Karamö, le prof virtuelLeçon 14 sur 33
Mettre un problème en équation
Je sais traduire un problème de la vie courante par une équation, la résoudre et répondre à la question posée par une phrase.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Choisir l'inconnue et l'écrire clairement
- Traduire les informations de l'énoncé par des expressions puis par une équation
- Résoudre l'équation et vérifier la solution dans l'énoncé
- Rédiger une réponse complète avec l'unité
Avant de commencer : Les expressions littérales et la résolution des équations du premier degré.
1Je découvre
Aïssatou fête son anniversaire à Mamou. Son oncle Alpha lui pose une devinette : « Ta maman a 28 ans de plus que toi. Si j'additionne ton âge et celui de ta maman, je trouve 52 ans. Quel âge as-tu ? »
Aïssatou connaît évidemment son âge, mais son petit cousin Ousmane, lui, ne le connaît pas. Il essaie : « 10 ans ? Alors la maman a 38 ans, et 10 + 38 = 48. Trop petit. 15 ans ? La maman a 43 ans, et 15 + 43 = 58. Trop grand. » Il continue à tâtonner.
Tâtonner marche parfois, mais c'est long, et c'est impossible quand la réponse est un nombre à virgule ou un très grand nombre. Dans la leçon précédente, tu as appris à résoudre une équation. Il reste à savoir fabriquer cette équation à partir d'un texte.
Comment transformer un problème écrit en une équation, puis en une réponse sûre ?
2Je comprends
1. Les quatre étapes d'une mise en équation
Toute mise en équation suit le même chemin. Apprends-le : il sert de la 8e jusqu'au BAC.
- 1Choix de l'inconnue : je lis l'énoncé et j'écris « Soit x … » (ce que l'on cherche, avec l'unité).
- 2Mise en équation : j'exprime les autres quantités en fonction de x, puis j'écris l'égalité donnée par l'énoncé.
- 3Résolution : je résous l'équation obtenue.
- 4Vérification et réponse : je vérifie avec les données de l'énoncé et je réponds par une phrase.
2. Choisir l'inconnue
L'inconnue est presque toujours ce que demande la question. On l'écrit avec précision : « Soit x l'âge d'Aïssatou, en années » est mieux que « Soit x l'âge ». Quand il y a deux quantités inconnues liées entre elles, on choisit pour x la plus petite ou celle qui sert de référence : l'autre s'exprime alors facilement.
3. Traduire le français en langage mathématique
Voici un petit dictionnaire, à connaître :
| En français | En mathématiques |
|---|---|
| 5 de plus que x ; augmenté de 5 | x + 5 |
| 5 de moins que x ; diminué de 5 | x - 5 |
| le double de x ; le triple | 2x ; 3x |
| la moitié de x ; le tiers | x2 ; x3 |
| trois nombres entiers consécutifs | x, x + 1, x + 2 |
| dans 4 ans ; il y a 4 ans | x + 4 ; x - 4 |
| la somme de x et de y ; leur produit | x + y ; xy |
Le mot « est égal à », « vaut », « coûte », « on obtient » donne souvent le signe = de l'équation.
Méthode
Pour mettre un problème en équation :
- Je souligne la question et j'écris : « Soit x … » avec l'unité.
- J'écris chaque autre quantité inconnue à l'aide de x (une ligne par quantité).
- Je cherche dans l'énoncé la phrase qui donne une égalité et je l'écris avec mes expressions.
- Je résous l'équation.
- Je vérifie que la solution a un sens (un nombre de personnes est entier et positif, une longueur est positive…) et qu'elle respecte l'énoncé.
- Je rédige la réponse par une phrase, avec l'unité.
4. Des exemples entièrement rédigés
Exemple
Retour à la devinette d'Aïssatou.
Choix de l'inconnue : soit x l'âge d'Aïssatou, en années.
Mise en équation : l'âge de sa maman est x + 28. La somme des âges est 52 : x + (x + 28) = 52.
