Karamö, le prof virtuelLeçon 9 sur 33
Les fonctions
Je sais calculer des images et des antécédents, lire une courbe et un tableau de variations, et reconnaître une fonction paire ou impaire.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une fonction numérique, calculer une image et chercher un antécédent
- Lire et interpréter la représentation graphique d'une fonction
- Définir le sens de variation, les extremums et dresser ou exploiter un tableau de variations
- Étudier la parité d'une fonction et l'utiliser dans un problème économique
Avant de commencer : Le calcul algébrique (équations, inéquations, factorisation), les intervalles et le repérage dans le plan.
1Je découvre
Kadiatou tient un petit atelier de fabrication de savon à Kissidougou. Chaque mois, elle note le nombre q de cartons produits et le coût total de production. Elle s'aperçoit qu'à chaque quantité q correspond un seul coût, qu'elle peut calculer avec la formule que lui a donnée son comptable :
C(q) = q2 + 20q + 300 (en milliers de GNF).
Pour 10 cartons, le coût est C(10) = 100 + 200 + 300 = 600, soit 600 000 GNF. Elle vend chaque carton 60 000 GNF. Elle se demande alors : « Pour quelles quantités suis-je en bénéfice ? Quelle quantité me rapporte le plus ? Comment représenter tout cela sur un graphique pour le montrer à la microfinance qui me prête de l'argent ? »
Pour répondre, il faut un outil qui associe à chaque nombre un autre nombre, qu'on peut calculer, représenter et étudier : c'est la fonction.
Qu'est-ce qu'une fonction numérique, et comment en étudier les images, la courbe et les variations ?
2Je comprends
1. Définition, image, antécédent
Une fonction numérique f est un procédé qui, à chaque réel x d'un ensemble Df, associe un unique réel noté f(x). On écrit :
f : x longmapsto f(x).
- Df est l'ensemble de définition de f : l'ensemble des x pour lesquels f(x) existe (la leçon suivante lui est consacrée).
- f(x) est l'image de x par f.
- Si f(x) = y, on dit que x est un antécédent de y.
Un nombre a toujours une seule image (s'il est dans Df), mais un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Exemple
Soit f(x) = x² − 2x − 3.
Images : f(0) = −3 ; f(3) = 9 − 6 − 3 = 0 ; f(−1) = 1 + 2 − 3 = 0 ; f(1) = 1 − 2 − 3 = −4.
Antécédents de −3 : on résout x² − 2x − 3 = −3, soit x² − 2x = 0, donc x(x − 2) = 0.
−3 a deux antécédents : 0 et 2.
Antécédents de −5 : x² − 2x − 3 = −5 donne x² − 2x + 2 = 0, soit (x − 1)² + 1 = 0, impossible car (x − 1)² + 1 ≥ 1. −5 n'a aucun antécédent.
2. La représentation graphique
Dans un repère, la représentation graphique (ou courbe) mathcalCf de f est l'ensemble des points M(x ;f(x)) pour x ∈ Df. On dit que y = f(x) est l'équation de la courbe.
- Lire l'image de a : on part de a sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) jusqu'à la courbe, et on lit l'ordonnée.
- Lire les antécédents de b : on trace la droite horizontale y = b et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.
- Les solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses.
3. Le sens de variation
Soit f une fonction et I un intervalle contenu dans Df.
- f est croissante sur I si, pour tous a et b de I : a < b ⇒ f(a) ≤ f(b). Les images sont rangées dans le même ordre. La courbe « monte » de gauche à droite.
- f est décroissante sur I si : a < b ⇒ f(a) ≥ f(b). L'ordre est inversé. La courbe « descend ».
- Si les inégalités entre images sont strictes, on dit strictement croissante ou décroissante.
On résume les variations dans un tableau de variations : des flèches montantes ou descendantes, avec aux extrémités les valeurs de f.
Pour f(x) = x2 - 2x - 3 :
| x | -∞ | 1 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | searrow | -4 | nearrow |
4. Maximum et minimum
- f admet un maximum M en a sur I si f(x) ≤ f(a) = M pour tout x de I.
- f admet un minimum m en a sur I si f(x) ≥ f(a) = m pour tout x de I.
