Karamö, le prof virtuelLeçon 17 sur 33
Étude de fonctions comportant ln : limites, dérivée, variations, symétrie, courbe
Je sais étudier complètement une fonction qui contient ln : limites avec les croissances comparées, dérivée de ln u, variations, éléments de symétrie et courbe.
- 1 h 30
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Connaître les limites de ln en 0 et en +∞ et les croissances comparées
- Dériver ln(u(x)) et les produits ou quotients contenant ln
- Dresser le tableau de variations d'une fonction comportant ln
- Montrer qu'une droite est axe de symétrie ou qu'un point est centre de symétrie d'une courbe
- Tracer la courbe avec ses asymptotes et ses tangentes
Avant de commencer : La définition et les propriétés algébriques de ln, les limites, les dérivées et le plan d'étude d'une fonction.
1Je découvre
Au lycée de Faranah, Lansana prépare le BAC avec un vieux sujet. Le problème commence ainsi : « Soit f(x) = x - ln x définie sur ]0 ; +∞[. Étudier les variations de f et tracer sa courbe. »
Il sait dériver x et ln x, donc la dérivée ne lui fait pas peur. Mais pour la limite en +∞, il bloque : x tend vers +∞, ln x aussi, et il obtient « +∞ - ∞ », une forme indéterminée. Qui l'emporte, x ou ln x ?
Il calcule quelques valeurs : pour x = 100, ln x ≈ 4,6 ; pour x = 10 000, ln x ≈ 9,2. Le logarithme grandit, mais beaucoup plus lentement que x.
Comment calculer les limites des fonctions avec ln, les dériver et mener leur étude complète ?
2Je comprends
1. Limites de la fonction ln
limx → +∞ ln x = +∞ limx → 0^+ ln x = -∞
La seconde limite signifie que l'axe des ordonnées (la droite x = 0) est asymptote verticale à la courbe de ln.
2. Les croissances comparées
Pour lever les formes indéterminées, on utilise deux résultats (admis) :
limx → +∞ ln xx = 0 limx → 0^+ x ln x = 0
On les retient en disant : « x l'emporte sur ln x ». Plus généralement, pour n ≥ 1 : limx → +∞ ln xxn = 0 et limx → 0^+ xn ln x = 0.
Exemple
Calculer lim (x → +∞) de (x − ln x).
C'est une forme ∞ − ∞. On factorise par x :
x − ln x = x(1 − ln x / x).
Or ln x / x → 0, donc 1 − ln x / x → 1, et x → +∞.
Donc lim (x → +∞) (x − ln x) = +∞.
3. Dérivée de ln u
Si u est dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors ln(u) est dérivable sur I et :
(ln u)' = u'u.
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| ln x | 1x |
| ln(3x + 1) | 33x + 1 |
| ln(x2 + 1) | 2xx2 + 1 |
| x ln x | 1 × ln x + x × 1x = ln x + 1 |
| ln xx | 1x × x - ln x × 1x2 = 1 - ln xx2 |
4. Une étude complète
Exemple
Étude de f(x) = x − ln x sur ]0 ; +∞[.
Limites :
en 0⁺ : x → 0 et −ln x → +∞, donc f(x) → +∞ (la droite x = 0 est asymptote verticale) ;
en +∞ : on a vu que f(x) → +∞.
Dérivée : f'(x) = 1 − 1/x = (x − 1)/x.
Sur ]0 ; +∞[, x > 0, donc f'(x) a le signe de x − 1 :
f'(x) < 0 sur ]0 ; 1[, f'(1) = 0, f'(x) > 0 sur ]1 ; +∞[.
Variations : f décroît de +∞ à f(1) = 1 − ln 1 = 1 sur ]0 ; 1], puis croît de 1 à +∞ sur [1 ; +∞[.
Minimum : f(1) = 1. On en déduit que f(x) ≥ 1 > 0 pour tout x > 0, c'est-à-dire ln x < x.
Tangente en e : f(e) = e − 1 et f'(e) = 1 − 1/e.
y = (1 − 1/e)(x − e) + e − 1 = (1 − 1/e)x − e + 1 + e − 1 = (1 − 1/e)x.
Cette tangente passe par l'origine.
5. Éléments de symétrie
Soit mathcalC la courbe de f dans un repère orthogonal.
