Karamö, le prof virtuelLeçon 15 sur 33
Proportionnalité et pourcentages
Je sais reconnaître une situation de proportionnalité, calculer une quatrième proportionnelle et utiliser les pourcentages (prendre un pourcentage, augmenter, réduire).
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître un tableau de proportionnalité et trouver son coefficient
- Calculer une quatrième proportionnelle avec le passage à l'unité ou le produit en croix
- Calculer un pourcentage d'une quantité et exprimer une proportion en pourcentage
- Calculer une augmentation ou une réduction en pourcentage
Avant de commencer : Les fractions, le produit d'une fraction par un nombre, les nombres décimaux.
1Je découvre
Au marché de Kindia, Hawa vend du riz local au détail. Dans cet exemple, le prix est fixé à 12 000 GNF le kilogramme. Sa cliente Fatoumata en prend 3 kg, un autre client 5 kg, un restaurant 8 kg. Hawa calcule vite : plus on prend de riz, plus on paie, et toujours « au même tarif ».
Le lendemain, un grossiste lui propose : « Pour les fêtes, je fais une réduction de 15 % sur un sac de 50 kg. » Hawa hésite : 15 %, est-ce beaucoup ? Combien va-t-elle économiser exactement ?
Ces deux situations utilisent la même idée : la proportionnalité. Le pourcentage n'est qu'une façon pratique de parler de proportionnalité « pour 100 ».
Comment reconnaître une situation de proportionnalité, et comment calculer avec des pourcentages ?
2Je comprends
1. Deux grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on obtient les valeurs de l'une en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
| Masse de riz (kg) | 1 | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 12 000 | 36 000 | 60 000 | 96 000 |
On passe de la première ligne à la deuxième en multipliant par 12 000 : c'est le coefficient. On a aussi 36 0003 = 60 0005 = 96 0008 = 12 000 : tous les quotients sont égaux.
Pour savoir si un tableau est de proportionnalité, on calcule le quotient (deuxième ligne ÷ première ligne) pour chaque colonne : s'ils sont tous égaux, le tableau est de proportionnalité.
Exemple
Ce tableau est-il de proportionnalité ?
Âge d'un enfant (ans) : 2 ; 4 ; 6
Taille (cm) : 86 ; 102 ; 115
86 ÷ 2 = 43 ; 102 ÷ 4 = 25,5. Les quotients sont différents : ce n'est pas un tableau de proportionnalité. (La taille augmente avec l'âge, mais pas proportionnellement !)
2. La représentation graphique
Si deux grandeurs sont proportionnelles, les points qui les représentent dans un repère sont alignés avec l'origine du repère.
3. Calculer une quatrième proportionnelle
Quand on connaît trois nombres d'un tableau de proportionnalité, on peut calculer le quatrième.
Méthode 1 : le passage à l'unité. On calcule d'abord la valeur pour 1, puis on multiplie.
Méthode 2 : le produit en croix. Dans un tableau de proportionnalité beginarrayc|c a & c
b & d endarray, on a a × d = b × c. Donc d = b × ca.
Méthode
Pour calculer une quatrième proportionnelle par le produit en croix :
- Je vérifie que la situation est bien de proportionnalité.
- Je place les trois valeurs connues et l'inconnue x dans un tableau à deux lignes et deux colonnes.
- Je multiplie les deux nombres de la diagonale complète.
- Je divise par le troisième nombre (celui qui est en face de x).
- Je vérifie que le résultat est vraisemblable et je réponds avec l'unité.
Exemple
4 m de tissu coûtent 60 000 GNF. Combien coûtent 7 m du même tissu ?
Passage à l'unité : 1 m coûte 60 000 ÷ 4 = 15 000 GNF, donc 7 m coûtent 7 × 15 000 = 105 000 GNF.
Produit en croix :
Longueur (m) : 4 ; 7
Prix (GNF) : 60 000 ; x
x = (7 × 60 000) ÷ 4 = 420 000 ÷ 4 = 105 000.
Les 7 m coûtent 105 000 GNF.
4. Les pourcentages
Un pourcentage est une proportion exprimée « pour 100 ». Dire que « 15 % des élèves portent des lunettes » signifie que, sur 100 élèves, 15 en portent. On écrit : 15 \% = 15100 = 0,15.
Prendre t \% d'une quantité a, c'est calculer t100 × a.
Exprimer une partie en pourcentage : si une partie vaut p sur un total n, le pourcentage est pn × 100.
Exemple
a) Calculer 15 % de 240.
15 % de 240 = (15/100) × 240 = 0,15 × 240 = 36.
b) Dans une classe de 40 élèves de Siguiri, il y a 18 filles. Quel est le pourcentage de filles ?
(18/40) × 100 = 0,45 × 100 = 45. Il y a 45 % de filles.
5. Augmenter ou réduire d'un pourcentage
- Une réduction de t \% : on retire t \% du prix. Nouveau prix = prix - t100 × prix = (1 - t100) × prix.
- Une augmentation de t \% : on ajoute t \%. Nouveau prix = (1 + t100) × prix.
| Variation | On multiplie par |
|---|---|
| réduction de 20 % | 1 - 0,20 = 0,8 |
| réduction de 15 % | 0,85 |
| augmentation de 10 % | 1 + 0,10 = 1,1 |
| augmentation de 25 % | 1,25 |
Exemple
Une paire de sandales coûte 35 000 GNF. Le vendeur fait une réduction de 20 %.
