Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 19
Étude et représentation graphique d'une fonction
Je sais mener l'étude complète d'une fonction (ensemble de définition, limites, asymptotes, dérivée, variations, points remarquables) et tracer sa courbe avec soin.
- 1 h 10
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Suivre le plan d'étude complet d'une fonction polynôme ou rationnelle
- Déterminer les asymptotes (verticale, horizontale, oblique) et la position de la courbe
- Trouver les points remarquables : intersections avec les axes, tangentes, centre ou axe de symétrie
- Tracer une courbe propre à partir du tableau de variations et d'un tableau de valeurs
Avant de commencer : Les limites, les dérivées, le sens de variation et les extremums, la factorisation des polynômes.
1Je découvre
Aïssatou prépare son BAC en série sociale à Boké. Dans les annales, elle remarque que le « problème » de mathématiques commence presque toujours de la même façon : « Soit f la fonction définie par… et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé. » Puis viennent les questions : ensemble de définition, limites, dérivée, tableau de variations, asymptotes, tangente, et enfin « Construire (C) ».
Chaque question utilise une leçon déjà vue : les limites, la dérivée, le sens de variation. Aïssatou comprend que la difficulté n'est pas dans chaque calcul, mais dans l'enchaînement : savoir quoi faire, dans quel ordre, et comment rassembler tous les résultats sur un dessin juste.
Quel plan suivre pour étudier une fonction de bout en bout, et comment tracer sa courbe sans erreur ?
2Je comprends
1. Le plan d'étude
- 1Ensemble de définition (et éventuellement parité ou intervalle d'étude).
- 2Limites aux bornes de l'ensemble de définition ; asymptotes.
- 3Dérivée, factorisation et signe de la dérivée.
- 4Tableau de variations complet (flèches, extremums, limites).
- 5Points remarquables : intersections avec les axes, tangentes, symétrie.
- 6Tableau de valeurs, puis tracé des asymptotes, des tangentes et de la courbe.
2. Les asymptotes
- Asymptote verticale : si limx → a f(x) = ± ∞, la droite x = a est asymptote verticale.
- Asymptote horizontale : si limx → ± ∞ f(x) = ell, la droite y = ell est asymptote horizontale.
- Asymptote oblique : si limx → ± ∞ [f(x) - (ax + b)] = 0, la droite y = ax + b est asymptote oblique. C'est le cas quand on peut écrire f(x) = ax + b + varphi(x) avec varphi(x) qui tend vers 0.
Position de la courbe par rapport à une droite Δ d'équation y = ax + b : on étudie le signe de d(x) = f(x) - (ax + b). Si d(x) > 0, la courbe est au-dessus de Δ ; si d(x) < 0, elle est en dessous.
Exemple
Montrer que la droite Δ : y = 2x − 1 est asymptote oblique à la courbe de f(x) = 2x − 1 + 3/x, et étudier leur position.
f(x) − (2x − 1) = 3/x.
En +∞ et en −∞, 3/x tend vers 0 : Δ est asymptote oblique à la courbe en +∞ et en −∞.
Position : pour x > 0, 3/x > 0, la courbe est au-dessus de Δ ; pour x < 0, 3/x < 0, la courbe est en dessous de Δ.
3. Les éléments de symétrie
- La droite x = a est axe de symétrie de la courbe si, pour tout x de Df, 2a - x ∈ Df et f(2a - x) = f(x).
- Le point Ω(a ; b) est centre de symétrie de la courbe si, pour tout x de Df, 2a - x ∈ Df et f(2a - x) + f(x) = 2b.
La symétrie permet de vérifier son tracé : la courbe doit « se replier » sur elle-même.
4. Un exemple complet : f(x) = x³ − 3x² + 2
Ensemble de définition. f est un polynôme : Df = ℝ.
Limites. En ± ∞, f a la limite de x3 : limx → -∞ f(x) = -∞ et limx → +∞ f(x) = +∞. Pas d'asymptote.
Dérivée. f'(x) = 3x2 - 6x = 3x(x - 2). Racines 0 et 2 ; trinôme positif à l'extérieur, négatif entre.
