Karamö, le prof virtuelLeçon 21 sur 33
Croissance et décroissance exponentielles : applications économiques
Je sais modéliser une grandeur qui augmente ou diminue d'un pourcentage constant, calculer sa valeur future, un temps de doublement ou de réduction de moitié, et un taux moyen.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une évolution à taux constant et écrire le modèle V(t) = V₀ × qᵗ
- Passer du taux t % au coefficient multiplicateur q = 1 + t/100 et inversement
- Écrire le modèle sous la forme V₀ e^(kt) avec k = ln q
- Calculer un temps de doublement ou de réduction de moitié avec ln
- Calculer un taux d'évolution annuel moyen
Avant de commencer : Les pourcentages et coefficients multiplicateurs, les fonctions ln et exp, les inéquations du type qⁿ ≥ A.
1Je découvre
Alpha, transporteur à Mamou, a acheté une moto neuve 12 000 000 GNF pour faire du taxi-moto. Un mécanicien lui explique qu'une moto perd environ 15 % de sa valeur chaque année. Alpha se demande combien vaudra sa moto dans 3 ans, et quand elle vaudra moins de la moitié de son prix d'achat, pour la revendre au bon moment.
Il fait un premier calcul faux : « 15 % par an, donc 45 % en 3 ans : elle vaudra 55 % du prix. » Sa sœur Kadiatou le corrige : « Non ! Chaque année, on enlève 15 % de la valeur de l'année précédente, pas du prix de départ. La baisse se calcule sur une valeur de plus en plus petite. »
Le même raisonnement s'applique à une population qui augmente de 3 % par an, à une épargne placée à intérêts composés ou aux prix qui montent avec l'inflation.
Comment modéliser une grandeur qui évolue d'un pourcentage constant, et comment répondre aux questions « combien dans n ans ? » et « au bout de combien de temps ? » ?
2Je comprends
1. Coefficient multiplicateur
Augmenter une valeur de t %, c'est la multiplier par q = 1 + t100. La diminuer de t %, c'est la multiplier par q = 1 - t100.
| Évolution | Coefficient q |
|---|---|
| hausse de 3 % | 1,03 |
| hausse de 12 % | 1,12 |
| baisse de 15 % | 0,85 |
| baisse de 20 % | 0,80 |
2. Le modèle exponentiel discret
Si une grandeur de valeur initiale V0 évolue chaque année du même pourcentage, de coefficient q, alors après n années :
Vn = V0 × qn.
- Si q > 1 : croissance exponentielle (la grandeur augmente de plus en plus vite en valeur absolue).
- Si 0 < q < 1 : décroissance exponentielle (la grandeur diminue et se rapproche de 0 sans jamais l'atteindre).
Exemple
Valeur de la moto d'Alpha après 3 ans.
Baisse de 15 % par an : q = 0,85.
V₃ = 12 000 000 × 0,85³ = 12 000 000 × 0,614125 = 7 369 500 GNF.
(Le calcul faux d'Alpha donnait 12 000 000 × 0,55 = 6 600 000 GNF.)
3. Le modèle exponentiel continu
Comme q = eln q, on peut écrire qt = et ln q. En posant k = ln q :
V(t) = V0 ekt.
- k > 0 (car q > 1) : croissance ; k < 0 (car q < 1) : décroissance.
- Cette forme permet de calculer la valeur à n'importe quel instant t, même non entier (par exemple 2,5 ans).
- Inversement, si un modèle est donné sous la forme V0 ekt, le coefficient annuel est q = ek, et le taux annuel est ek - 1.
Pour la moto : k = ln 0,85 ≈ -0,1625, donc V(t) ≈ 12 000 000 e-0,1625 t.
4. Temps de doublement et de réduction de moitié
Réduction de moitié : on cherche n tel que qn ≤ 12, avec 0 < q < 1.
n ln q ≤ ln 0,5 et, comme ln q < 0 : n ≥ ln 0,5ln q.
Doublement : on cherche n tel que qn ≥ 2, avec q > 1 : n ≥ ln 2ln q.
Point important : le temps de doublement ne dépend pas de la valeur de départ. Qu'une ville compte 10 000 ou 100 000 habitants, à 3 % par an elle double dans le même temps.
Exemple
Quand la moto d'Alpha vaudra-t-elle moins de la moitié de son prix ?
On cherche 0,85ⁿ ≤ 0,5 : n ≥ ln 0,5 / ln 0,85 ≈ (−0,6931)/(−0,1625) ≈ 4,27.
Donc n = 5 : au bout de 5 ans (vérification : 0,85⁴ ≈ 0,522 > 0,5 et 0,85⁵ ≈ 0,444 < 0,5).
Exemple
Une ville (hypothétique) voit sa population augmenter de 3 % par an. En combien de temps double-t-elle ?
q = 1,03 : n ≥ ln 2 / ln 1,03 ≈ 0,6931 / 0,0296 ≈ 23,4.
La population double au cours de la 24ᵉ année (1,03²³ ≈ 1,974 et 1,03²⁴ ≈ 2,033).
5. Taux d'évolution moyen
Si une grandeur passe de V0 à Vn en n années, le taux annuel moyen tm est le taux constant qui produirait la même évolution :
(1 + tm)n = VnV0, donc 1 + tm = (VnV0)1n = e1nlnVnV0.
Méthode
Pour résoudre un problème d'évolution exponentielle :
- Je repère la valeur initiale V₀ et le pourcentage d'évolution par période.