Montant de la réduction : 0,20 × 35 000 = 7 000 GNF.
Nouveau prix : 35 000 − 7 000 = 28 000 GNF.
Plus vite : 35 000 × 0,8 = 28 000 GNF.
Exemple
Un ticket de transport passe de 8 000 GNF à un prix augmenté de 10 %.
Augmentation : 0,10 × 8 000 = 800 GNF. Nouveau prix : 8 000 + 800 = 8 800 GNF.
Vérification : 8 000 × 1,1 = 8 800 GNF.
6. Retour au grossiste de Hawa
Si le sac de 50 kg coûte, par exemple, 500 000 GNF, la réduction de 15 % vaut 0,15 × 500 000 = 75 000 GNF : Hawa paie 500 000 - 75 000 = 425 000 GNF, soit 500 000 × 0,85 = 425 000 GNF.
3Je retiens
Je retiens
Deux grandeurs sont proportionnelles si on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre (le coefficient).
Dans un tableau de proportionnalité, tous les quotients sont égaux ; le graphique est une droite passant par l'origine.
Produit en croix : si a/b = c/d, alors a × d = b × c.
t % = t/100 ; t % de a = (t/100) × a.
Pourcentage d'une partie p sur un total n : (p/n) × 100.
Réduction de t % : on multiplie par (1 − t/100) ; augmentation de t % : on multiplie par (1 + t/100).
4Erreurs fréquentes
- Croire que « quand l'un augmente, l'autre augmente » suffit pour la proportionnalité : il faut que le quotient reste le même (exemple de la taille et de l'âge).
- Se tromper de nombre au dénominateur dans le produit en croix : on divise par le nombre qui est en face de l'inconnue, dans la même ligne ou la même colonne.
- Confondre le montant de la réduction et le nouveau prix : 20 % de réduction sur 35 000 GNF, c'est 7 000 GNF de moins, et on paie 28 000 GNF.
- Croire qu'une hausse de 15 % puis une baisse de 15 % ramènent au prix de départ : ce n'est pas vrai (voir exercice 5).
5Je m’exerce
1Exercice 1
Dans cet exercice, une orange coûte 500 GNF. Recopie et complète le tableau.
| Nombre d'oranges | 1 | 4 | 10 | … |
|---|---|---|---|---|
| Prix (GNF) | 500 | … | … | 7 500 |
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Le coefficient est 500. 4 × 500 = 2 000 ; 10 × 500 = 5 000 ; 7 500 ÷ 500 = 15.
Le tableau complet : 1 ; 4 ; 10 ; 15 oranges pour 500 ; 2 000 ; 5 000 ; 7 500 GNF.
2Exercice 2
Ces tableaux sont-ils de proportionnalité ? Justifie.
a) 3 ; 5 ; 8 → 12 ; 20 ; 32
b) 2 ; 6 ; 9 → 7 ; 21 ; 30
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a) 12 ÷ 3 = 4 ; 20 ÷ 5 = 4 ; 32 ÷ 8 = 4. Tous les quotients valent 4 : c'est un tableau de proportionnalité, de coefficient 4.
b) 7 ÷ 2 = 3,5 ; 21 ÷ 6 = 3,5 ; 30 ÷ 9 ≈ 3,33. Les quotients ne sont pas tous égaux : ce n'est pas un tableau de proportionnalité.
3Exercice 3
Pour préparer un plat de fonio pour 8 personnes, Kadiatou utilise 2 kg de fonio. Quelle masse faut-il pour 14 personnes ?
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La masse de fonio est proportionnelle au nombre de personnes.
Produit en croix : x = 14 × 28 = 288 = 3,5.
Il faut 3,5 kg de fonio pour 14 personnes.
4Exercice 4
a) Calcule 25 % de 120 000 GNF.
b) À un examen blanc, 30 élèves sur 48 ont réussi. Quel est le pourcentage de réussite ?
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a) 25100 × 120 000 = 0,25 × 120 000 = 30 000 GNF.
b) 3048 × 100 = 0,625 × 100 = 62,5. Le pourcentage de réussite est 62,5 %.
5Exercice 5
(Type BEPC) Un poste de radio coûte 40 000 GNF.
a) Pendant les soldes, son prix baisse de 15 %. Calcule le nouveau prix.
b) Après les soldes, le nouveau prix augmente de 15 %. Calcule le prix final.
c) Le prix final est-il égal au prix de départ ? Explique.
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a) Baisse : 0,15 × 40 000 = 6 000 GNF. Nouveau prix : 40 000 - 6 000 = 34 000 GNF (ou 40 000 × 0,85 = 34 000).
b) Hausse : 0,15 × 34 000 = 5 100 GNF. Prix final : 34 000 + 5 100 = 39 100 GNF (ou 34 000 × 1,15 = 39 100).
c) Non : 39 100 ≠ 40 000. La baisse porte sur 40 000 GNF, mais la hausse porte sur 34 000 GNF, un montant plus petit : on ne rajoute pas autant qu'on a retiré.
6Exercice 6
Une coopérative de Kankan récolte 2 500 kg de riz paddy. Pendant le séchage et le transport, 8 % de la récolte est perdue. Quelle masse de riz reste-t-il ?
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Perte : 0,08 × 2 500 = 200 kg. Il reste 2 500 - 200 = 2 300 kg de riz (ou 2 500 × 0,92 = 2 300 kg).
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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Toutes les leçons de Mathématiques · 8e
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