Valeurs aux extremums. f(0) = 2 ; f(2) = 8 - 12 + 2 = -2.
| x | -∞ | 0 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | nearrow | 2 | searrow | -2 | nearrow | +∞ |
Intersections avec les axes. Avec l'axe des ordonnées : f(0) = 2, point (0 ; 2). Avec l'axe des abscisses : 1 est racine évidente (1 - 3 + 2 = 0), et Horner donne f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 2). Pour x2 - 2x - 2 : Δ = 4 + 8 = 12, racines 1 - √3 ≈ -0,73 et 1 + √3 ≈ 2,73. La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points.
Centre de symétrie. Montrons que I(1 ; 0) est centre de symétrie :
f(2 - x) = (2 - x)3 - 3(2 - x)2 + 2 = 8 - 12x + 6x2 - x3 - 12 + 12x - 3x2 + 2 = -x3 + 3x2 - 2.
Donc f(2 - x) + f(x) = 0 = 2 × 0 : I(1 ; 0) est bien centre de symétrie.
Tangente en I. f'(1) = 3 - 6 = -3 et f(1) = 0 : y = -3(x - 1), soit y = -3x + 3.
Tableau de valeurs.
| x | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | -2 | 1,125 | 2 | 1,375 | 0 | -1,375 | -2 | -1,125 | 2 |
Méthode
Pour tracer la courbe proprement :
- Je choisis les unités pour que tous les points utiles tiennent sur la feuille.
- Je trace d'abord les asymptotes en pointillés.
- Je place les points des extremums et je trace de petites tangentes horizontales.
- Je place les points d'intersection avec les axes et les points du tableau de valeurs.
- Je trace la tangente demandée.
- Je relie les points à main levée par une courbe régulière, qui respecte les flèches du tableau et se rapproche des asymptotes sans les couper au loin.
5. Une fonction rationnelle avec asymptotes
Exemple
Étudier rapidement f(x) = (x + 2)/(x − 1).
Df = ℝ \ {1}.
En ±∞ : f(x) tend vers x/x = 1 : asymptote horizontale y = 1.
En 1 : numérateur 3 > 0 ; x − 1 tend vers 0⁺ à droite et 0⁻ à gauche. Donc lim (x → 1⁺) f(x) = +∞ et lim (x → 1⁻) f(x) = −∞ : asymptote verticale x = 1.
f'(x) = [(x − 1) − (x + 2)]/(x − 1)² = −3/(x − 1)² < 0 : f est décroissante sur ]−∞ ; 1[ et sur ]1 ; +∞[.
Axes : f(0) = −2 ; f(x) = 0 pour x = −2. Points (0 ; −2) et (−2 ; 0).
La courbe est une hyperbole de centre de symétrie Ω(1 ; 1), le point de rencontre des deux asymptotes.
3Je retiens
Je retiens
Plan d'étude : ensemble de définition, limites et asymptotes, dérivée et son signe, tableau de variations, points remarquables, tracé.
x = a est asymptote verticale si f tend vers ±∞ en a ; y = ℓ est asymptote horizontale si f tend vers ℓ en ±∞.
y = ax + b est asymptote oblique si f(x) − (ax + b) tend vers 0 en ±∞.
Position : signe de f(x) − (ax + b) ; positif : courbe au-dessus.
Axe x = a : f(2a − x) = f(x). Centre Ω(a ; b) : f(2a − x) + f(x) = 2b.
Tangente en a : y = f'(a)(x − a) + f(a).
4Erreurs fréquentes
- Tracer une courbe qui contredit le tableau de variations (une bosse là où la fonction est croissante) : place toujours d'abord les extremums.
- Relier les deux branches d'une fonction rationnelle à travers l'asymptote verticale : la courbe n'est pas définie en cette valeur.
- Oublier de justifier une asymptote oblique : il faut montrer que f(x) − (ax + b) tend vers 0.
- Arrondir trop tôt dans le tableau de valeurs : garde au moins deux décimales pour placer les points.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Étudie la fonction f(x) = -x2 + 4x - 3 : variations, extremum, intersections avec les axes, axe de symétrie. Trace sa courbe.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Df = ℝ. f'(x) = -2x + 4 : positive pour x < 2, négative pour x > 2. f est croissante sur ]-∞ ; 2], décroissante sur [2 ; +∞[ ; maximum f(2) = -4 + 8 - 3 = 1. Limites : -∞ en ± ∞ (terme -x2).
Axes : f(0) = -3, point (0 ; -3) ; f(x) = 0 ⇔ x2 - 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 ou x = 3.
