Karamö, le prof virtuelLeçon 11 sur 19
Suites arithmétiques
Je sais reconnaître une suite arithmétique, calculer n'importe lequel de ses termes et la somme de termes consécutifs, et l'utiliser pour modéliser une croissance régulière.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître et démontrer qu'une suite est arithmétique
- Utiliser la formule explicite un = u0 + nr et un = up + (n − p)r
- Calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique
- Modéliser une évolution à accroissement constant (épargne, production)
Avant de commencer : Les généralités sur les suites vues en 11e (notation un, calcul de termes), les équations du premier degré.
1Je découvre
Hawa, vendeuse de pagnes à Siguiri, décide d'épargner chaque semaine dans une caisse. La première semaine, elle met de côté 20 000 GNF. Ensuite, chaque semaine, elle épargne 2 000 GNF de plus que la semaine précédente : 22 000 GNF la deuxième semaine, 24 000 GNF la troisième, et ainsi de suite.
Hawa se pose deux questions. Combien devra-t-elle mettre de côté la 52e semaine, à la fin de l'année ? Et surtout, combien aura-t-elle épargné au total en un an ? Calculer les 52 montants un par un puis les additionner serait long et source d'erreurs.
Comment calculer directement n'importe quel terme d'une suite qui augmente toujours de la même quantité, et la somme de ses termes ?
2Je comprends
1. Définition
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n :
un+1 = un + r.
Le nombre r s'appelle la raison de la suite. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours r.
Pour démontrer qu'une suite est arithmétique, on calcule la différence un+1 - un pour un n quelconque : si elle est constante (elle ne dépend pas de n), la suite est arithmétique et cette constante est la raison. Pour montrer qu'une suite n'est pas arithmétique, un contre-exemple suffit : deux différences consécutives distinctes.
Exemple
La suite définie par un = 4n − 1 est-elle arithmétique ? Et la suite vn = n² ?
un₊₁ − un = [4(n + 1) − 1] − (4n − 1) = 4n + 4 − 1 − 4n + 1 = 4.
La différence est constante : (un) est arithmétique de raison 4, et u₀ = −1.
Pour (vn) : v₀ = 0, v₁ = 1, v₂ = 4. v₁ − v₀ = 1 mais v₂ − v₁ = 3.
Les différences ne sont pas égales : (vn) n'est pas arithmétique.
2. Formule explicite
En ajoutant n fois la raison au premier terme :
un = u0 + nr.
Plus généralement, pour deux indices n et p : un = up + (n - p)r. Si la suite commence à u1, on écrit un = u1 + (n - 1)r.
Cette formule permet de calculer directement un terme lointain, ou de retrouver la raison à partir de deux termes connus.
Exemple
Une suite arithmétique vérifie u₅ = 17 et u₁₂ = 38. Trouver r, u₀ et un.
u₁₂ = u₅ + (12 − 5)r, donc 38 = 17 + 7r, soit 7r = 21 et r = 3.
u₅ = u₀ + 5r, donc u₀ = 17 − 15 = 2.
Pour tout n : un = 2 + 3n. Contrôle : u₁₂ = 2 + 36 = 38. Juste.
Pour Hawa : u1 = 20 000 et r = 2 000, donc un = 20 000 + (n - 1) × 2 000. La 52e semaine : u52 = 20 000 + 51 × 2 000 = 122 000 GNF.
3. Sens de variation
Comme un+1 - un = r :
- si r > 0, la suite est strictement croissante ;
- si r < 0, elle est strictement décroissante ;
- si r = 0, elle est constante.
Graphiquement, les points (n ; un) sont alignés sur une droite de coefficient directeur r : c'est une croissance linéaire.
4. Trois termes consécutifs
Si a, b, c sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique, alors b - a = c - b, donc 2b = a + c, soit :
b = a + c2.
Le terme du milieu est la moyenne arithmétique des deux autres : c'est de là que vient le nom de la suite.
5. Somme de termes consécutifs
Somme des premiers entiers. 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)2.
L'idée : on écrit la somme à l'endroit et à l'envers, puis on additionne terme à terme. Chaque couple vaut n + 1 et il y a n couples, ce qui donne deux fois la somme. Exemple : 1 + 2 + … + 100 = 100 × 1012 = 5 050.
Cas général. La somme S de termes consécutifs d'une suite arithmétique vaut :
S = (nombre de termes) × premier terme + dernier terme2.
Attention au nombre de termes : de u0 à un, il y a n + 1 termes ; de up à un, il y en a n - p + 1.
Exemple
Calculer S = u₀ + u₁ + … + u₂₀ pour un = 2 + 3n.
Nombre de termes : de 0 à 20, soit 21 termes.
Premier terme : u₀ = 2. Dernier terme : u₂₀ = 2 + 60 = 62.
S = 21 × (2 + 62)/2 = 21 × 32 = 672.
Méthode
Pour calculer une somme de termes d'une suite arithmétique :
- Je vérifie que la suite est arithmétique et je note sa raison.
- Je compte le nombre de termes : (indice du dernier − indice du premier) + 1.
