Karamö, le prof virtuelLeçon 13 sur 33
Les équations
Je sais vérifier si un nombre est solution d'une équation et résoudre une équation du premier degré à une inconnue.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une équation, son inconnue et ses deux membres
- Tester si un nombre est solution d'une équation
- Résoudre une équation du type ax + b = c ou ax + b = cx + d
- Vérifier sa solution
Avant de commencer : Les nombres relatifs et les expressions littérales (réduire, développer).
1Je découvre
Sékou part au marché de Madina avec 50 000 GNF. Il achète un sac de charbon à 20 000 GNF et plusieurs boîtes de tomate concentrée, toutes au même prix : 6 000 GNF la boîte. En rentrant, il lui reste 12 000 GNF. Sa petite sœur Hawa se demande : « Combien de boîtes a-t-il achetées ? »
Appelons x le nombre de boîtes. Sékou a dépensé 20 000 + 6 000x GNF, et comme il lui reste 12 000 GNF, il a dépensé 50 000 - 12 000 = 38 000 GNF. On peut donc écrire l'égalité :
20 000 + 6 000x = 38 000.
Cette égalité n'est vraie que pour une seule valeur de x. Hawa essaie au hasard : 3 boîtes ? 5 boîtes ? Elle finit par trouver, mais cela prend du temps. Il existe une méthode sûre et rapide.
Comment trouver, sans tâtonner, la valeur de l'inconnue qui rend une égalité vraie ?
2Je comprends
1. Le vocabulaire
Une équation est une égalité qui contient une lettre dont on ne connaît pas la valeur : l'inconnue.
Dans l'équation 3x + 4 = 19 :
- x est l'inconnue ;
- 3x + 4 est le premier membre (à gauche du signe =) ;
- 19 est le second membre (à droite).
Une solution de l'équation est une valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie. Résoudre une équation, c'est trouver toutes ses solutions.
Cette année, tu étudies les équations du premier degré à une inconnue : l'inconnue n'apparaît jamais au carré, et il y a en général une seule solution.
2. Tester si un nombre est solution
Pour savoir si un nombre est solution, on remplace l'inconnue par ce nombre dans chaque membre, on calcule chaque membre séparément, puis on compare.
Exemple
Le nombre 5 est-il solution de 3x + 4 = 19 ? Et le nombre 4 ?
Pour x = 5 : premier membre 3 × 5 + 4 = 15 + 4 = 19 ; second membre 19. Les deux membres sont égaux : 5 est solution.
Pour x = 4 : premier membre 3 × 4 + 4 = 12 + 4 = 16 ; second membre 19. 16 ≠ 19 : 4 n'est pas solution.
3. L'équation, c'est une balance
Imagine une balance du marché en équilibre. Si tu ajoutes le même poids sur les deux plateaux, elle reste en équilibre. Si tu doubles ce qu'il y a sur chaque plateau, elle reste aussi en équilibre. Une équation fonctionne de la même manière.
Règle 1 (addition). On obtient une équation qui a les mêmes solutions si on ajoute ou on retranche le même nombre aux deux membres.
Règle 2 (multiplication). On obtient une équation qui a les mêmes solutions si on multiplie ou on divise les deux membres par le même nombre non nul.
En pratique, la règle 1 revient à dire : un terme peut changer de membre à condition de changer de signe.
- 1Équation de départ : 3x + 4 = 19
- 2On retranche 4 aux deux membres : 3x + 4 − 4 = 19 − 4
- 3On réduit : 3x = 15
- 4On divise les deux membres par 3 : 3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
- 5Solution : x = 5
4. La méthode de résolution
Méthode
Pour résoudre une équation du premier degré :
- Si besoin, je développe et je réduis chaque membre.
- Je regroupe les termes en x dans le premier membre et les nombres dans le second (un terme qui change de membre change de signe).
- Je réduis chaque membre pour obtenir ax = b.
- Je divise les deux membres par a (a ≠ 0) : x = b/a.
- Je vérifie en remplaçant x dans l'équation de départ, puis je conclus : « La solution est … ».
Exemple
Résoudre 2x − 7 = 11.
2x = 11 + 7 (le −7 passe à droite et devient +7)
2x = 18
x = 18 ÷ 2
x = 9.
Vérification : 2 × 9 − 7 = 18 − 7 = 11. Juste. La solution est 9.
Exemple
Résoudre 5x + 3 = 2x − 9.
5x − 2x = −9 − 3 (le 2x passe à gauche, le +3 passe à droite)
3x = −12
x = −12 ÷ 3
x = −4.
Vérification : 5 × (−4) + 3 = −20 + 3 = −17 et 2 × (−4) − 9 = −8 − 9 = −17. Les deux membres sont égaux. La solution est −4.
Exemple
Résoudre 3(x − 2) = x + 8.
On développe : 3x − 6 = x + 8
3x − x = 8 + 6
2x = 14
x = 7.
Vérification : 3 × (7 − 2) = 3 × 5 = 15 et 7 + 8 = 15. La solution est 7.
5. Une solution qui n'est pas entière
La solution peut être une fraction ou un nombre décimal. On garde alors l'écriture fractionnaire simplifiée.
