Karamö, le prof virtuelLeçon 18 sur 33
Équations et inéquations avec ln
Je sais résoudre une équation ou une inéquation contenant ln en commençant toujours par les conditions d'existence, et je l'applique à des problèmes de durée.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Écrire les conditions d'existence et l'ensemble de validité
- Résoudre ln a = ln b et ln a < ln b
- Résoudre ln x = k et ln x < k
- Regrouper des logarithmes avec les propriétés algébriques avant de résoudre
- Résoudre une équation en ln x par changement d'inconnue
- Trouver une durée n dans une inéquation du type qⁿ ≥ A
Avant de commencer : Les propriétés algébriques de ln, son sens de variation, la résolution des équations et inéquations du premier et du second degré.
1Je découvre
Ousmane, commerçant au grand marché de Kindia, a déposé 2 000 000 GNF sur un compte d'épargne rémunéré à 8 % d'intérêts composés par an. Il aimerait disposer d'au moins 3 000 000 GNF pour acheter un moulin à céréales. Chaque année, son capital est multiplié par 1,08.
Au bout de n années, il possède 2 000 000 × 1,08n GNF. Il doit donc résoudre l'inéquation :
2 000 000 × 1,08n ≥ 3 000 000, c'est-à-dire 1,08n ≥ 1,5.
L'inconnue n est dans l'exposant. Dans la leçon précédente, tu as vu que le logarithme « fait descendre » les exposants. Mais attention : on ne peut pas faire n'importe quoi avec une inégalité et des logarithmes, et on ne peut prendre le logarithme que de nombres strictement positifs.
Comment résoudre proprement les équations et inéquations qui contiennent ln, ou dont l'inconnue est un exposant ?
2Je comprends
1. Les règles de base
Toutes les résolutions reposent sur le fait que ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[. Pour a > 0 et b > 0 :
| Équation ou inéquation | Équivalente à |
|---|---|
| ln a = ln b | a = b |
| ln a < ln b | a < b |
| ln a ≤ ln b | a ≤ b |
| ln x = k | x = ek |
| ln x < k | 0 < x < ek |
Le nombre ek désigne l'unique réel strictement positif dont le logarithme vaut k (on l'étudiera en détail avec la fonction exponentielle). Par exemple, ln x = 2 ⇔ x = e2, et ln x = -1 ⇔ x = e-1 = 1e.
2. La règle d'or : les conditions d'existence d'abord
Avant de résoudre, il faut écrire que chaque expression placée dans un ln est strictement positive. L'ensemble des x qui vérifient toutes ces conditions s'appelle l'ensemble de validité (ou domaine de résolution), noté ici D. À la fin, on ne garde que les solutions qui appartiennent à D.
Méthode
Pour résoudre une équation ou une inéquation avec ln :
- J'écris les conditions d'existence (chaque expression dans un ln est > 0) et je détermine D.
- Je regroupe les logarithmes avec les propriétés pour obtenir ln A = ln B, ln A < ln B, ou ln A = k.
- Je supprime les ln : A = B, A < B, ou A = e^k (le sens de l'inégalité est conservé).
- Je résous l'équation ou l'inéquation obtenue (premier ou second degré).
- Je garde seulement les solutions qui sont dans D, et j'écris S.
Exemple
Résoudre ln(2x − 1) = ln(x + 3).
- Conditions : 2x − 1 > 0 ⇔ x > 1/2 ; x + 3 > 0 ⇔ x > −3. Donc D = ]1/2 ; +∞[.
- L'équation équivaut à 2x − 1 = x + 3.
- x = 4.
- 4 appartient à D. S = {4}.
Exemple
Résoudre ln x + ln(x − 2) = ln 3.
- Conditions : x > 0 et x − 2 > 0, donc D = ]2 ; +∞[.
- ln x + ln(x − 2) = ln[x(x − 2)], donc l'équation s'écrit ln(x² − 2x) = ln 3.
- x² − 2x = 3, soit x² − 2x − 3 = 0.
- Δ = 4 + 12 = 16 ; x₁ = (2 − 4)/2 = −1 et x₂ = (2 + 4)/2 = 3.
