Karamö, le prof virtuelLeçon 8 sur 33
Encadrement des nombres réels
Je sais encadrer une somme, une différence, un produit, un inverse ou un quotient, utiliser la valeur absolue et donner une valeur approchée d'un réel.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser les propriétés de l'ordre dans R pour encadrer une expression
- Encadrer une somme, une différence, un produit et un quotient à partir d'encadrements donnés
- Traduire une inégalité avec valeur absolue en encadrement ou en intervalle
- Donner une valeur approchée, une troncature ou un arrondi d'un réel
Avant de commencer : Les ensembles de nombres, les intervalles et les inéquations du premier degré (changement de sens en multipliant par un négatif).
1Je découvre
Au marché de Guéckédou, Fatoumata achète un sac de riz marqué « 50 kg ». Le commerçant lui explique que sa balance n'est pas parfaite : le poids réel du sac est compris entre 49,5 kg et 50,5 kg. Fatoumata achète trois sacs. Elle ne connaît pas le poids exact de ses trois sacs, mais peut-elle au moins dire entre quelles valeurs il se situe ?
Le même jour, son cousin Ibrahima, géomètre, mesure un terrain rectangulaire à Faranah. Ses instruments lui donnent une longueur comprise entre 45,2 m et 45,4 m, et une largeur comprise entre 30,1 m et 30,3 m. Le propriétaire veut savoir combien de mètres de grillage acheter et quelle est la surface de son terrain.
Dans la vie réelle, les mesures sont rarement exactes : on connaît plutôt un encadrement. Et même en mathématiques, des nombres comme √2 ou π ne peuvent être écrits qu'à l'aide de valeurs approchées.
Comment, à partir d'encadrements connus, obtenir un encadrement d'une somme, d'un produit ou d'un quotient, et comment exprimer la précision d'une valeur approchée ?
2Je comprends
1. Encadrement et amplitude
Encadrer un réel x, c'est trouver deux nombres a et b tels que a ≤ x ≤ b (ou avec des inégalités strictes). Le nombre b - a est l'amplitude de l'encadrement : plus elle est petite, plus l'encadrement est précis.
Exemple : 1,41 < √2 < 1,42 est un encadrement de √2 d'amplitude 0,01.
2. Les propriétés de l'ordre
Pour tous réels a, b, c :
- Ajouter : si a ≤ b, alors a + c ≤ b + c.
- Multiplier par un positif : si a ≤ b et c > 0, alors ac ≤ bc.
- Multiplier par un négatif : si a ≤ b et c < 0, alors ac ≥ bc (le sens change).
- Passer à l'inverse : si 0 < a ≤ b, alors 1a ≥ 1b (le sens change, pour des nombres de même signe).
3. Encadrer une somme, une différence, un produit, un quotient
On suppose a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d.
| On veut encadrer | Règle | Condition |
|---|---|---|
| x + y | a + c ≤ x + y ≤ b + d | aucune |
| -y | -d ≤ -y ≤ -c | le sens change |
| x - y | a - d ≤ x - y ≤ b - c | on ajoute x et -y |
| xy | ac ≤ xy ≤ bd | a et c positifs |
| 1y | 1d ≤ 1y ≤ 1c | c > 0 |
| xy | ad ≤ xy ≤ bc | a ≥ 0 et c > 0 |
On ne soustrait jamais deux encadrements membre à membre, et on ne les divise jamais membre à membre : on passe toujours par -y ou par 1y.
Méthode
Pour encadrer une expression à partir d'encadrements donnés :
- Je découpe l'expression en opérations simples (multiplier par un nombre, ajouter, prendre l'opposé, l'inverse).
- Pour une différence x − y, j'encadre d'abord −y (en inversant l'ordre), puis j'ajoute.
- Pour un produit ou un quotient, je vérifie le signe des bornes avant d'appliquer la règle.
- J'écris l'encadrement final et, si on me le demande, son amplitude.
Exemple
On sait que 1,41 < √2 < 1,42 et 1,73 < √3 < 1,74.
Somme : 1,41 + 1,73 < √2 + √3 < 1,42 + 1,74, soit 3,14 < √2 + √3 < 3,16.
