Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 28
L'écriture scientifique d'un nombre
Je sais écrire un très grand ou un très petit nombre en écriture scientifique, calculer avec cette écriture et donner un ordre de grandeur.
- 50 min
- 6 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître et écrire un nombre sous la forme a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10
- Passer de l'écriture décimale à l'écriture scientifique et inversement
- Calculer un produit ou un quotient en écriture scientifique
- Comparer des nombres et donner un ordre de grandeur
Avant de commencer : Les puissances entières d'un nombre relatif, en particulier les puissances de 10 et les règles de calcul (leçon précédente).
1Je découvre
Pour un exposé sur la Guinée, Aïssatou et Mamadou relèvent quelques nombres dans leurs livres de géographie et de sciences :
- la superficie de la Guinée : 245 857 km² ;
- la distance moyenne de la Terre au Soleil : environ 150 000 000 km ;
- la taille d'un globule rouge : environ 0,000 007 m.
Au tableau, Mamadou oublie un zéro dans la distance Terre-Soleil, et personne ne s'en rend compte : avec autant de zéros, on se trompe facilement. Pour le globule rouge, c'est pire : les zéros après la virgule sont difficiles à compter.
Le professeur leur explique que les scientifiques du monde entier utilisent une écriture courte, qui montre d'un coup d'œil si un nombre est très grand ou très petit : 1,5 × 108 km pour la distance Terre-Soleil, 7 × 10-6 m pour le globule rouge.
Comment écrire et calculer avec ces nombres de façon courte, précise et sans erreur de zéros ?
2Je comprends
1. Définition
L'écriture scientifique d'un nombre décimal positif est son écriture sous la forme :
a × 10n, où 1 ≤ a < 10 et n est un entier relatif.
Le nombre a a donc un seul chiffre non nul avant la virgule. Pour un nombre négatif, on place le signe devant : -3,2 × 104.
| Écriture | Scientifique ? | Pourquoi |
|---|---|---|
| 4,7 × 105 | oui | 1 ≤ 4,7 < 10 |
| 47 × 104 | non | 47 ≥ 10 |
| 0,47 × 106 | non | 0,47 < 1 |
| 1 × 10-3 | oui | a = 1 est permis |
2. Des grands nombres à l'écriture scientifique
Pour un nombre supérieur ou égal à 10, on déplace la virgule vers la gauche jusqu'à n'avoir qu'un chiffre avant elle. Le nombre de rangs de ce déplacement donne l'exposant, positif.
245 857 = 2,458 57 × 105 (la virgule a reculé de 5 rangs).
Vérification : 2,458 57 × 105 = 2,458 57 × 100 000 = 245 857.
3. Des petits nombres à l'écriture scientifique
Pour un nombre compris entre 0 et 1, on déplace la virgule vers la droite jusqu'au premier chiffre non nul. L'exposant est négatif.
0,000 007 = 7 × 10-6 (la virgule a avancé de 6 rangs).
0,000 38 = 3,8 × 10-4.
- 1Placer la virgule juste après le premier chiffre non nul : on obtient a
- 2Compter de combien de rangs la virgule s'est déplacée : c'est n
- 3Virgule déplacée vers la gauche (grand nombre) : n positif
- 4Virgule déplacée vers la droite (petit nombre) : n négatif
- 5Écrire a × 10ⁿ et vérifier que 1 ≤ a < 10
4. Rectifier une écriture qui n'est pas scientifique
On transforme le nombre a en écriture scientifique, puis on utilise la règle 10m × 10n = 10m+n.
Exemple
Donner l'écriture scientifique de A = 530 × 10⁻⁷ et de B = 0,062 × 10⁵.
A : 530 = 5,3 × 10², donc A = 5,3 × 10² × 10⁻⁷ = 5,3 × 10⁻⁵.
B : 0,062 = 6,2 × 10⁻², donc B = 6,2 × 10⁻² × 10⁵ = 6,2 × 10³.
5. Calculer en écriture scientifique
Pour un produit ou un quotient, on regroupe les nombres « ordinaires » d'un côté et les puissances de 10 de l'autre.
Méthode
Pour calculer un produit ou un quotient et donner le résultat en écriture scientifique :
- Je regroupe les nombres décimaux ensemble et les puissances de 10 ensemble.
- Je calcule le produit (ou le quotient) des décimaux.
- Je calcule la puissance de 10 avec les règles sur les exposants.
- Si le décimal obtenu n'est pas entre 1 et 10, je le rectifie et j'ajuste l'exposant.
Exemple
Calculer C = (6 × 10⁴) × (7 × 10⁻⁹) et donner le résultat en écriture scientifique.
C = (6 × 7) × (10⁴ × 10⁻⁹) = 42 × 10⁻⁵.
42 n'est pas entre 1 et 10 : 42 = 4,2 × 10¹.
C = 4,2 × 10¹ × 10⁻⁵ = 4,2 × 10⁻⁴.
Exemple
Calculer D = (1,2 × 10⁵) / (4 × 10⁻³).
D = (1,2 / 4) × (10⁵ / 10⁻³) = 0,3 × 10^(5 − (−3)) = 0,3 × 10⁸.
0,3 = 3 × 10⁻¹, donc D = 3 × 10⁻¹ × 10⁸ = 3 × 10⁷.
Exemple
La lumière parcourt environ 3 × 10⁵ km par seconde. Combien de temps met-elle pour venir du Soleil à la Terre, distants d'environ 1,5 × 10⁸ km ?