Exemple
Résoudre 4x + 1 = 7.
4x = 7 − 1
4x = 6
x = 6/4 = 3/2 (= 1,5).
Vérification : 4 × 1,5 + 1 = 6 + 1 = 7. La solution est 3/2.
6. Retour au marché de Madina
On résout 20 000 + 6 000x = 38 000 :
6 000x = 38 000 - 20 000, soit 6 000x = 18 000, donc x = 18 0006 000 = 3.
Sékou a acheté 3 boîtes. Vérification : 20 000 + 3 × 6 000 = 38 000 GNF dépensés, et 50 000 - 38 000 = 12 000 GNF restants. C'est bien ce qu'il avait.
7. Résumé des transformations
| Je vois dans le premier membre | Je fais aux deux membres | Exemple |
|---|---|---|
| + 5 | je retranche 5 | x + 5 = 8 ⇒ x = 3 |
| - 5 | j'ajoute 5 | x - 5 = 8 ⇒ x = 13 |
| × 4 (soit 4x) | je divise par 4 | 4x = 8 ⇒ x = 2 |
| ÷ 4 (soit x4) | je multiplie par 4 | x4 = 8 ⇒ x = 32 |
3Je retiens
Je retiens
Une équation est une égalité contenant une inconnue ; une solution est une valeur qui rend l'égalité vraie.
Pour tester un nombre : je remplace l'inconnue, je calcule chaque membre séparément et je compare.
Règle 1 : on peut ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres (un terme change de membre en changeant de signe).
Règle 2 : on peut multiplier ou diviser les deux membres par le même nombre non nul.
But : arriver à ax = b, puis x = b/a.
Je vérifie toujours ma solution dans l'équation de départ.
4Erreurs fréquentes
- Changer un terme de membre sans changer son signe : de x + 6 = 10 on tire x = 10 − 6 = 4, et non x = 16.
- Retrancher au lieu de diviser : de 3x = 12 on tire x = 12 ÷ 3 = 4, et non x = 12 − 3 = 9.
- Diviser dans le mauvais sens : de 5x = 2 on tire x = 2/5, et non x = 5/2.
- Oublier de développer : dans 2(x + 3) = 14, on écrit d'abord 2x + 6 = 14, et non 2x + 3 = 14.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Le nombre -2 est-il solution de l'équation 4x + 11 = 3 ? Et le nombre 3 est-il solution de x2 - 1 = 2x + 2 ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Pour x = -2 : 4 × (-2) + 11 = -8 + 11 = 3. Le second membre vaut 3. Les deux membres sont égaux : -2 est solution de 4x + 11 = 3.
Pour x = 3 : premier membre 32 - 1 = 9 - 1 = 8 ; second membre 2 × 3 + 2 = 8. Égaux : 3 est solution de x2 - 1 = 2x + 2.
2Exercice 2
Résous les équations suivantes.
a) x + 9 = 4 b) x - 6 = -2 c) 7x = 42 d) x3 = 5
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x = 4 - 9 = -5. b) x = -2 + 6 = 4. c) x = 427 = 6. d) x = 5 × 3 = 15.
3Exercice 3
Résous.
a) 3x + 5 = 20 b) 6 - 2x = 14 c) 5x - 4 = 2x + 11
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a) 3x = 20 - 5 = 15, donc x = 5. Vérification : 3 × 5 + 5 = 20.
b) -2x = 14 - 6 = 8, donc x = 8-2 = -4. Vérification : 6 - 2 × (-4) = 6 + 8 = 14.
c) 5x - 2x = 11 + 4, soit 3x = 15, donc x = 5. Vérification : 5 × 5 - 4 = 21 et 2 × 5 + 11 = 21.
4Exercice 4
Résous en développant d'abord.
a) 4(x + 1) = 2x + 10 b) 2(3x - 1) - (x + 4) = 9
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a) 4x + 4 = 2x + 10 ; 4x - 2x = 10 - 4 ; 2x = 6 ; x = 3. Vérification : 4 × 4 = 16 et 2 × 3 + 10 = 16.
b) 6x - 2 - x - 4 = 9 ; 5x - 6 = 9 ; 5x = 15 ; x = 3. Vérification : 2 × (9 - 1) - (3 + 4) = 16 - 7 = 9.
5Exercice 5
Résous 6x + 5 = 2x + 7 et donne la solution sous forme de fraction simplifiée.
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6x - 2x = 7 - 5, soit 4x = 2, donc x = 24 = 12.
Vérification : 6 × 12 + 5 = 3 + 5 = 8 et 2 × 12 + 7 = 1 + 7 = 8. La solution est 12.
6Exercice 6
(Problème) Kadiatou pense à un nombre. Elle le multiplie par 4, puis retranche 7 au résultat. Elle obtient le même résultat que si elle avait ajouté 11 au nombre de départ. Écris une équation et trouve le nombre de Kadiatou.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit x le nombre de Kadiatou. Premier calcul : 4x - 7. Second calcul : x + 11. L'équation est 4x - 7 = x + 11.
4x - x = 11 + 7 ; 3x = 18 ; x = 6.
Vérification : 4 × 6 - 7 = 17 et 6 + 11 = 17. Le nombre de Kadiatou est 6.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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