Différence : −1,42 < −√2 < −1,41, donc 1,73 − 1,42 < √3 − √2 < 1,74 − 1,41, soit 0,31 < √3 − √2 < 0,33.
Produit (tout est positif) : 1,41 × 1,73 < √6 < 1,42 × 1,74, soit 2,4393 < √6 < 2,4708.
Inverse : 1/1,42 < 1/√2 < 1/1,41, soit environ 0,7042 < 1/√2 < 0,7093 (bornes arrondies vers l'extérieur).
Exemple
On sait que 2 ≤ x ≤ 5 et −3 ≤ y ≤ −1. Encadrer 3x − 2, x − y et xy.
3x − 2 : 6 ≤ 3x ≤ 15, donc 4 ≤ 3x − 2 ≤ 13.
x − y : 1 ≤ −y ≤ 3, donc 2 + 1 ≤ x − y ≤ 5 + 3, soit 3 ≤ x − y ≤ 8.
xy : y est négatif, la règle du produit ne s'applique pas directement. On utilise −y, positif : 2 × 1 ≤ x × (−y) ≤ 5 × 3, soit 2 ≤ −xy ≤ 15. En multipliant par −1 : −15 ≤ xy ≤ −2.
4. La valeur absolue et la distance
La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est sa distance à 0 : |x| = x si x ≥ 0 et |x| = -x si x < 0. Ainsi |5| = 5 et |-5| = 5.
Plus généralement, |x - a| est la distance entre x et a sur la droite graduée.
Propriété. Pour r > 0 : |x - a| ≤ r ⇔ a - r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a - r ;a + r].
On dit que a est une valeur approchée de x à r près.
Exemple
Résoudre |x + 1| < 4.
|x + 1| = |x − (−1)| : c'est la distance entre x et −1.
−1 − 4 < x < −1 + 4, soit −5 < x < 3. S = ]−5 ; 3[.
Pour le sac de riz de Fatoumata : le poids p vérifie |p - 50| ≤ 0,5. Pour trois sacs : 3 × 49,5 ≤ P ≤ 3 × 50,5, soit 148,5 ≤ P ≤ 151,5 kg, c'est-à-dire |P - 150| ≤ 1,5.
5. Valeurs approchées, troncature et arrondi
On connaît π = 3,14159…
- Valeur approchée par défaut à 10-2 : 3,14 (juste en dessous) ; par excès : 3,15 (juste au-dessus). On a 3,14 ≤ π ≤ 3,15.
- Troncature à 10-n : on coupe après le n-ième chiffre décimal, sans rien changer. Troncature de π à 10-3 : 3,141.
- Arrondi à 10-n : on regarde le chiffre suivant ; s'il vaut 5 ou plus, on augmente le dernier chiffre gardé de 1. Arrondi de π à 10-3 : 3,142 (car le chiffre suivant est 5).
6. Retour au terrain de Faranah
Longueur 45,2 ≤ L ≤ 45,4 ; largeur 30,1 ≤ ell ≤ 30,3.
Périmètre : 2(45,2 + 30,1) ≤ 2(L + ell) ≤ 2(45,4 + 30,3), soit 150,6 ≤ P ≤ 151,4 m.
Aire (tout est positif) : 45,2 × 30,1 ≤ Lell ≤ 45,4 × 30,3, soit 1 360,52 ≤ A ≤ 1 375,62 m².
Pour être sûr d'avoir assez de grillage, le propriétaire doit prévoir la borne supérieure : 151,4 m.
3Je retiens
Je retiens
Amplitude de a ≤ x ≤ b : b − a.
On peut additionner des encadrements membre à membre ; jamais les soustraire ni les diviser.
Multiplier par un négatif ou passer à l'inverse (nombres positifs) change le sens.
x − y : encadrer −y puis ajouter ; xy : règle valable pour des bornes positives.
|x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r ; a + r].
Troncature : on coupe ; arrondi : on regarde le chiffre suivant (5 ou plus : on augmente).
4Erreurs fréquentes
- Soustraire membre à membre : de 2 ≤ x ≤ 5 et 1 ≤ y ≤ 3, on n'obtient pas 1 ≤ x − y ≤ 2. Le bon encadrement est −1 ≤ x − y ≤ 4.
