Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 28
Les puissances entières d'un nombre relatif
Je sais calculer une puissance d'exposant positif, nul ou négatif, trouver son signe et utiliser les règles de calcul sur les puissances.
- 55 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir et calculer aⁿ, a⁰ et a⁻ⁿ
- Trouver le signe d'une puissance d'un nombre négatif
- Appliquer les règles : produit, quotient, puissance d'une puissance, puissance d'un produit et d'un quotient
- Calculer avec les puissances de 10
- Respecter les priorités, en distinguant −3² et (−3)²
Avant de commencer : La multiplication et la division des nombres relatifs, l'inverse d'un nombre.
1Je découvre
Dans un village de la région de Boké, Sékou lance une chaîne d'information pour annoncer une campagne de vaccination. Le premier jour, il prévient 3 familles. Le deuxième jour, chacune de ces familles en prévient 3 autres, et ainsi de suite.
Le premier jour, 3 familles sont prévenues ; le deuxième, 3 × 3 = 9 ; le troisième, 3 × 3 × 3 = 27. Au dixième jour, il faudrait écrire dix fois « 3 » à la suite : c'est long et on risque de se tromper.
Sa sœur Kadiatou lui montre une écriture plus courte : 310. Elle ajoute que cette écriture permet aussi d'écrire des nombres très petits, comme l'épaisseur d'une feuille ou la taille d'un microbe.
Comment écrire et calculer des produits de facteurs égaux, et quelles règles permettent de calculer vite avec ces écritures ?
2Je comprends
1. Puissance d'exposant entier positif
Soit a un nombre relatif et n un entier supérieur ou égal à 1. On appelle puissance n-ième de a le produit de n facteurs tous égaux à a :
an = underbracea × a × … × an facteurs.
a est la base et n est l'exposant. On lit « a exposant n » ou « a puissance n ». a2 se lit aussi « a au carré » et a3 « a au cube ». Par convention, a1 = a.
Exemples : 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 ; (-4)3 = (-4) × (-4) × (-4) = -64.
2. Exposant nul et exposant négatif
Pour tout nombre a non nul :
- a0 = 1 ;
- a-n = 1an : a-n est l'inverse de an.
Exemples : 70 = 1 ; (-5)0 = 1 ; 2-3 = 123 = 18 ; (-3)-2 = 1(-3)2 = 19.
Pourquoi ? Observe : 23 = 8, 22 = 4, 21 = 2. Chaque fois que l'exposant baisse de 1, on divise par 2. En continuant : 20 = 1, 2-1 = 12, 2-2 = 14…
3. Le signe d'une puissance
- Si a > 0, alors an > 0 pour tout n.
- Si a < 0 :
- avec un exposant pair, an est positif : (-2)4 = 16 ;
- avec un exposant impair, an est négatif : (-2)5 = -32.
C'est la règle des signes de la leçon sur la multiplication : un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif.
Attention à la place des parenthèses. L'exposant ne s'applique qu'à ce qui est juste devant lui :
- (-3)2 = (-3) × (-3) = 9 ;
- -32 = -(3 × 3) = -9.
4. Les règles de calcul
Pour a et b non nuls et m, n entiers relatifs :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de puissances de même base | am × an = am+n | 53 × 54 = 57 |
| Quotient de puissances de même base | aman = am-n | 7873 = 75 |
| Puissance d'une puissance | (am)n = am × n | (23)4 = 212 |
| Puissance d'un produit | (a × b)n = an × bn | (3x)2 = 9x2 |
| Puissance d'un quotient | (ab)n = anbn | (25)3 = 8125 |
Justification de la première : 53 × 54 = (5 × 5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5), soit 7 facteurs égaux à 5.
Il n'existe pas de règle pour une somme : 23 + 24 = 8 + 16 = 24, alors que 27 = 128.
Méthode
Pour simplifier une expression avec des puissances :
- Je regroupe les puissances de même base.
- J'applique les règles : j'additionne les exposants pour un produit, je les soustrais pour un quotient, je les multiplie pour une puissance de puissance.
- Je fais attention aux exposants négatifs (soustraire un négatif, c'est ajouter).
- Je calcule la valeur si on la demande, en trouvant d'abord le signe.
Exemple
Écrire sous la forme d'une seule puissance : A = 3⁵ × 3⁻² × 3⁴ et B = (−2)⁷ / (−2)³.
A = 3^(5 + (−2) + 4) = 3⁷.
B = (−2)^(7 − 3) = (−2)⁴ = 16 (exposant pair, donc positif).
Exemple
Simplifier C = (a²)³ × a⁻⁴ / a, pour a non nul.
(a²)³ = a⁶ ; a⁶ × a⁻⁴ = a² ; a² / a¹ = a^(2 − 1) = a¹ = a.
Donc C = a.