- Axe de symétrie. La droite d'équation x = a est axe de symétrie de mathcalC si, pour tout x tel que 2a - x soit dans Df : f(2a - x) = f(x).
- Centre de symétrie. Le point Ω(a ; b) est centre de symétrie de mathcalC si, pour tout x tel que 2a - x soit dans Df : f(2a - x) + f(x) = 2b.
Cas particuliers : si f(-x) = f(x) (f paire), l'axe des ordonnées est axe de symétrie ; si f(-x) = -f(x) (f impaire), l'origine est centre de symétrie.
Méthode
Pour montrer qu'une droite x = a est axe de symétrie :
- Je vérifie que D_f est symétrique par rapport à a (si x est dans D_f, alors 2a − x aussi).
- Je calcule f(2a − x) en remplaçant x par (2a − x) partout, avec des parenthèses.
- Je développe et je simplifie jusqu'à retrouver f(x).
- Je conclus : « f(2a − x) = f(x), donc la droite x = a est axe de symétrie de la courbe ».
(Pour un centre Ω(a ; b), je calcule f(2a − x) + f(x) et je montre que cela vaut 2b.)
Exemple
Montrer que la droite x = 2 est axe de symétrie de la courbe de g(x) = ln(x² − 4x + 5).
D_g : x² − 4x + 5 a pour discriminant 16 − 20 = −4 < 0 et a = 1 > 0, il est toujours positif : D_g = ℝ, symétrique par rapport à 2.
g(4 − x) = ln[(4 − x)² − 4(4 − x) + 5] = ln[16 − 8x + x² − 16 + 4x + 5] = ln(x² − 4x + 5) = g(x).
Donc la droite x = 2 est axe de symétrie.
Dérivée : g'(x) = (2x − 4)/(x² − 4x + 5), négative pour x < 2 et positive pour x > 2.
Minimum : g(2) = ln(4 − 8 + 5) = ln 1 = 0.
Exemple
Montrer que la fonction h(x) = ln[(1 + x)/(1 − x)], définie sur ]−1 ; 1[, est impaire.
L'intervalle ]−1 ; 1[ est symétrique par rapport à 0.
h(−x) = ln[(1 − x)/(1 + x)] = −ln[(1 + x)/(1 − x)] = −h(x), car ln(1/a) = −ln a.
h est impaire : l'origine O est centre de symétrie de sa courbe.
3Je retiens
Je retiens
lim ln x = +∞ en +∞ ; lim ln x = −∞ en 0⁺ (asymptote verticale x = 0).
Croissances comparées : lim (ln x)/x = 0 en +∞ ; lim x ln x = 0 en 0⁺.
(ln u)' = u'/u, pour u > 0 ; (x ln x)' = ln x + 1 ; ((ln x)/x)' = (1 − ln x)/x².
Axe x = a : f(2a − x) = f(x). Centre Ω(a ; b) : f(2a − x) + f(x) = 2b.
f paire : axe des ordonnées ; f impaire : centre O.
Toujours commencer par l'ensemble de définition : ln(u) exige u > 0.
4Erreurs fréquentes
- Conclure « +∞ − ∞ = 0 » pour x − ln x : c'est une forme indéterminée, il faut factoriser par x et utiliser (ln x)/x → 0.
- Dériver ln(3x + 1) en 1/(3x + 1) : on oublie u' ; la bonne dérivée est 3/(3x + 1).
- Oublier que x > 0 sur ]0 ; +∞[ : dans (x − 1)/x, le dénominateur est positif et le signe est celui de x − 1.
- Remplacer x par 2a − x sans parenthèses : (4 − x)² n'est pas 4 − x².
5Je m’exerce
1Exercice 1
Calcule les limites.
a) limx → 0^+ (ln x + x)
b) limx → +∞ (x - 2 ln x)
c) limx → +∞ ln xx2
d) limx → 0^+ (x ln x + 3)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) ln x → -∞ et x → 0 : la limite est -∞.
b) Forme ∞ - ∞. x - 2 ln x = x(1 - 2ln xx) ; comme ln xx → 0, la parenthèse tend vers 1. La limite est +∞.
c) ln xx2 = ln xx × 1x ; les deux facteurs tendent vers 0. La limite est 0.
d) x ln x → 0, donc la limite est 3.