Axe de symétrie x = 2 : f(4 - x) = -(4 - x)2 + 4(4 - x) - 3 = -16 + 8x - x2 + 16 - 4x - 3 = -x2 + 4x - 3 = f(x).
La courbe est une parabole tournée vers le bas, de sommet (2 ; 1), passant par (1 ; 0), (3 ; 0), (0 ; -3) et (4 ; -3).
2Exercice 2
Soit f(x) = x + 2x - 1. Vérifie que f(2 - x) + f(x) = 2 pour tout x ≠ 1 et interprète.
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Pour x ≠ 1, on a aussi 2 - x ≠ 1. f(2 - x) = 2 - x + 22 - x - 1 = 4 - x1 - x = x - 4x - 1.
f(2 - x) + f(x) = x - 4 + x + 2x - 1 = 2x - 2x - 1 = 2. Donc Ω(1 ; 1) est centre de symétrie de la courbe (c'est l'intersection des asymptotes x = 1 et y = 1).
3Exercice 3
Soit g(x) = x3 - 3x.
a) Donne l'équation de la tangente (T) à la courbe de g au point d'abscisse 0.
b) Étudie la position de la courbe par rapport à (T).
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a) g'(x) = 3x2 - 3, g'(0) = -3 et g(0) = 0. (T) : y = -3x.
b) g(x) - (-3x) = x3 - 3x + 3x = x3. Pour x > 0, x3 > 0 : la courbe est au-dessus de (T). Pour x < 0, elle est en dessous. Elles se coupent en O (la courbe « traverse » sa tangente).
4Exercice 4
On reprend f(x) = x3 - 3x2 + 2 et son tableau de variations. Sans calcul supplémentaire, donne le nombre de solutions de l'équation f(x) = 1, puis de l'équation f(x) = 3.
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Sur ]-∞ ; 0], f croît de -∞ à 2 ; sur [0 ; 2], elle décroît de 2 à -2 ; sur [2 ; +∞[, elle croît de -2 à +∞.
f(x) = 1 : 1 est atteint une fois sur chacun des trois intervalles (car 1 est entre -∞ et 2, entre 2 et -2, entre -2 et +∞) : trois solutions.
f(x) = 3 : sur les deux premiers intervalles, f(x) ≤ 2 < 3 ; sur le troisième, 3 est atteint une fois : une seule solution.
5Exercice 5
(Type BAC) Soit f(x) = x2 + x + 2x - 1 et (C) sa courbe.
a) Donne Df. Vérifie que f(x) = x + 2 + 4x - 1.
b) Calcule les limites de f aux bornes de Df.
c) Montre que la droite (D) : y = x + 2 est asymptote oblique à (C) et étudie leur position.
d) Montre que f'(x) = (x + 1)(x - 3)(x - 1)2 et dresse le tableau de variations de f.
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a) Df = ℝ setminus {1}. x + 2 + 4x - 1 = (x + 2)(x - 1) + 4x - 1 = x2 + x - 2 + 4x - 1 = x2 + x + 2x - 1.
b) En ± ∞ : x2x = x, donc limx → +∞ f(x) = +∞ et limx → -∞ f(x) = -∞. En 1 : le numérateur tend vers 4 > 0 ; limx → 1^+ f(x) = +∞ et limx → 1^- f(x) = -∞. La droite x = 1 est asymptote verticale.
c) f(x) - (x + 2) = 4x - 1, qui tend vers 0 en ± ∞ : (D) est asymptote oblique. Pour x > 1, 4x - 1 > 0 : (C) est au-dessus de (D) ; pour x < 1, (C) est en dessous.
d) f'(x) = 1 - 4(x - 1)2 = (x - 1)2 - 4(x - 1)2 = (x - 1 - 2)(x - 1 + 2)(x - 1)2 = (x - 3)(x + 1)(x - 1)2.
Le dénominateur est positif ; le numérateur est un trinôme de racines -1 et 3, positif à l'extérieur. f(-1) = -1 + 2 + 4-2 = -1 ; f(3) = 5 + 2 = 7.
| x | -∞ | -1 | 1 | 3 | +∞ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | - | ‖ | - | 0 | + | ||
| f(x) | -∞ | nearrow | -1 | searrow -∞ | ‖ | +∞ searrow | 7 | nearrow | +∞ |
Maximum local -1 en x = -1 ; minimum local 7 en x = 3.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 12e SS
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