Un maximum ou un minimum s'appelle un extremum. On le lit dans le tableau de variations, au changement de sens des flèches.
Justification par le calcul. Pour f(x) = x2 - 2x - 3, on remarque que f(x) = (x - 1)2 - 4 (développe pour vérifier : x2 - 2x + 1 - 4). Comme (x - 1)2 ≥ 0, on a f(x) ≥ -4 pour tout x, avec égalité pour x = 1. Donc -4 est le minimum de f, atteint en 1.
5. La parité
On suppose que Df est symétrique par rapport à 0 (si x ∈ Df, alors -x ∈ Df).
- f est paire si f(-x) = f(x) pour tout x de Df. Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- f est impaire si f(-x) = -f(x) pour tout x de Df. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O.
Méthode
Pour étudier la parité d'une fonction f :
- Je vérifie que D_f est symétrique par rapport à 0 ; sinon, f n'est ni paire ni impaire.
- Je calcule f(−x) en remplaçant chaque x par (−x), avec des parenthèses.
- Je compare f(−x) avec f(x) puis avec −f(x).
- Si aucune égalité n'est vraie pour tout x, je donne un contre-exemple chiffré : f(1) et f(−1).
Exemple
Étudier la parité de g(x) = x³ − 3x et de h(x) = x² + x (définies sur R).
g(−x) = (−x)³ − 3(−x) = −x³ + 3x = −(x³ − 3x) = −g(x) : g est impaire.
h(1) = 2 et h(−1) = 1 − 1 = 0. On a h(−1) ≠ h(1) et h(−1) ≠ −h(1) : h n'est ni paire ni impaire.
L'intérêt de la parité : il suffit d'étudier la fonction sur [0 ;+∞[ et de compléter la courbe par symétrie.
6. Une fonction en économie
En économie, on rencontre la fonction coût C, la fonction recette R et la fonction bénéfice B = R - C. La variable (une quantité produite) est positive : on étudie la fonction seulement sur l'intervalle qui a un sens, appelé domaine d'étude.
Exemple
Pour Kadiatou : R(q) = 60q et C(q) = q² + 20q + 300 (en milliers de GNF).
B(q) = 60q − q² − 20q − 300 = −q² + 40q − 300.
B(10) = −100 + 400 − 300 = 0 ; B(20) = −400 + 800 − 300 = 100.
Pour 20 cartons, son bénéfice est de 100 000 GNF. L'exercice 5 permet de montrer que c'est le maximum.
3Je retiens
Je retiens
Une fonction associe à chaque x de D_f une unique image f(x).
Antécédent de y : solution de l'équation f(x) = y (il peut y en avoir 0, 1 ou plusieurs).
Courbe : ensemble des points M(x ; f(x)) ; f(x) = 0 aux points où la courbe coupe l'axe des abscisses.
Croissante : conserve l'ordre ; décroissante : inverse l'ordre.
Minimum m en a : f(x) ≥ m pour tout x, avec f(a) = m (même idée pour un maximum).
Paire : f(−x) = f(x), symétrie par rapport à l'axe des ordonnées ; impaire : f(−x) = −f(x), symétrie par rapport à O.
Bénéfice = recette − coût.
4Erreurs fréquentes
- Confondre image et antécédent : l'image se lit sur l'axe des ordonnées, l'antécédent sur l'axe des abscisses.
- Oublier les parenthèses en calculant f(−x) : pour f(x) = x², f(−x) = (−x)² = x², et non −x².
- Conclure qu'une fonction est paire en testant une seule valeur : un exemple ne prouve pas une propriété générale ; en revanche, un seul contre-exemple suffit pour la réfuter.
- Lire un tableau de variations comme un tableau de valeurs : entre deux valeurs, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires, pas seulement celles écrites.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Soit f(x) = 2x2 - 3x + 1. Calcule f(0), f(1), f(-2) et f(12). Que peux-tu dire des nombres 1 et 12 ?
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f(0) = 1 ; f(1) = 2 - 3 + 1 = 0 ; f(-2) = 8 + 6 + 1 = 15 ; f(12) = 24 - 32 + 1 = 12 - 32 + 1 = 0.
