Karamö, le prof virtuelLeçon 10 sur 33
Ensemble de définition d'une fonction
Je sais déterminer l'ensemble de définition d'une fonction polynôme, rationnelle ou avec racine carrée, et l'écrire sous forme d'intervalles.
- 50 min
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les conditions d'existence d'un quotient et d'une racine carrée
- Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction rationnelle en cherchant les valeurs interdites
- Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction avec racine carrée à l'aide d'une inéquation ou d'un tableau de signes
- Distinguer ensemble de définition et domaine d'étude dans un problème économique
Avant de commencer : La leçon « Les fonctions », les équations et inéquations du premier degré, les tableaux de signes et les intervalles.
1Je découvre
Lansana, élève de Terminale sciences sociales à Boké, aide son oncle qui gère une petite entreprise de transport. Le comptable lui a donné une formule pour le coût moyen d'un trajet, c'est-à-dire le coût total divisé par le nombre q de trajets effectués :
CM(q) = q2 + 20q + 300q (en milliers de GNF).
Lansana veut dresser un tableau de valeurs sur sa calculatrice. Il tape q = 0 et la machine affiche « Erreur ». Intrigué, il essaie une autre formule vue en classe, f(x) = √6 - 2x, avec x = 5 : nouvelle erreur.
Il comprend qu'une formule ne peut pas toujours être calculée : on ne peut pas diviser par zéro, et on ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Avant d'étudier une fonction (ses variations, sa courbe, ses limites), il faut donc savoir pour quels nombres elle existe.
Comment trouver, pour une fonction donnée par une formule, l'ensemble de tous les réels pour lesquels on peut calculer l'image ?
2Je comprends
1. Définition
L'ensemble de définition d'une fonction f, noté Df, est l'ensemble de tous les réels x pour lesquels f(x) existe, c'est-à-dire pour lesquels le calcul de f(x) est possible.
En Terminale sciences sociales, trois « obstacles » peuvent empêcher le calcul :
| Expression | Condition d'existence |
|---|---|
| Quotient A(x)B(x) | B(x) ≠ 0 |
| Racine carrée √A(x) | A(x) ≥ 0 |
| Racine au dénominateur 1√A(x) | A(x) > 0 |
Plus tard dans l'année, tu rencontreras un quatrième cas avec la fonction logarithme népérien : ln(A(x)) existe si et seulement si A(x) > 0.
2. Les fonctions polynômes
Une fonction polynôme (comme 3x3 - x + 7 ou x2 - 5x + 2) ne contient ni quotient par une expression en x, ni racine : on peut toujours la calculer. Son ensemble de définition est ℝ.
3. Les fonctions rationnelles (quotients)
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. On cherche les valeurs interdites, qui annulent le dénominateur, et on les retire de ℝ.
Méthode
Pour trouver l'ensemble de définition d'une fonction :
- Je repère chaque dénominateur et chaque racine carrée dans la formule.
- J'écris la condition correspondante : dénominateur ≠ 0 ; expression sous la racine ≥ 0 ; si la racine est au dénominateur, > 0.
- Je résous chaque condition (équation, inéquation, tableau de signes si besoin).
- Si plusieurs conditions doivent être vraies en même temps, je prends leur intersection.
- J'écris D_f sous forme d'intervalle ou de réunion d'intervalles.
Exemple
Déterminer D_g pour g(x) = (2x + 1)/(x − 3).
Condition : x − 3 ≠ 0, soit x ≠ 3.
D_g = R \ {3} = ]−∞ ; 3[ ∪ ]3 ; +∞[.
Exemple
Déterminer D_k pour k(x) = x/(x² + x − 6).
On cherche quand x² + x − 6 = 0. On factorise : x² + x − 6 = (x + 3)(x − 2) (développe pour vérifier : x² − 2x + 3x − 6).
Le dénominateur s'annule pour x = −3 et x = 2.
D_k = R \ {−3 ; 2} = ]−∞ ; −3[ ∪ ]−3 ; 2[ ∪ ]2 ; +∞[.
Exemple
Déterminer D_m pour m(x) = 5/(x² + 4).
Pour tout réel x, x² ≥ 0 donc x² + 4 ≥ 4 > 0 : le dénominateur ne s'annule jamais.
D_m = R.
4. Les fonctions avec racine carrée
La racine carrée d'un nombre négatif n'existe pas dans ℝ. Pour √A(x), on résout l'inéquation A(x) ≥ 0.
Exemple
Déterminer D_f pour f(x) = √(6 − 2x).
Condition : 6 − 2x ≥ 0, soit −2x ≥ −6. On divise par −2 (négatif) : x ≤ 3.
D_f = ]−∞ ; 3].
C'est pourquoi la calculatrice de Lansana refusait x = 5.
Exemple
Déterminer D_p pour p(x) = √((x − 1)(x + 3)).
Condition : (x − 1)(x + 3) ≥ 0. Tableau de signes :
x : −∞ −3 1 +∞
x + 3 : − 0 + +
x − 1 : − − 0 +
produit : + 0 − 0 +
Le produit est positif ou nul en dehors de ]−3 ; 1[.
D_p = ]−∞ ; −3] ∪ [1 ; +∞[.
Exemple
Déterminer D_n pour n(x) = 1/√(x + 1).
La racine est au dénominateur : il faut x + 1 ≥ 0 (racine) et √(x + 1) ≠ 0, donc x + 1 > 0.
D_n = ]−1 ; +∞[.
5. Plusieurs conditions à la fois
Quand la formule contient à la fois un quotient et une racine, toutes les conditions doivent être vérifiées : on prend l'intersection.
Exemple
Déterminer D_q pour q(x) = √(x + 2)/(x − 1).
Racine : x + 2 ≥ 0, soit x ≥ −2.