2Exercice 2
Calcule la dérivée de chaque fonction sur l'intervalle indiqué.
a) f(x) = x ln x sur ]0 ; +∞[
b) g(x) = ln(2x + 5) sur ]-52 ; +∞[
c) h(x) = ln(x2 + 4) sur ℝ
d) k(x) = (ln x)2 sur ]0 ; +∞[
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) f'(x) = 1 × ln x + x × 1x = ln x + 1.
b) u = 2x + 5, u' = 2 : g'(x) = 22x + 5.
c) u = x2 + 4, u' = 2x : h'(x) = 2xx2 + 4.
d) k = u2 avec u = ln x : k'(x) = 2u'u = 2 × 1x × ln x = 2 ln xx.
3Exercice 3
Soit f(x) = x ln x sur ]0 ; +∞[.
a) Calcule les limites de f en 0^+ et en +∞.
b) Étudie le signe de f'(x) = ln x + 1 et dresse le tableau de variations de f.
c) Donne le minimum de f (valeur exacte et valeur approchée au centième).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En 0^+ : x ln x → 0 (croissances comparées). En +∞ : x → +∞ et ln x → +∞, donc f(x) → +∞.
b) ln x + 1 > 0 ⇔ ln x > -1 ⇔ x > 1e (car ln1e = -1 et ln est croissante). f est décroissante sur ]0 ; 1e] (de 0 à -1e) et croissante sur [1e ; +∞[ (de -1e à +∞).
c) f(1e) = 1e × ln1e = 1e × (-1) = -1e ≈ -0,37. C'est le minimum de f.
4Exercice 4
Soit f(x) = ln[x(4 - x)].
a) Détermine Df.
b) Montre que la droite x = 2 est axe de symétrie de la courbe de f.
c) Calcule f'(x) et dresse le tableau de variations de f (limites comprises).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) x(4 - x) > 0 : ce trinôme (-x2 + 4x, a = -1) est positif entre ses racines 0 et 4. Df = ]0 ; 4[.
b) Df est symétrique par rapport à 2 (si 0 < x < 4, alors 0 < 4 - x < 4). f(4 - x) = ln[(4 - x)(4 - (4 - x))] = ln[(4 - x)x] = f(x). La droite x = 2 est axe de symétrie.
c) u = 4x - x2, u' = 4 - 2x : f'(x) = 4 - 2xx(4 - x). Sur ]0 ; 4[, le dénominateur est positif : f'(x) > 0 sur ]0 ; 2[, f'(2) = 0, f'(x) < 0 sur ]2 ; 4[.
Limites : en 0^+ et en 4^-, x(4 - x) → 0^+, donc f(x) → -∞.
f croît de -∞ à f(2) = ln 4 sur ]0 ; 2], puis décroît de ln 4 à -∞ sur [2 ; 4[. Maximum : ln 4 = 2 ln 2.
5Exercice 5
(Type BAC) Soit f(x) = 1 + ln xx sur ]0 ; +∞[, et (C) sa courbe.
a) Calcule limx → 0^+ f(x) et limx → +∞ f(x). Interprète graphiquement.
b) Montre que f'(x) = -ln xx2 et dresse le tableau de variations de f.
c) Résous f(x) = 0. Donne les coordonnées du point d'intersection de (C) avec l'axe des abscisses.
d) Écris l'équation de la tangente à (C) au point d'abscisse 1.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) En 0^+ : 1 + ln x → -∞ et 1x → +∞, donc f(x) = (1 + ln x) × 1x → -∞. La droite x = 0 est asymptote verticale.
En +∞ : f(x) = 1x + ln xx → 0 + 0 = 0. La droite y = 0 est asymptote horizontale.
b) f'(x) = 1x × x - (1 + ln x) × 1x2 = 1 - 1 - ln xx2 = -ln xx2.
Le signe est celui de -ln x : positif sur ]0 ; 1[, nul en 1, négatif sur ]1 ; +∞[.
f croît de -∞ à f(1) = 1 sur ]0 ; 1], puis décroît de 1 vers 0 sur [1 ; +∞[. Maximum : f(1) = 1.
c) f(x) = 0 ⇔ 1 + ln x = 0 ⇔ ln x = -1 ⇔ x = 1e. Le point d'intersection est (1e ; 0), avec 1e ≈ 0,37.
d) f(1) = 1 et f'(1) = -ln 11 = 0. La tangente est horizontale : y = 1.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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