Les nombres 1 et 12 ont pour image 0 : ce sont les antécédents de 0, et la courbe de f coupe l'axe des abscisses en ces deux points.
2Exercice 2
a) Détermine les antécédents de 7 par g(x) = 3x - 5.
b) Détermine les antécédents de 5, puis de -6, par h(x) = x2 - 4.
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a) 3x - 5 = 7 ⇔ 3x = 12 ⇔ x = 4. Le seul antécédent de 7 est 4.
b) x2 - 4 = 5 ⇔ x2 = 9 ⇔ x = 3 ou x = -3 : deux antécédents. x2 - 4 = -6 ⇔ x2 = -2 : impossible, -6 n'a aucun antécédent.
3Exercice 3
Étudie la parité des fonctions définies sur ℝ par :
f(x) = x4 - 2x2 ; g(x) = 2x3 + x ; h(x) = x2 + x.
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ℝ est symétrique par rapport à 0.
f(-x) = (-x)4 - 2(-x)2 = x4 - 2x2 = f(x) : f est paire.
g(-x) = 2(-x)3 + (-x) = -2x3 - x = -g(x) : g est impaire.
h(1) = 2 et h(-1) = 0 : h(-1) ≠ h(1) et h(-1) ≠ -h(1), donc h n'est ni paire ni impaire.
4Exercice 4
Une fonction f est définie sur [-4 ;5]. On sait que f(-4) = 2, que f est décroissante sur [-4 ;-1] avec f(-1) = -3, croissante sur [-1 ;3] avec f(3) = 4, puis décroissante sur [3 ;5] avec f(5) = 1.
a) Dresse le tableau de variations de f.
b) Donne le maximum et le minimum de f sur [-4 ;5].
c) Compare f(0) et f(2).
d) Combien de solutions l'équation f(x) = 0 a-t-elle ?
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a)
| x | -4 | -1 | 3 | 5 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 2 | searrow | -3 | nearrow | 4 | searrow | 1 |
b) Le maximum est 4, atteint en 3 ; le minimum est -3, atteint en -1.
c) 0 et 2 sont dans [-1 ;3] où f est croissante, et 0 < 2, donc f(0) ≤ f(2) (et même f(0) < f(2) si la croissance est stricte).
d) Sur [-4 ;-1], f descend de 2 à -3 : elle passe une fois par 0. Sur [-1 ;3], elle monte de -3 à 4 : elle passe une fois par 0. Sur [3 ;5], elle reste entre 1 et 4 : elle ne s'annule pas. L'équation a 2 solutions.
5Exercice 5
(Type BAC) On reprend l'atelier de Kadiatou : pour q cartons (0 ≤ q ≤ 50), le bénéfice en milliers de GNF est B(q) = -q2 + 40q - 300.
a) Calcule B(10), B(20) et B(30).
b) Montre que B(q) = -(q - 20)2 + 100.
c) Déduis-en le bénéfice maximal et la quantité correspondante, puis le tableau de variations de B sur [0 ;50].
d) Pour quelles quantités Kadiatou ne perd-elle pas d'argent (B(q) ≥ 0) ?
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a) B(10) = -100 + 400 - 300 = 0 ; B(20) = -400 + 800 - 300 = 100 ; B(30) = -900 + 1 200 - 300 = 0.
b) -(q - 20)2 + 100 = -(q2 - 40q + 400) + 100 = -q2 + 40q - 400 + 100 = -q2 + 40q - 300 = B(q).
c) (q - 20)2 ≥ 0, donc B(q) ≤ 100, avec égalité pour q = 20. Le bénéfice maximal est de 100 milliers de GNF, soit 100 000 GNF, pour 20 cartons. B est croissante sur [0 ;20] et décroissante sur [20 ;50]. Avec B(0) = -300 et B(50) = -2 500 + 2 000 - 300 = -800 :
| q | 0 | 20 | 50 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| B(q) | -300 | nearrow | 100 | searrow | -800 |
d) B(q) ≥ 0 ⇔ (q - 20)2 ≤ 100 ⇔ -10 ≤ q - 20 ≤ 10 ⇔ 10 ≤ q ≤ 30. Kadiatou ne perd pas d'argent si elle produit entre 10 et 30 cartons.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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