) > 0 sur ]2 ; +∞[.
g est décroissante sur ]0 ; 2] puis croissante sur [2 ; +∞[.
Minimum : g(2) = 2 + 2 = 4. C'est même le minimum global sur ]0 ; +∞[.
3. Optimisation
En économie, on cherche souvent à rendre un bénéfice maximal ou un coût moyen minimal. On exprime la grandeur à optimiser par une fonction, on étudie ses variations sur l'intervalle qui a du sens, et on lit l'extremum global dans le tableau.
Retour aux beignets de Mariama : B'(x) = -2x + 40. B'(x) > 0 pour x < 20 et B'(x) < 0 pour x > 20. B est croissante puis décroissante : son maximum est atteint en x = 20 et vaut B(20) = -400 + 800 - 300 = 100.
Mariama doit préparer 200 beignets par jour ; son bénéfice est alors maximal : 100 centaines de GNF, soit 10 000 GNF.
3Je retiens
Je retiens
Sur un intervalle : f' > 0 donne f strictement croissante ; f' < 0 donne f strictement décroissante ; f' = 0 donne f constante.
Si f' s'annule en c en changeant de signe, f(c) est un extremum local.
f' passe de + à − : maximum ; f' passe de − à + : minimum.
f'(c) = 0 sans changement de signe : pas d'extremum (exemple x³ en 0).
Tableau de variations : ligne x, ligne signe de f', ligne des flèches avec les images et les limites.
Optimiser : écrire la fonction, étudier ses variations sur l'intervalle utile, lire l'extremum global.
4Erreurs fréquentes
- Étudier le signe de f au lieu du signe de f' : c'est le signe de la DÉRIVÉE qui donne le sens de variation.
- Affirmer qu'il y a un extremum dès que f'(c) = 0 : il faut que f' change de signe.
- Oublier de calculer les images f(c) : un tableau de variations sans valeurs est incomplet.
- Dire qu'une fonction rationnelle est décroissante « sur ℝ \ {a} » : on écrit « sur ]−∞ ; a[ et sur ]a ; +∞[ » séparément.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Étudie les variations de f(x) = -2x2 + 8x - 3 sur ℝ et donne son extremum.
Voir le corrigéCacher le corrigé
f'(x) = -4x + 8, qui s'annule en x = 2. f'(x) > 0 pour x < 2 et f'(x) < 0 pour x > 2. f est croissante sur ]-∞ ; 2] et décroissante sur [2 ; +∞[. Elle admet un maximum en x = 2 : f(2) = -8 + 16 - 3 = 5.
2Exercice 2
Soit f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 2.
a) Calcule f'(x) et factorise-la.
b) Dresse le tableau de variations de f (avec les limites en ± ∞).
c) Donne les extremums locaux de f.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f'(x) = 3x2 - 12x + 9 = 3(x2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3) (racines 1 et 3, car 1 + 3 = 4 et 1 × 3 = 3).
b) f' est positive à l'extérieur de [1 ; 3] et négative entre 1 et 3. f(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 ; f(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2. En -∞ : -∞ ; en +∞ : +∞ (terme x3).
| x | -∞ | 1 | 3 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | nearrow | 6 | searrow | 2 | nearrow | +∞ |
c) Maximum local 6 en x = 1 ; minimum local 2 en x = 3.
3Exercice 3
Montre que g(x) = x + 1x - 2 est strictement décroissante sur ]-∞ ; 2[ et sur ]2 ; +∞[.
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g'(x) = 1 × (x - 2) - (x + 1) × 1(x - 2)2 = -3(x - 2)2. Un carré non nul est strictement positif, donc g'(x) < 0 pour tout x ≠ 2. g est strictement décroissante sur ]-∞ ; 2[ et sur ]2 ; +∞[ ; elle n'a pas d'extremum.
4Exercice 4
Soit k(x) = x4 - 2x2. Étudie les variations de k sur ℝ et donne ses extremums locaux.
Voir le corrigéCacher le corrigé
k'(x) = 4x3 - 4x = 4x(x2 - 1) = 4x(x - 1)(x + 1).
Signes : sur ]-∞ ; -1[ : (-)(-)(-) = - ; sur ]-1 ; 0[ : (-)(-)(+) = + ; sur ]0 ; 1[ : (+)(-)(+) = - ; sur ]1 ; +∞[ : +.
k est décroissante sur ]-∞ ; -1], croissante sur [-1 ; 0], décroissante sur [0 ; 1], croissante sur [1 ; +∞[.
k(-1) = 1 - 2 = -1 et k(1) = -1 : minimums locaux (et même globaux). k(0) = 0 : maximum local.
5Exercice 5
(Type BAC) Une entreprise de Labé fabrique des sacs. Pour q centaines de sacs fabriqués et vendus (0 ≤ q ≤ 8), son bénéfice, en millions de GNF, est :
B(q) = -q3 + 9q2 - 15q - 7.
a) Calcule B'(q) et montre que B'(q) = -3(q - 1)(q - 5).
b) Étudie le signe de B'(q) sur [0 ; 8] et dresse le tableau de variations de B.
c) Quelle production rend le bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) B'(q) = -3q2 + 18q - 15 = -3(q2 - 6q + 5). Le trinôme q2 - 6q + 5 a pour racines 1 et 5 (somme 6, produit 5). Donc B'(q) = -3(q - 1)(q - 5).
b) B' est un trinôme de coefficient -3 < 0 : négatif à l'extérieur de [1 ; 5], positif entre. Sur [0 ; 8] : B' < 0 sur [0 ; 1[, B' > 0 sur ]1 ; 5[, B' < 0 sur ]5 ; 8].
B(0) = -7 ; B(1) = -1 + 9 - 15 - 7 = -14 ; B(5) = -125 + 225 - 75 - 7 = 18 ; B(8) = -512 + 576 - 120 - 7 = -63.
| q | 0 | 1 | 5 | 8 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B'(q) | - | 0 | + | 0 | - | ||
| B(q) | -7 | searrow | -14 | nearrow | 18 | searrow | -63 |
c) Le bénéfice est maximal pour q = 5, c'est-à-dire 500 sacs. Il vaut alors 18 millions de GNF.
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6Je vérifie
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