Résolution : 2x + 28 = 52 ; 2x = 24 ; x = 12.
Vérification : Aïssatou a 12 ans, sa maman 12 + 28 = 40 ans, et 12 + 40 = 52. Juste.
Réponse : Aïssatou a 12 ans et sa maman a 40 ans.
Exemple
Un voyage en taxi-brousse (prix inventés pour l'exercice).
Une famille voyage de Mamou à Labé : 3 adultes et 2 enfants. Le billet d'un enfant coûte 20 000 GNF de moins que celui d'un adulte. La famille paie 190 000 GNF en tout. Quel est le prix d'un billet adulte ?
Soit x le prix d'un billet adulte, en GNF. Un billet enfant coûte x − 20 000.
Équation : 3x + 2(x − 20 000) = 190 000.
Résolution : 3x + 2x − 40 000 = 190 000 ; 5x = 230 000 ; x = 46 000.
Vérification : un billet enfant coûte 26 000 GNF ; 3 × 46 000 + 2 × 26 000 = 138 000 + 52 000 = 190 000. Juste.
Réponse : le billet adulte coûte 46 000 GNF et le billet enfant 26 000 GNF.
Exemple
Un champ rectangulaire.
Dans un village de Faranah, un champ rectangulaire a une longueur égale au double de sa largeur. Son périmètre est 84 m. Quelles sont ses dimensions ?
Soit x la largeur du champ, en mètres. La longueur est 2x.
Le périmètre d'un rectangle vaut 2 × (longueur + largeur) : 2(2x + x) = 84.
Résolution : 2 × 3x = 84 ; 6x = 84 ; x = 14.
Vérification : largeur 14 m, longueur 28 m ; 2 × (28 + 14) = 2 × 42 = 84. Juste.
Réponse : le champ mesure 28 m de long et 14 m de large.
5. Un problème de rencontre de deux quantités
Certains problèmes demandent quand deux quantités deviennent égales. On exprime chacune en fonction du temps, puis on écrit qu'elles sont égales.
Exemple
Fanta a 45 000 GNF d'économies et ajoute 5 000 GNF chaque semaine. Lansana a 105 000 GNF et dépense 5 000 GNF chaque semaine. Dans combien de semaines auront-ils la même somme ?
Soit x le nombre de semaines.
Somme de Fanta : 45 000 + 5 000x. Somme de Lansana : 105 000 − 5 000x.
Équation : 45 000 + 5 000x = 105 000 − 5 000x.
Résolution : 5 000x + 5 000x = 105 000 − 45 000 ; 10 000x = 60 000 ; x = 6.
Vérification : Fanta 45 000 + 30 000 = 75 000 ; Lansana 105 000 − 30 000 = 75 000. Juste.
Réponse : dans 6 semaines, ils auront chacun 75 000 GNF.
6. Pourquoi vérifier dans l'énoncé ?
On vérifie dans l'énoncé, et pas seulement dans l'équation : si l'équation est mal écrite, sa solution sera juste pour l'équation mais fausse pour le problème. De plus, une solution comme x = 7,5 élèves ou x = -3 mètres montre qu'il y a une erreur de mise en équation, ou que le problème n'a pas de solution.
3Je retiens
Je retiens
Quatre étapes : choix de l'inconnue, mise en équation, résolution, vérification et réponse.
L'inconnue est en général ce que demande la question ; on précise son unité : « Soit x … ».
On exprime toutes les autres quantités en fonction de x (double : 2x ; 5 de plus : x + 5 ; consécutifs : x, x + 1, x + 2).
La phrase qui contient « est égal à », « vaut », « coûte », « on obtient » donne l'équation.
On vérifie avec les données de l'énoncé et on vérifie que la solution a un sens.
On termine toujours par une phrase réponse avec l'unité.
4Erreurs fréquentes
- Ne pas dire ce que représente x : on se perd ensuite et on répond à la mauvaise question. Écris toujours « Soit x … ».
