Karamö, le prof virtuelLeçon 6 sur 33
Calcul dans R : les fractions
Je sais calculer sans erreur avec des fractions numériques et littérales, en respectant les priorités, et résoudre un problème de partage.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions en respectant les priorités
- Simplifier une fraction et donner un résultat irréductible
- Calculer avec des fractions contenant une lettre, en précisant les valeurs interdites
- Résoudre un problème de partage ou de budget avec des fractions
Avant de commencer : Les leçons « Ensembles de nombres » et « Nombres rationnels » (écriture irréductible, PGCD).
1Je découvre
Ousmane cultive du maïs près de Faranah. Cette année, il décide de vendre 38 de sa récolte au marché, de garder 14 pour nourrir sa famille et de conserver le reste comme semences pour la prochaine saison des pluies.
Au moment de remplir les sacs, il constate qu'il lui reste exactement 450 kg de semences. Il se pose plusieurs questions : « Quelle part de ma récolte ai-je gardée pour les semences ? Combien de kilos ai-je récoltés en tout ? Combien vais-je vendre ? »
Pour y répondre, il faut additionner, soustraire et multiplier des fractions, puis « remonter » d'une part au total. Ce sont des calculs que tu as faits au collège, mais qui reviennent sans cesse au BAC, en économie comme en statistique, souvent avec des lettres.
Quelles sont les règles de calcul sur les fractions, et comment les appliquer sans erreur, même quand les fractions contiennent une inconnue ?
2Je comprends
1. Égalité et simplification
Pour tous réels a, b, c, d avec b ≠ 0 et d ≠ 0 :
- Égalité : ab = cd ⇔ ad = bc (produit en croix).
- Simplification : pour k ≠ 0, kakb = ab. On ne simplifie que des facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
- Signes : -ab = a-b = -ab.
2. Les quatre opérations
| Opération | Règle | Condition |
|---|---|---|
| Addition | ab + cb = a + cb ; sinon, réduire au même dénominateur : ab + cd = ad + bcbd | b, d ≠ 0 |
| Soustraction | ab - cd = ad - bcbd | b, d ≠ 0 |
| Multiplication | ab × cd = acbd | b, d ≠ 0 |
| Division | ab ÷ cd = ab × dc = adbc | b, c, d ≠ 0 |
Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. L'inverse de cd est dc.
Pour additionner, on choisit de préférence le plus petit dénominateur commun (le PPCM des dénominateurs) : les nombres restent petits.
3. Les priorités de calcul
Comme pour les entiers :
- on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses ;
- puis les puissances ;
- puis les multiplications et divisions ;
- enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
Une grande barre de fraction joue le rôle de parenthèses : on calcule le numérateur et le dénominateur séparément.
Méthode
Pour calculer une expression avec des fractions :
- Je repère les priorités (parenthèses, produits, quotients) et je souligne ce qui se calcule en premier.
- Pour une somme, je réduis au même dénominateur ; pour un produit, je simplifie avant de multiplier.
- Pour un quotient, je multiplie par l'inverse du diviseur.
- Je donne le résultat final sous forme irréductible.
Exemple
Calculer A = 2/3 + 5/6 − 3/4.
Le plus petit dénominateur commun de 3, 6 et 4 est 12.
A = 8/12 + 10/12 − 9/12 = (8 + 10 − 9)/12 = 9/12 = 3/4.
Exemple
Calculer B = (3/5 − 1/2) ÷ (1 + 1/4).
Premier bloc : 3/5 − 1/2 = 6/10 − 5/10 = 1/10.
Second bloc : 1 + 1/4 = 4/4 + 1/4 = 5/4.
B = 1/10 ÷ 5/4 = 1/10 × 4/5 = 4/50 = 2/25.
Exemple
Calculer C = 7/3 − 2/3 × 5/4.
La multiplication est prioritaire : 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6.
C = 7/3 − 5/6 = 14/6 − 5/6 = 9/6 = 3/2.
Attention : calculer d'abord 7/3 − 2/3 donnerait un résultat faux.
4. Simplifier avant de multiplier
Dans un produit, on peut simplifier « en croix » un numérateur avec n'importe quel dénominateur. Cela évite les grands nombres.
1528 × 1445 = 15 × 1428 × 45 = 15 × 142 × 14 × 3 × 15 = 16.
5. Les fractions avec une lettre (fractions rationnelles)
Une expression comme 2x + 1x - 3 n'existe que si son dénominateur n'est pas nul : ici, x ≠ 3. On appelle 3 une valeur interdite. Les règles de calcul sont les mêmes que pour les nombres.
Exemple
Écrire sous forme d'un seul quotient : E = 1/x + 2/(x + 1).
Valeurs interdites : x ≠ 0 et x ≠ −1.
Dénominateur commun : x(x + 1).
E = (x + 1)/(x(x + 1)) + 2x/(x(x + 1)) = (x + 1 + 2x)/(x(x + 1)) = (3x + 1)/(x(x + 1)).
Exemple
Simplifier F = (x² − 4)/(3x + 6).
On factorise : x² − 4 = (x − 2)(x + 2) et 3x + 6 = 3(x + 2).