Temps = distance / vitesse = (1,5 × 10⁸) / (3 × 10⁵) = 0,5 × 10³ = 500 s.
500 s, c'est 8 min 20 s : la lumière du Soleil met un peu plus de 8 minutes pour nous parvenir.
Pour une somme, il n'y a pas de raccourci : on revient souvent à l'écriture décimale. Par exemple, 3 × 104 + 2 × 103 = 30 000 + 2 000 = 32 000 = 3,2 × 104.
6. Comparer des nombres en écriture scientifique
Pour deux nombres positifs en écriture scientifique :
- celui qui a le plus grand exposant est le plus grand : 1,2 × 107 > 9,8 × 106 ;
- si les exposants sont égaux, on compare les nombres a : 3,5 × 10-2 < 4,1 × 10-2.
7. Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur est une valeur simple, proche du résultat, qui permet de vérifier un calcul ou d'imaginer une quantité. On arrondit a à l'unité, puis on calcule mentalement.
Exemple : un ordre de grandeur de 4,8 × 106 × 2,1 × 103 est 5 × 106 × 2 × 103 = 10 × 109 = 1010.
La superficie de la Guinée, 2,458 57 × 105 km², a pour ordre de grandeur 2 × 105 km², c'est-à-dire environ 200 000 km².
| Nombre | Écriture scientifique |
|---|---|
| Superficie de la Guinée | 2,458 57 × 105 km² |
| Distance moyenne Terre-Soleil | environ 1,5 × 108 km |
| Vitesse de la lumière | environ 3 × 105 km/s |
| Taille d'un globule rouge | environ 7 × 10-6 m |
3Je retiens
Je retiens
Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier relatif.
Grand nombre : exposant positif ; nombre entre 0 et 1 : exposant négatif.
Pour rectifier : j'écris a en écriture scientifique, puis j'additionne les exposants.
Produit : (a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = (a × b) × 10ᵐ⁺ⁿ, puis je rectifie si besoin.
Quotient : (a × 10ᵐ) / (b × 10ⁿ) = (a / b) × 10ᵐ⁻ⁿ, puis je rectifie si besoin.
Pour comparer : d'abord les exposants, puis les nombres a.
4Erreurs fréquentes
- Écrire 25 × 10³ ou 0,25 × 10⁵ en croyant que c'est l'écriture scientifique : il faut 2,5 × 10⁴.
- Se tromper de sens pour l'exposant : 0,004 = 4 × 10⁻³, pas 4 × 10³.
- Oublier d'ajuster l'exposant en rectifiant : 42 × 10⁻⁵ devient 4,2 × 10⁻⁴ (et non 4,2 × 10⁻⁶).
- Comparer seulement les nombres a : 9 × 10³ est plus petit que 1,1 × 10⁴.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Parmi ces écritures, lesquelles sont scientifiques ? 3,08 × 107 ; 12 × 10-2 ; 0,9 × 103 ; 9,99 × 10-5 ; 1 × 100.
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Sont scientifiques : 3,08 × 107, 9,99 × 10-5 et 1 × 100. Ne le sont pas : 12 × 10-2 (12 ≥ 10) et 0,9 × 103 (0,9 < 1).
2Exercice 2
Donne l'écriture scientifique.
a) 72 000 b) 4 506 000 c) 0,0059 d) 0,000 000 81 e) 38,4
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a) 7,2 × 104. b) 4,506 × 106. c) 5,9 × 10-3. d) 8,1 × 10-7. e) 3,84 × 101.
3Exercice 3
Donne l'écriture décimale.
a) 6,3 × 104 b) 2,05 × 10-3 c) 9 × 10-1
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a) 63 000. b) 0,002 05. c) 0,9.
4Exercice 4
Donne l'écriture scientifique de :
a) E = 0,75 × 10-2
b) F = 3 400 × 10-8
c) G = (5 × 103) × (8 × 10-7)
d) H = 9 × 10-41,5 × 10-9
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a) 0,75 = 7,5 × 10-1, donc E = 7,5 × 10-1 × 10-2 = 7,5 × 10-3.
b) 3 400 = 3,4 × 103, donc F = 3,4 × 103 - 8 = 3,4 × 10-5.
c) G = 40 × 103 - 7 = 40 × 10-4 = 4 × 101 × 10-4 = 4 × 10-3.
d) H = 91,5 × 10-4 - (-9) = 6 × 105.
5Exercice 5
(Type examen) On donne K = 21 × 10-3 × 4 × 10514 × 10-2.
a) Donne l'écriture scientifique de K.
b) Donne l'écriture décimale de K.
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a) Nombres : 21 × 414 = 8414 = 6. Puissances de 10 : 10-3 + 5 - (-2) = 10-3 + 5 + 2 = 104.
K = 6 × 104.
b) K = 60 000.
6Exercice 6
(Problème) Une goutte d'eau contient environ 1,7 × 1021 molécules d'eau. Un seau en contient environ 2 × 105 gouttes.
a) Calcule le nombre approximatif de molécules d'eau dans le seau, en écriture scientifique.
b) Range dans l'ordre croissant : 1,7 × 1021 ; 9 × 1020 ; 3,4 × 1026 ; 2 × 1021.
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a) 1,7 × 1021 × 2 × 105 = 3,4 × 1026 molécules environ.
b) On compare d'abord les exposants : 9 × 1020 a le plus petit exposant. Puis, pour l'exposant 21 : 1,7 < 2.
Ordre croissant : 9 × 1020 < 1,7 × 1021 < 2 × 1021 < 3,4 × 1026.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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