- −1 n'est pas dans D (on le rejette) ; 3 est dans D. S = {3}.
Vérification : ln 3 + ln 1 = ln 3 + 0 = ln 3. Juste.
Exemple
Résoudre ln(x − 1) ≤ ln(5 − x).
- Conditions : x − 1 > 0 et 5 − x > 0, donc D = ]1 ; 5[.
- ln est croissante : x − 1 ≤ 5 − x.
- 2x ≤ 6, soit x ≤ 3.
- On croise avec D : S = ]1 ; 3].
3. Changement d'inconnue
Quand l'équation contient (ln x)2 et ln x, on pose X = ln x : on obtient une équation du second degré en X.
Exemple
Résoudre (ln x)² − ln x − 2 = 0.
Conditions : x > 0, D = ]0 ; +∞[.
On pose X = ln x : X² − X − 2 = 0. Δ = 1 + 8 = 9, X₁ = (1 − 3)/2 = −1 et X₂ = (1 + 3)/2 = 2.
ln x = −1 ⇔ x = e⁻¹ = 1/e ; ln x = 2 ⇔ x = e².
Les deux valeurs sont positives. S = {1/e ; e²}.
4. Quand l'inconnue est un exposant
Pour résoudre qn ≥ A (avec q > 0 et A > 0), on applique ln aux deux membres (ln est croissante, le sens est conservé) :
n ln q ≥ ln A.
Ensuite, on divise par ln q, et c'est là qu'il faut faire attention :
- si q > 1, alors ln q > 0 : le sens est conservé ;
- si 0 < q < 1, alors ln q < 0 : le sens est inversé.
- ln q > 0
- qⁿ ≥ A donne n ≥ ln A / ln q
- exemple : 1,08ⁿ ≥ 1,5
- n ≥ 5,27
- ln q < 0
- qⁿ ≤ A donne n ≥ ln A / ln q
- exemple : 0,9ⁿ ≤ 0,5
- n ≥ 6,58
Retour au moulin d'Ousmane. 1,08n ≥ 1,5 ⇔ n ln 1,08 ≥ ln 1,5. Comme ln 1,08 > 0 :
n ≥ ln 1,5ln 1,08 ≈ 0,40550,0770 ≈ 5,27.
Le plus petit entier est n = 6. Vérification : 1,085 ≈ 1,469 < 1,5 et 1,086 ≈ 1,587 ≥ 1,5. Ousmane pourra acheter son moulin au bout de 6 ans.
3Je retiens
Je retiens
Toujours commencer par les conditions d'existence : chaque expression dans un ln doit être > 0.
ln a = ln b ⇔ a = b ; ln a < ln b ⇔ a < b (pour a > 0 et b > 0).
ln x = k ⇔ x = e^k ; ln x < k ⇔ 0 < x < e^k.
Regrouper avec ln a + ln b = ln(ab) et ln a − ln b = ln(a/b) avant de supprimer les ln.
(ln x)² + b ln x + c = 0 : poser X = ln x.
qⁿ ≥ A ⇔ n ln q ≥ ln A ; diviser par ln q inverse le sens si 0 < q < 1.
À la fin, ne garder que les solutions qui sont dans l'ensemble de validité.
4Erreurs fréquentes
- Oublier les conditions d'existence : dans ln x + ln(x − 2) = ln 3, la valeur −1 est solution de l'équation du second degré mais doit être rejetée.
- Supprimer les ln dans une somme : ln x + ln(x − 2) = ln 3 ne donne pas x + x − 2 = 3 ; il faut d'abord écrire ln[x(x − 2)].
- Garder le sens de l'inégalité en divisant par ln 0,9, qui est négatif : le sens doit être inversé.