- Appliquer la règle du produit avec des bornes négatives : elle n'est valable que pour des nombres positifs.
- Oublier de changer le sens en passant à l'inverse : 2 ≤ x ≤ 4 donne 1/4 ≤ 1/x ≤ 1/2.
- Confondre troncature et arrondi : pour 2,678, la troncature à 10⁻² est 2,67, l'arrondi est 2,68.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On sait que 1 < x < 4. Encadre 2x + 3, -x, 5 - 3x et 1x.
Voir le corrigéCacher le corrigé
2 < 2x < 8, donc 5 < 2x + 3 < 11.
En multipliant par -1 : -4 < -x < -1.
-12 < -3x < -3, donc 5 - 12 < 5 - 3x < 5 - 3, soit -7 < 5 - 3x < 2.
Les nombres sont positifs, le passage à l'inverse change le sens : 14 < 1x < 1.
2Exercice 2
On donne 2,23 < √5 < 2,24. Encadre 3√5, √5 - 1 et 1 + √52. Donne l'amplitude du dernier encadrement.
Voir le corrigéCacher le corrigé
3 × 2,23 < 3√5 < 3 × 2,24, soit 6,69 < 3√5 < 6,72.
1,23 < √5 - 1 < 1,24.
3,23 < 1 + √5 < 3,24, donc 1,615 < 1 + √52 < 1,62. Amplitude : 1,62 - 1,615 = 0,005.
3Exercice 3
a) Écris sous forme d'intervalle l'ensemble des x tels que |x - 4| ≤ 3.
b) Résous |2x + 1| < 5.
c) Écris l'intervalle [-2 ;6] sous la forme |x - a| ≤ r.
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a) 4 - 3 ≤ x ≤ 4 + 3 : x ∈ [1 ;7].
b) -5 < 2x + 1 < 5 ⇔ -6 < 2x < 4 ⇔ -3 < x < 2. S = ]-3 ;2[.
c) Centre a = -2 + 62 = 2 ; rayon r = 6 - (-2)2 = 4. Donc [-2 ;6] est l'ensemble des x tels que |x - 2| ≤ 4.
4Exercice 4
On a 227 = 3,142857…
a) Donne la troncature à 10-3 et l'arrondi à 10-2 de 227.
b) Donne l'arrondi à 10-4.
c) Sachant que 3,1415 < π < 3,1416, montre que 227 est une valeur approchée de π à 10-2 près.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Troncature à 10-3 : 3,142. Arrondi à 10-2 : le chiffre suivant le 4 est 2, donc 3,14.
b) Arrondi à 10-4 : on garde 3,1428 ; le chiffre suivant est 5, on augmente : 3,1429.
c) 227 - π est positif et, avec les encadrements, 3,1428 - 3,1416 < 227 - π < 3,1429 - 3,1415, soit 0,0012 < 227 - π < 0,0014. Donc |227 - π| < 0,01 : 227 est une valeur approchée de π à 10-2 près (l'écart est même inférieur à 0,002).
5Exercice 5
(Type BAC) Un champ rectangulaire de Faranah a une longueur L et une largeur ell telles que 45,2 ≤ L ≤ 45,4 et 30,1 ≤ ell ≤ 30,3 (en mètres).
a) Encadre le périmètre P du champ.
b) Encadre son aire A.
c) Le grillage coûte 12 000 GNF le mètre. Encadre le coût du grillage pour clôturer le champ.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 45,2 + 30,1 ≤ L + ell ≤ 45,4 + 30,3, soit 75,3 ≤ L + ell ≤ 75,7. Donc 150,6 ≤ P ≤ 151,4 m.
b) Toutes les bornes sont positives : 45,2 × 30,1 ≤ A ≤ 45,4 × 30,3, soit 1 360,52 ≤ A ≤ 1 375,62 m².
c) Coût = 12 000 × P : 12 000 × 150,6 ≤ coût ≤ 12 000 × 151,4, soit entre 1 807 200 GNF et 1 816 800 GNF. Pour être sûr, il faut prévoir 1 816 800 GNF.
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6Je vérifie
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