- Je calcule le premier et le dernier terme avec la formule explicite.
- J'applique S = nombre de termes × (premier + dernier) / 2.
- Je vérifie l'ordre de grandeur (la somme est proche de nombre de termes × terme du milieu).
Retour à Hawa. Elle épargne de la semaine 1 à la semaine 52 : 52 termes, le premier vaut 20 000 et le dernier 122 000.
S = 52 × 20 000 + 122 0002 = 52 × 71 000 = 3 692 000 GNF.
En un an, Hawa aura épargné 3 692 000 GNF.
3Je retiens
Je retiens
Suite arithmétique de raison r : un₊₁ = un + r (la différence un₊₁ − un est constante).
Formule explicite : un = u₀ + nr ; plus généralement un = up + (n − p)r.
r > 0 : suite croissante ; r < 0 : décroissante ; r = 0 : constante.
Trois termes consécutifs a, b, c : 2b = a + c.
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Somme de termes consécutifs = nombre de termes × (premier + dernier)/2.
De up à un, il y a n − p + 1 termes.
4Erreurs fréquentes
- Se tromper dans le nombre de termes : de u₀ à u₂₀ il y a 21 termes, pas 20.
- Utiliser un = u₀ + nr alors que la suite commence à u₁ : il faut alors un = u₁ + (n − 1)r.
- Conclure qu'une suite est arithmétique en calculant seulement u₁ − u₀ et u₂ − u₁ : il faut calculer un₊₁ − un pour un n quelconque.
- Confondre la raison r et le premier terme dans la formule explicite.
5Je m’exerce
1Exercice 1
(un) est la suite arithmétique de premier terme u0 = 5 et de raison 4.
a) Calcule u1, u2 et u3.
b) Exprime un en fonction de n et calcule u20.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u1 = 5 + 4 = 9 ; u2 = 13 ; u3 = 17.
b) un = 5 + 4n ; u20 = 5 + 80 = 85.
2Exercice 2
Les suites suivantes sont-elles arithmétiques ? Justifie.
a) un = 3 - 2n
b) vn = (n + 1)2 - n2
c) wn = 2n
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) un+1 - un = [3 - 2(n + 1)] - (3 - 2n) = -2. Constante : arithmétique de raison -2.
b) vn = n2 + 2n + 1 - n2 = 2n + 1. vn+1 - vn = 2(n + 1) + 1 - (2n + 1) = 2 : arithmétique de raison 2.
c) w0 = 1, w1 = 2, w2 = 4 : w1 - w0 = 1 et w2 - w1 = 2. Différences différentes : (wn) n'est pas arithmétique.
3Exercice 3
Une suite arithmétique vérifie u3 = 10 et u8 = 25.
a) Calcule la raison et u0.
b) Calcule u50.
c) Quel est le rang n du terme égal à 91 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u8 = u3 + 5r, donc 25 = 10 + 5r et r = 3. Puis u0 = u3 - 3r = 10 - 9 = 1.
b) un = 1 + 3n, donc u50 = 1 + 150 = 151.
c) 1 + 3n = 91 ⇔ 3n = 90 ⇔ n = 30. C'est u30.
4Exercice 4
Calcule :
a) S1 = 1 + 3 + 5 + … + 99 (somme des nombres impairs de 1 à 99)
b) S2 = u0 + u1 + … + u30, avec un = 1 + 3n
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a) Les nombres impairs forment une suite arithmétique de raison 2 : 1 + 2k. Le dernier, 99, correspond à k = 49 : il y a 49 + 1 = 50 termes. S1 = 50 × 1 + 992 = 50 × 50 = 2 500.
b) 31 termes ; u0 = 1 et u30 = 91. S2 = 31 × 1 + 912 = 31 × 46 = 1 426.
5Exercice 5
(Type BAC) Une coopérative agricole de Dabola a produit 1 200 sacs de riz en 2020. On suppose que sa production augmente de 150 sacs chaque année. On note un la production de l'année 2020 + n, donc u0 = 1 200.
a) Calcule u1 et u2. Justifie que (un) est arithmétique.
b) Exprime un en fonction de n.
c) Calcule la production prévue en 2030.
d) À partir de quelle année la production dépassera-t-elle 3 000 sacs ?
e) Calcule la production totale de 2020 à 2030 inclus.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u1 = 1 350 ; u2 = 1 500. Chaque année on ajoute 150 : un+1 = un + 150, donc (un) est arithmétique de raison 150.
b) un = 1 200 + 150n.
c) 2030 correspond à n = 10 : u10 = 1 200 + 1 500 = 2 700 sacs.
d) 1 200 + 150n > 3 000 ⇔ 150n > 1 800 ⇔ n > 12. Le premier entier qui convient est n = 13 (u12 = 3 000 exactement, sans dépasser). La production dépassera 3 000 sacs en 2033.
e) De 2020 à 2030 : 11 termes, de u0 = 1 200 à u10 = 2 700. Total : 11 × 1 200 + 2 7002 = 11 × 1 950 = 21 450 sacs.
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6Je vérifie
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