Pour x ≠ −2 : F = (x − 2)(x + 2)/(3(x + 2)) = (x − 2)/3.
6. Fraction d'une quantité et retour au total
- Prendre la fraction ab d'une quantité Q, c'est calculer ab × Q.
- Si une part représentant la fraction ab du total vaut P, alors le total vaut P ÷ ab = P × ba.
Exemple
Retour à la récolte d'Ousmane.
Fraction vendue + fraction gardée : 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8.
Fraction des semences : 1 − 5/8 = 3/8.
Les semences, 3/8 de la récolte, pèsent 450 kg. Récolte totale : 450 × 8/3 = 1 200 kg.
Vente : 3/8 × 1 200 = 450 kg ; famille : 1/4 × 1 200 = 300 kg.
Vérification : 450 + 300 + 450 = 1 200 kg.
3Je retiens
Je retiens
a/b + c/d = (ad + bc)/(bd) ; a/b × c/d = (ac)/(bd) ; a/b ÷ c/d = a/b × d/c (b, c, d non nuls).
On réduit au même dénominateur pour additionner, jamais pour multiplier.
Priorités : parenthèses, puissances, produits et quotients, puis sommes.
On ne simplifie que des facteurs communs, jamais des termes d'une somme.
Fraction avec une lettre : chercher d'abord les valeurs interdites (dénominateur nul).
Fraction a/b de Q : (a/b) × Q ; si a/b du total vaut P, le total vaut P × b/a.
4Erreurs fréquentes
- Additionner numérateurs et dénominateurs : 1/2 + 1/3 n'est pas 2/5 ; c'est 3/6 + 2/6 = 5/6.
- Simplifier des termes : (x + 3)/3 n'est pas égal à x. On ne barre que des facteurs : (3x)/3 = x.
- Ne pas respecter les priorités : dans 7/3 − 2/3 × 5/4, le produit se calcule avant la soustraction.
- Oublier les valeurs interdites d'une fraction rationnelle, ou garder une solution qui annule un dénominateur.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule et donne le résultat sous forme irréductible.
A = 34 - 56 + 13 ; B = 57 × 1415 ; C = 23 ÷ 89.
Voir le corrigéCacher le corrigé
A = 912 - 1012 + 412 = 312 = 14.
B = 5 × 147 × 15 = 5 × 2 × 77 × 3 × 5 = 23.
C = 23 × 98 = 1824 = 34.
2Exercice 2
Calcule en respectant les priorités.
D = 1 - 2532 + 14 ; E = 2 - 34 × (13 + 12).
Voir le corrigéCacher le corrigé
Numérateur de D : 1 - 25 = 35. Dénominateur : 64 + 14 = 74. D = 35 × 47 = 1235.
E : parenthèse d'abord, 13 + 12 = 26 + 36 = 56. Puis le produit : 34 × 56 = 1524 = 58. Enfin E = 2 - 58 = 168 - 58 = 118.
3Exercice 3
a) Compare 58 et 711.
b) Range dans l'ordre croissant : -34 ; -23 ; -56.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 5 × 11 = 55 et 8 × 7 = 56 ; 55 < 56, donc 58 < 711.
b) Au dénominateur 12 : -912 ; -812 ; -1012. Donc -56 < -34 < -23.
4Exercice 4
On pose G = 2x - 1 - 1x + 1.
a) Donne les valeurs interdites.
b) Montre que G = x + 3x2 - 1.
c) Résous l'équation G = 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x - 1 ≠ 0 et x + 1 ≠ 0 : les valeurs interdites sont 1 et -1.
b) Dénominateur commun (x - 1)(x + 1) = x2 - 1 :
G = 2(x + 1) - (x - 1)(x - 1)(x + 1) = 2x + 2 - x + 1x2 - 1 = x + 3x2 - 1.
c) G = 0 ⇔ x + 3 = 0 et x2 - 1 ≠ 0. On trouve x = -3, qui n'est pas interdit. S = {-3}.
5Exercice 5
(Type BAC) Sékou, fonctionnaire à Nzérékoré, reçoit un salaire mensuel S. Il consacre 14 de son salaire au loyer et 25 à la nourriture. Il envoie 13 de ce qui reste à ses parents au village et épargne le reste.
a) Quelle fraction du salaire reste-t-il après le loyer et la nourriture ?
b) Quelle fraction du salaire envoie-t-il à ses parents ? Quelle fraction épargne-t-il ?
c) Il épargne 490 000 GNF par mois. Calcule son salaire S, puis le montant du loyer.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 14 + 25 = 520 + 820 = 1320. Il reste 1 - 1320 = 720 du salaire.
b) Aux parents : 13 × 720 = 760 du salaire. Épargne : 720 - 760 = 2160 - 760 = 1460 = 730 du salaire.
c) 730S = 490 000, donc S = 490 000 × 307 = 70 000 × 30 = 2 100 000 GNF.
Loyer : 14 × 2 100 000 = 525 000 GNF.
Vérification : nourriture 840 000 ; parents 760 × 2 100 000 = 245 000 ; 525 000 + 840 000 + 245 000 + 490 000 = 2 100 000 GNF.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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