- Écrire S = ]−∞ ; 3] au lieu de croiser avec l'ensemble de validité ]1 ; 5[.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Résous dans ℝ.
a) ln(3x - 2) = ln(x + 4)
b) ln x = 2
c) ln(x + 1) = 0
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Conditions : 3x - 2 > 0 et x + 4 > 0, donc D = ]23 ; +∞[. L'équation équivaut à 3x - 2 = x + 4, soit 2x = 6, x = 3. Comme 3 ∈ D : S = {3}.
b) Condition x > 0. ln x = 2 ⇔ x = e2. S = {e2} (environ 7,39).
c) Condition x > -1. ln(x + 1) = 0 = ln 1 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0. Comme 0 > -1 : S = {0}.
2Exercice 2
Résous dans ℝ.
a) ln(x + 1) + ln(x - 1) = ln 8
b) ln x + ln(x + 3) = 2 ln 2
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Conditions : x + 1 > 0 et x - 1 > 0, donc D = ]1 ; +∞[. L'équation s'écrit ln[(x + 1)(x - 1)] = ln 8, soit x2 - 1 = 8, x2 = 9, x = 3 ou x = -3. On rejette -3 ∉ D. S = {3}.
b) Conditions : x > 0 et x + 3 > 0, donc D = ]0 ; +∞[. 2 ln 2 = ln 4, donc l'équation s'écrit ln[x(x + 3)] = ln 4, soit x2 + 3x - 4 = 0. Δ = 9 + 16 = 25, x1 = -3 - 52 = -4 et x2 = -3 + 52 = 1. On rejette -4. S = {1}.
3Exercice 3
Résous dans ℝ.
a) ln(2x + 1) ≤ ln(x + 5)
b) ln(x - 3) < 0
c) ln x ≥ -1
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Conditions : 2x + 1 > 0 et x + 5 > 0, donc D = ]-12 ; +∞[. ln est croissante : 2x + 1 ≤ x + 5 ⇔ x ≤ 4. S = ]-12 ; 4].
b) Condition x > 3. ln(x - 3) < ln 1 ⇔ x - 3 < 1 ⇔ x < 4. S = ]3 ; 4[.
c) Condition x > 0. ln x ≥ -1 = ln(e-1) ⇔ x ≥ e-1 = 1e. S = [1e ; +∞[.
4Exercice 4
On pose X = ln x.
a) Résous (ln x)2 - 3 ln x + 2 = 0.
b) Déduis-en les solutions de (ln x)2 - 3 ln x + 2 < 0.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Condition x > 0. X2 - 3X + 2 = 0 : Δ = 9 - 8 = 1, X1 = 1, X2 = 2. Donc ln x = 1, soit x = e, ou ln x = 2, soit x = e2. S = {e ; e2}.
b) X2 - 3X + 2 < 0 entre les racines (a = 1 > 0) : 1 < X < 2, soit 1 < ln x < 2, c'est-à-dire ln e < ln x < ln(e2). ln est croissante : e < x < e2. S = ]e ; e2[.
5Exercice 5
(Type BAC)
a) Le prix d'un sac de ciment augmente de 12 % par an. Au bout de combien d'années entières aura-t-il au moins doublé ? (On donne ln 2 ≈ 0,6931 et ln 1,12 ≈ 0,1133.)
b) Un stock de semences de riz perd 10 % de son pouvoir germinatif chaque année : il est multiplié par 0,9 chaque année. Au bout de combien d'années entières aura-t-il perdu au moins la moitié de sa valeur ? (On donne ln 0,5 ≈ -0,6931 et ln 0,9 ≈ -0,1054.)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Au bout de n années, le prix est multiplié par 1,12n. On cherche 1,12n ≥ 2, soit n ln 1,12 ≥ ln 2. Comme ln 1,12 > 0 : n ≥ 0,69310,1133 ≈ 6,12. Le prix aura au moins doublé au bout de 7 ans.
b) On cherche 0,9n ≤ 0,5, soit n ln 0,9 ≤ ln 0,5. Comme ln 0,9 < 0, on divise en inversant le sens : n ≥ ln 0,5ln 0,9 ≈ -0,6931-0,1054 ≈ 6,58. Il faut 7 années. Vérification : 0,96 ≈ 0,531 et 0,97 ≈ 0,478.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
Toutes les leçons de Mathématiques · Terminale SS
Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.