5. Les puissances de 10
Pour tout entier n ≥ 1 :
- 10n = 1underbrace0…0n zéros : 106 = 1 000 000 (un million) ;
- 10-n = 0,underbrace0…0n-1 zéros1 : 10-3 = 0,001 (un millième) ;
- 100 = 1.
Multiplier un nombre par 10n déplace la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10-n la déplace de n rangs vers la gauche.
Exemple
Calculer D = 10⁵ × 10⁻⁸ / 10⁻² et E = 3,7 × 10⁴.
D = 10^(5 − 8 − (−2)) = 10^(5 − 8 + 2) = 10⁻¹ = 0,1.
E = 3,7 × 10 000 = 37 000 (la virgule avance de 4 rangs).
Ces écritures préparent la leçon suivante, sur l'écriture scientifique.
6. Priorités opératoires avec les puissances
On calcule dans l'ordre : parenthèses, puissances, multiplications et divisions, additions et soustractions.
Exemple
Calculer F = 5 − 2 × (−3)² + (−1)³.
Puissances : (−3)² = 9 et (−1)³ = −1.
Multiplication : 2 × 9 = 18.
F = 5 − 18 − 1 = −14.
Retour à Sékou : au dixième jour, 310 = 35 × 35 = 243 × 243 = 59 049 familles seraient prévenues. C'est bien plus que le nombre de familles d'un village : une telle chaîne s'arrête d'elle-même, faute de nouvelles familles à prévenir.
3Je retiens
Je retiens
aⁿ = a × a × … × a (n facteurs) ; a¹ = a ; a⁰ = 1 (a ≠ 0) ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
Base négative : exposant pair → positif ; exposant impair → négatif.
(−3)² = 9 mais −3² = −9.
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ ; (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ.
Pas de règle pour une somme : aᵐ + aⁿ ≠ aᵐ⁺ⁿ.
10ⁿ : 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ : n-ième chiffre après la virgule égal à 1.
Priorités : parenthèses, puissances, × et ÷, puis + et −.
4Erreurs fréquentes
- Multiplier la base par l'exposant : 2⁵ n'est pas 2 × 5 = 10, c'est 32.
- Croire qu'un exposant négatif rend le nombre négatif : 2⁻³ = 1/8, qui est positif.
- Confondre −4² = −16 et (−4)² = 16.
- Multiplier les exposants dans un produit : 3² × 3⁴ = 3⁶ (on additionne), pas 3⁸. On ne multiplie les exposants que pour (3²)⁴ = 3⁸.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule.
a) 43 b) (-2)6 c) (-5)3 d) -24 e) 90 f) 5-2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 43 = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Exposant pair : (-2)6 = 64.
c) Exposant impair : (-5)3 = -125.
d) -24 = -(24) = -16.
e) 90 = 1.
f) 5-2 = 152 = 125.
2Exercice 2
Donne le signe de chaque nombre sans le calculer : (-7)12 ; (-1,3)9 ; -64 ; (-2)-3.
Voir le corrigéCacher le corrigé
(-7)12 : base négative, exposant pair : positif.
(-1,3)9 : base négative, exposant impair : négatif.
-64 = -(64) : négatif.
(-2)-3 = 1(-2)3 = 1-8 : négatif.
3Exercice 3
Écris sous la forme d'une seule puissance.
a) 64 × 65 b) 210213 c) (7-2)3 d) 10-4 × 109 × 10 e) 43 × 53
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 64+5 = 69. b) 210-13 = 2-3. c) 7-2 × 3 = 7-6. d) 10-4+9+1 = 106. e) (4 × 5)3 = 203.
4Exercice 4
Calcule en respectant les priorités.
a) G = 3 × 23 - 42
b) H = (-2)3 + (-3)2 × 2 - 15
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a) 23 = 8 et 42 = 16. G = 3 × 8 - 16 = 24 - 16 = 8.
b) (-2)3 = -8 ; (-3)2 = 9 ; 15 = 1. H = -8 + 9 × 2 - 1 = -8 + 18 - 1 = 9.
5Exercice 5
(Type examen) On donne K = 25 × 34 × 2-332 × 2-1.
a) Écris K sous la forme 2p × 3q, où p et q sont des entiers.
b) Calcule K.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Puissances de 2 : 25 + (-3) - (-1) = 25 - 3 + 1 = 23. Puissances de 3 : 34-2 = 32. Donc K = 23 × 32.
b) K = 8 × 9 = 72.
6Exercice 6
(Problème) Une culture de bactéries étudiée dans un laboratoire d'analyses double toutes les heures. Au départ, il y a 500 bactéries.
a) Combien y en a-t-il après 1 h, 2 h, 3 h ?
b) Exprime le nombre de bactéries après n heures à l'aide d'une puissance.
c) Calcule ce nombre après 8 heures.
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a) Après 1 h : 500 × 2 = 1 000 ; après 2 h : 2 000 ; après 3 h : 4 000.
b) Après n heures : 500 × 2n bactéries.
c) 28 = 256, donc 500 × 256 = 128 000 bactéries.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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