Quotient : x − 1 ≠ 0, soit x ≠ 1.
D_q = [−2 ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[.
6. Ensemble de définition et domaine d'étude
En économie, la variable représente souvent une quantité : elle ne peut pas être négative, et parfois elle est limitée par une capacité de production. On distingue alors :
- l'ensemble de définition mathématique de la formule ;
- le domaine d'étude, plus petit, qui ne garde que les valeurs ayant un sens économique.
Pour le coût moyen de l'oncle de Lansana, CM(q) = q2 + 20q + 300q : mathématiquement, DCM = ℝ^* = ℝ setminus {0}. Mais q est un nombre de trajets, donc positif. Si l'entreprise peut faire au plus 50 trajets par mois, le domaine d'étude est ]0 ;50].
3Je retiens
Je retiens
D_f : ensemble des réels x pour lesquels f(x) existe.
Polynôme : D_f = R.
Quotient A(x)/B(x) : on retire les valeurs qui annulent B(x).
Racine √A(x) : A(x) ≥ 0 ; racine au dénominateur : A(x) > 0.
Plusieurs conditions : on prend l'intersection des ensembles obtenus.
Si le dénominateur ne s'annule jamais (x² + 4 par exemple), D_f = R.
En économie, le domaine d'étude ne garde que les valeurs qui ont un sens (quantités positives, capacité maximale).
4Erreurs fréquentes
- Chercher les valeurs interdites au numérateur : seul le dénominateur ne doit pas s'annuler. Dans (x − 2)/(x + 5), la valeur interdite est −5, pas 2.
- Écrire « √A(x) ≠ 0 » comme condition d'une racine seule : la condition est A(x) ≥ 0 ; 0 est autorisé sous une racine qui n'est pas au dénominateur.
- Oublier de changer le sens en divisant par un nombre négatif : 6 − 2x ≥ 0 donne x ≤ 3, et non x ≥ 3.
- Ne garder qu'une condition quand il y en a plusieurs : pour √(x + 2)/(x − 1), il faut à la fois x ≥ −2 et x ≠ 1.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Détermine l'ensemble de définition de chaque fonction.
a) f(x) = x2 - 5x + 2 ; b) g(x) = 42x - 8 ; c) h(x) = x + 1x2 - 9 ; d) k(x) = 5x2 + 4.
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a) Polynôme : Df = ℝ.
b) 2x - 8 ≠ 0 ⇔ x ≠ 4 : Dg = ]-∞ ;4[ ∪ ]4 ;+∞[.
c) x2 - 9 = (x - 3)(x + 3) = 0 ⇔ x = 3 ou x = -3 : Dh = ℝ setminus {-3 ;3} = ]-∞ ;-3[ ∪ ]-3 ;3[ ∪ ]3 ;+∞[.
d) x2 + 4 ≥ 4 > 0 pour tout x : Dk = ℝ.
2Exercice 2
Détermine l'ensemble de définition de chaque fonction.
a) f(x) = √x - 5 ; b) g(x) = √10 - 2x ; c) h(x) = 3√4 - x.
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a) x - 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 : Df = [5 ;+∞[.
b) 10 - 2x ≥ 0 ⇔ -2x ≥ -10 ⇔ x ≤ 5 : Dg = ]-∞ ;5].
c) La racine est au dénominateur : 4 - x > 0 ⇔ x < 4 : Dh = ]-∞ ;4[.
3Exercice 3
Détermine l'ensemble de définition de chaque fonction.
a) f(x) = √x + 3x - 2 ; b) g(x) = √x2 - x - 2 (vérifie d'abord que x2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)) ; c) h(x) = 2xx2 - 3x.
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a) x + 3 ≥ 0 et x - 2 ≠ 0, soit x ≥ -3 et x ≠ 2 : Df = [-3 ;2[ ∪ ]2 ;+∞[.
b) (x - 2)(x + 1) = x2 + x - 2x - 2 = x2 - x - 2. Le produit est positif ou nul à l'extérieur des racines -1 et 2 (deux facteurs de même signe) : Dg = ]-∞ ;-1] ∪ [2 ;+∞[.
c) x2 - 3x = x(x - 3) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3 : Dh = ℝ setminus {0 ;3}.
4Exercice 4
À l'aide d'un tableau de signes, détermine l'ensemble de définition de f(x) = √2 - xx + 1.
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Il faut 2 - xx + 1 ≥ 0 avec x ≠ -1.
| x | -∞ | -1 | 2 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 - x | + | + | 0 | - | |||
| x + 1 | - | 0 | + | + | |||
| quotient | - | ‖ | + | 0 | - |
Le quotient est positif ou nul sur ]-1 ;2] : Df = ]-1 ;2].
5Exercice 5
(Type BAC) Une entreprise de transport de Boké a un coût total mensuel C(q) = q2 + 20q + 300 (en milliers de GNF) pour q trajets, avec au plus 50 trajets par mois. Le coût moyen est CM(q) = C(q)q.
a) Donne l'ensemble de définition de la fonction CM, puis son domaine d'étude dans ce contexte.
b) Calcule CM(10) et CM(30). Interprète.
c) Montre que, pour q dans le domaine d'étude, CM(q) = q + 20 + 300q.
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a) Le seul obstacle est la division par q : DCM = ℝ^*. Dans le contexte, q est un nombre de trajets, strictement positif et au plus égal à 50 : le domaine d'étude est ]0 ;50].
b) CM(10) = 100 + 200 + 30010 = 60 ; CM(30) = 900 + 600 + 30030 = 1 80030 = 60. Pour 10 trajets comme pour 30 trajets, chaque trajet coûte en moyenne 60 000 GNF.
c) Pour q ≠ 0 : CM(q) = q2q + 20qq + 300q = q + 20 + 300q.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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