- Mal traduire « de moins » : « 20 000 de moins que x » s'écrit x − 20 000, et non 20 000 − x.
- Oublier les parenthèses : « 2 enfants à x − 20 000 chacun » s'écrit 2(x − 20 000), et non 2x − 20 000.
- S'arrêter à « x = 12 » : il faut répondre à la question par une phrase (et parfois calculer une deuxième quantité).
5Je m’exerce
1Exercice 1
La somme de trois nombres entiers consécutifs est 87. Quels sont ces nombres ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
Soit x le plus petit des trois nombres. Les suivants sont x + 1 et x + 2.
Équation : x + (x + 1) + (x + 2) = 87, soit 3x + 3 = 87 ; 3x = 84 ; x = 28.
Vérification : 28 + 29 + 30 = 87. Les nombres sont 28, 29 et 30.
2Exercice 2
Lansana a récolté trois fois plus de mangues qu'Ousmane. À eux deux, ils ont 64 mangues. Combien de mangues chacun a-t-il récoltées ?
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Soit x le nombre de mangues d'Ousmane. Lansana en a 3x.
Équation : x + 3x = 64 ; 4x = 64 ; x = 16.
Vérification : 16 + 48 = 64 et 48 = 3 × 16. Ousmane a récolté 16 mangues et Lansana 48.
3Exercice 3
À la librairie, un cahier coûte 3 000 GNF de plus qu'un stylo. Mariama achète 4 cahiers et 5 stylos et paie 39 000 GNF. Trouve le prix d'un stylo et celui d'un cahier.
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Soit x le prix d'un stylo, en GNF. Un cahier coûte x + 3 000.
Équation : 4(x + 3 000) + 5x = 39 000 ; 4x + 12 000 + 5x = 39 000 ; 9x = 27 000 ; x = 3 000.
Vérification : un cahier coûte 6 000 GNF ; 4 × 6 000 + 5 × 3 000 = 24 000 + 15 000 = 39 000.
Un stylo coûte 3 000 GNF et un cahier 6 000 GNF.
4Exercice 4
Un père a 45 ans et son fils 13 ans. Dans combien d'années l'âge du père sera-t-il le triple de celui du fils ?
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Soit x le nombre d'années. Dans x ans, le père aura 45 + x ans et le fils 13 + x ans.
Équation : 45 + x = 3(13 + x) ; 45 + x = 39 + 3x ; 45 - 39 = 3x - x ; 6 = 2x ; x = 3.
Vérification : dans 3 ans, le père aura 48 ans et le fils 16 ans ; 3 × 16 = 48. C'est dans 3 ans.
5Exercice 5
(Type BEPC) Un triangle isocèle a un périmètre de 50 cm. Sa base mesure 7 cm de moins que chacun des deux côtés égaux.
a) On appelle x la longueur d'un côté égal, en cm. Exprime la base en fonction de x.
b) Écris une équation traduisant le périmètre.
c) Résous-la et donne les longueurs des trois côtés.
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a) La base mesure x - 7 cm.
b) Le périmètre est la somme des trois côtés : x + x + (x - 7) = 50.
c) 3x - 7 = 50 ; 3x = 57 ; x = 19.
Les côtés égaux mesurent 19 cm et la base 19 - 7 = 12 cm. Vérification : 19 + 19 + 12 = 50 cm.
6Exercice 6
Une coopérative de femmes de Boké vend du savon artisanal. Le lundi, elle vend x morceaux. Le mardi, elle en vend 12 de plus que le lundi, et le mercredi le double du lundi. En trois jours, elle a vendu 132 morceaux. Combien en a-t-elle vendu chaque jour ?
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Lundi : x ; mardi : x + 12 ; mercredi : 2x.
Équation : x + (x + 12) + 2x = 132 ; 4x + 12 = 132 ; 4x = 120 ; x = 30.
Vérification : 30 + 42 + 60 = 132.
La coopérative a vendu 30 morceaux le lundi, 42 le mardi et 60 le mercredi.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
