Karamö, le prof virtuelLeçon 5 sur 33
Nombres rationnels
Je sais rendre une fraction irréductible, reconnaître si un rationnel est décimal et passer d'une écriture décimale périodique à une fraction.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir un nombre rationnel et rendre une fraction irréductible grâce au PGCD
- Savoir si un rationnel est décimal en décomposant son dénominateur
- Reconnaître l'écriture décimale périodique d'un rationnel
- Retrouver la fraction correspondant à une écriture décimale périodique
Avant de commencer : La leçon « Ensembles de nombres », la division euclidienne et la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers.
1Je découvre
Mamadou, commerçant à Kindia, doit partager 100 000 GNF de bénéfice entre ses trois associés, à parts égales. Il tape 100 000 ÷ 3 sur sa calculatrice et lit : 33 333,33333. Il se demande : « Est-ce que les 3 continuent pour toujours ? »
Le même jour, sa fille Kadiatou calcule la part de chacun de ses 8 camarades pour une cotisation de 70 000 GNF : 70 000 ÷ 8 = 8 750. Cette fois, la division tombe juste.
Pourtant, dans les deux cas, on a divisé un entier par un entier. Pourquoi l'une des divisions « s'arrête » et l'autre ne s'arrête jamais ? Peut-on savoir à l'avance, sans calculatrice, ce qui va se passer ? Et si l'on voit un nombre comme 0,272727…, peut-on retrouver la fraction qui l'a produit ?
Comment reconnaître un nombre rationnel à partir de son écriture, et comment passer d'une fraction à son écriture décimale, et inversement ?
2Je comprends
1. Définition et écriture irréductible
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme pq, avec p ∈ ℤ et q ∈ ℤ^*. L'ensemble des rationnels est noté ℚ.
Un même rationnel a une infinité d'écritures : 23 = 46 = -10-15… Parmi elles, une seule a un dénominateur positif et un numérateur et un dénominateur sans diviseur commun autre que 1 : c'est l'écriture irréductible.
Propriété. Pour rendre pq irréductible, on divise p et q par leur PGCD (plus grand commun diviseur).
On calcule le PGCD par l'algorithme d'Euclide : on fait des divisions euclidiennes successives ; le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple
Rendre 84/126 irréductible.
Algorithme d'Euclide :
126 = 84 × 1 + 42
84 = 42 × 2 + 0
Le dernier reste non nul est 42 : PGCD(84 ; 126) = 42.
84/126 = (84 ÷ 42)/(126 ÷ 42) = 2/3.
On peut aussi décomposer : 84 = 22 × 3 × 7 et 126 = 2 × 32 × 7, donc le PGCD est 2 × 3 × 7 = 42.
2. Quand un rationnel est-il décimal ?
Propriété. Soit pq une fraction irréductible (q > 0). Elle est un nombre décimal si et seulement si les seuls facteurs premiers de q sont 2 et 5.
Explication : un décimal s'écrit a10n et 10n = 2n × 5n. Si q = 2m × 5k, on peut toujours compléter le dénominateur pour obtenir une puissance de 10.
Exemple
7/40 est-il décimal ? Et 5/12 ?
7/40 est irréductible et 40 = 2³ × 5 : seuls 2 et 5 apparaissent. C'est un décimal.
On complète : 7/40 = (7 × 25)/(40 × 25) = 175/1 000 = 0,175.
5/12 est irréductible et 12 = 2² × 3 : le facteur 3 apparaît. Ce n'est pas un décimal.
En effet 5/12 = 0,41666… (le 6 se répète sans fin).
Attention
Il faut d'abord rendre la fraction irréductible ! Par exemple 9/12 : le dénominateur contient 3, mais 9/12 = 3/4 = 0,75 est bien décimal.
3. L'écriture décimale d'un rationnel est périodique
Quand on pose la division de p par q, les restes sont toujours compris entre 0 et q - 1. Il y a donc un nombre limité de restes possibles : au bout d'un moment, un reste revient, et les chiffres du quotient se répètent.
Propriété. L'écriture décimale d'un nombre rationnel est :
- soit finie (c'est un décimal) ;
- soit illimitée périodique : à partir d'un certain rang, un même bloc de chiffres, appelé période, se répète indéfiniment.
On souligne ou on surmonte d'une barre la période : 13 = 0,333… = 0,3 ; 311 = 0,272727… = 0,27 ; 16 = 0,1666… = 0,16.
Réciproquement, un nombre dont l'écriture décimale est illimitée et non périodique est irrationnel : c'est le cas de √2 = 1,41421356… ou de π = 3,14159265…
- s'écrit p/q avec p, q entiers
- écriture décimale finie ou périodique
- exemples : 3/4 ; 1/3 ; −5/6
- ne s'écrit pas p/q
- écriture illimitée non périodique
- exemples : √2 ; √5 ; π
4. De l'écriture périodique à la fraction
Méthode
Pour écrire un nombre décimal périodique x sous forme de fraction :
- Je pose x égal au nombre et je compte le nombre k de chiffres de la période.
- Si la période ne commence pas juste après la virgule, je multiplie d'abord x par une puissance de 10 pour la ramener juste après la virgule.
- Je multiplie par 10ᵏ : la partie après la virgule reste la même.
- Je soustrais les deux égalités : la partie infinie disparaît.
- Je résous l'équation obtenue et je simplifie la fraction.
Exemple
Écrire x = 0,272727… sous forme de fraction.
La période « 27 » a 2 chiffres : on multiplie par 100.
100x = 27,272727…
x = 0,272727…
En soustrayant : 99x = 27, donc x = 27/99 = 3/11 (on divise par 9).
Vérification : 3 ÷ 11 = 0,2727…
Exemple
Écrire y = 0,1666… sous forme de fraction.
La période « 6 » commence au deuxième chiffre. On calcule 10y = 1,666… puis 100y = 16,666…
En soustrayant : 100y − 10y = 16,666… − 1,666… = 15.
90y = 15, donc y = 15/90 = 1/6.
Exemple
Écrire z = 2,454545… sous forme de fraction.
z = 2 + 0,4545… ; on pose t = 0,4545… : 100t − t = 45, donc t = 45/99 = 5/11.
z = 2 + 5/11 = 22/11 + 5/11 = 27/11.
5. Comparer des rationnels
Pour comparer deux rationnels de dénominateurs positifs, on les réduit au même dénominateur, ou on utilise le produit en croix : pour b > 0 et d > 0, ab < cd ⇔ ad < bc.
Par exemple, 58 et 711 : 5 × 11 = 55 et 8 × 7 = 56. Comme 55 < 56, 58 < 711.
Enfin, entre deux rationnels distincts, il y a toujours un autre rationnel, par exemple leur moyenne 12(ab + cd).
3Je retiens
Je retiens
Rationnel : p/q avec p ∈ Z et q ∈ Z*. Écriture irréductible : on divise p et q par leur PGCD.
PGCD par l'algorithme d'Euclide : c'est le dernier reste non nul.
p/q irréductible est décimal ⇔ son dénominateur n'a que 2 et 5 comme facteurs premiers.
Un rationnel a une écriture décimale finie ou illimitée périodique ; sinon le nombre est irrationnel.
Période de k chiffres : multiplier par 10ᵏ puis soustraire pour retrouver la fraction.
Comparer (b, d > 0) : a/b < c/d ⇔ ad < bc.
4Erreurs fréquentes
- Juger si une fraction est décimale sans la simplifier : 21/28 = 3/4 est décimal, même si 28 = 2² × 7.
- Confondre 0,27 et 0,272727… : le premier vaut 27/100, le second 27/99 = 3/11.
- Multiplier par 10 au lieu de 100 quand la période a deux chiffres : la partie infinie ne disparaît plus à la soustraction.
- Croire qu'un nombre affiché par la calculatrice avec beaucoup de chiffres est irrationnel : l'écran coupe l'écriture, il ne montre pas si elle est périodique.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Rends irréductibles les fractions 6084 et 195255 en calculant le PGCD par l'algorithme d'Euclide.
Voir le corrigéCacher le corrigé
84 = 60 × 1 + 24 ; 60 = 24 × 2 + 12 ; 24 = 12 × 2 + 0. PGCD = 12 et 6084 = 57.
255 = 195 × 1 + 60 ; 195 = 60 × 3 + 15 ; 60 = 15 × 4 + 0. PGCD = 15 et 195255 = 1317.
2Exercice 2
Sans poser la division, dis si chaque fraction est un nombre décimal ; si oui, donne son écriture décimale.
a) 925 ; b) 715 ; c) 3360 ; d) 1116.
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a) 925 est irréductible et 25 = 52 : décimal. 925 = 36100 = 0,36.
b) 715 est irréductible et 15 = 3 × 5 contient 3 : pas décimal (0,4666…).
c) 3360 = 1120 (on divise par 3) et 20 = 22 × 5 : décimal. 1120 = 55100 = 0,55.
d) 1116 est irréductible et 16 = 24 : décimal. 1116 = 11 × 62510 000 = 6 87510 000 = 0,6875.
3Exercice 3
Écris sous forme de fraction irréductible.
a) 0,6 ; b) 0,18 ; c) 1,23.
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a) x = 0,666… ; 10x = 6,666… ; 9x = 6 ; x = 69 = 23.
b) x = 0,1818… ; 100x = 18,1818… ; 99x = 18 ; x = 1899 = 211.
c) x = 1,2333… ; 10x = 12,333… ; 100x = 123,333… ; 90x = 111 ; x = 11190 = 3730 (on divise par 3). Vérification : 37 ÷ 30 = 1,2333…
4Exercice 4
Range dans l'ordre croissant : 34 ; 57 ; 811.
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Produits en croix :
34 et 57 : 3 × 7 = 21 et 4 × 5 = 20, donc 57 < 34.
57 et 811 : 5 × 11 = 55 et 7 × 8 = 56, donc 57 < 811.
811 et 34 : 8 × 4 = 32 et 11 × 3 = 33, donc 811 < 34.
Ordre croissant : 57 < 811 < 34.
5Exercice 5
(Type BAC) Une coopérative de femmes de Boké vend du savon. Sur un mois, Fatoumata a reçu 27 du bénéfice, Mariama 310 et le reste a été mis en réserve.
a) Quelle fraction du bénéfice a été mise en réserve ?
b) Cette fraction est-elle un nombre décimal ? Justifie.
c) Le bénéfice du mois est de 1 400 000 GNF. Calcule la part de chacune et la réserve.
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a) 27 + 310 = 2070 + 2170 = 4170. Réserve : 1 - 4170 = 2970.
b) 2970 est irréductible (29 est premier et ne divise pas 70) et 70 = 2 × 5 × 7 contient 7 : ce n'est pas un décimal.
c) Fatoumata : 27 × 1 400 000 = 400 000 GNF. Mariama : 310 × 1 400 000 = 420 000 GNF. Réserve : 2970 × 1 400 000 = 29 × 20 000 = 580 000 GNF.
Vérification : 400 000 + 420 000 + 580 000 = 1 400 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
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