- Je calcule le coefficient q = 1 + t/100 (hausse) ou q = 1 − t/100 (baisse).
- J'écris le modèle Vₙ = V₀ × qⁿ (ou V₀ e^(kt) avec k = ln q).
- Pour une valeur future, je remplace n et je calcule.
- Pour une durée, je résous qⁿ ≥ A ou qⁿ ≤ A avec ln, en inversant le sens si ln q < 0.
- Je réponds par un nombre entier de périodes et je vérifie avec les deux valeurs voisines.
Exemple
Le chiffre d'affaires d'une coopérative de karité est passé de 50 millions à 80 millions de GNF en 5 ans. Quel est le taux annuel moyen ?
1 + t_m = (80/50)^(1/5) = 1,6^(1/5) = e^(ln 1,6 / 5) ≈ e^(0,0940) ≈ 1,0986.
Le taux annuel moyen est d'environ 9,86 % (et non 60 % / 5 = 12 %).
3Je retiens
Je retiens
Hausse de t % : q = 1 + t/100 ; baisse de t % : q = 1 − t/100.
Évolution à taux constant : Vₙ = V₀ × qⁿ = V₀ e^(kn) avec k = ln q.
q > 1 (k > 0) : croissance exponentielle ; 0 < q < 1 (k < 0) : décroissance exponentielle.
Temps de doublement : n ≥ ln 2 / ln q ; réduction de moitié : n ≥ ln 0,5 / ln q.
Le temps de doublement ne dépend pas de V₀.
Taux moyen sur n périodes : 1 + t_m = (Vₙ/V₀)^(1/n).
Modèle V₀ e^(kt) : taux par période = e^k − 1.
4Erreurs fréquentes
- Additionner les pourcentages : trois baisses de 15 % ne font pas une baisse de 45 % (le coefficient est 0,85³ ≈ 0,614, soit une baisse d'environ 38,6 %).
- Confondre q et t : pour une baisse de 15 %, le coefficient est 0,85, pas 0,15 ni −0,15.
- Oublier d'inverser l'inégalité en divisant par ln q quand q < 1.
- Calculer un taux moyen en divisant la hausse totale par le nombre d'années : il faut une racine n-ième.
5Je m’exerce
1Exercice 1
Pour chaque modèle (t en années), dis s'il s'agit d'une croissance ou d'une décroissance et donne le taux annuel.
a) V(t) = 5 000 × 1,04t
b) V(t) = 2 × 0,75t
c) N(t) = 100 e0,05t (donne le taux arrondi au centième de pour cent)
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) q = 1,04 > 1 : croissance de 4 % par an.
b) q = 0,75 < 1 : décroissance de 25 % par an.
c) k = 0,05 > 0 : croissance. Coefficient annuel e0,05 ≈ 1,0513, soit un taux d'environ 5,13 % par an.
2Exercice 2
Un village (hypothétique) de la région de Kankan compte 60 000 habitants et sa population augmente de 2,5 % par an.
a) Écris le modèle Pn donnant la population après n années.
b) Estime la population dans 10 ans (arrondie à l'unité).
c) Au bout de combien d'années la population aura-t-elle doublé ?
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a) q = 1,025 et Pn = 60 000 × 1,025n.
b) P10 = 60 000 × 1,02510 ≈ 76 805 habitants.
c) 1,025n ≥ 2 ⇔ n ≥ ln 2ln 1,025 ≈ 0,69310,0247 ≈ 28,07. La population aura doublé au bout de 29 ans (vérification : 1,02528 ≈ 1,996 et 1,02529 ≈ 2,046).
3Exercice 3
Une entreprise de travaux publics achète un camion 400 000 000 GNF. Sa valeur baisse de 20 % par an.
a) Quelle est sa valeur après 5 ans ?
b) Au bout de combien d'années entières vaudra-t-il moins de 100 000 000 GNF ?
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a) q = 0,8. V5 = 400 000 000 × 0,85 = 400 000 000 × 0,32768 = 131 072 000 GNF.
b) On cherche 400 000 000 × 0,8n < 100 000 000, soit 0,8n < 0,25. Donc n ln 0,8 < ln 0,25 et, comme ln 0,8 < 0 : n > ln 0,25ln 0,8 ≈ -1,3863-0,2231 ≈ 6,21. Il faut 7 ans (vérification : 0,86 ≈ 0,262 et 0,87 ≈ 0,210).
4Exercice 4
Le nombre de clients d'un service de transfert d'argent par téléphone dans une préfecture est passé de 50 000 à 80 000 en 5 ans (données fictives). Calcule le taux annuel moyen d'évolution, arrondi au dixième de pour cent.
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1 + tm = (80 00050 000)15 = 1,60,2 = eln 1,65 ≈ e0,0940 ≈ 1,0986. Le taux annuel moyen est d'environ 9,9 %.
5Exercice 5
(Type BAC) On modélise le prix d'un panier de produits de base, en GNF, par P(t) = 10 000 e0,06t, où t est le nombre d'années écoulées depuis 2020 (modèle théorique).
a) Calcule P(0) et P(5) (à l'unité près).
b) Montre que, chaque année, le prix est multiplié par un même nombre ; donne le taux annuel d'augmentation (au centième de pour cent).
c) En quelle année le prix du panier aura-t-il doublé ?
d) Un salaire reste fixé à 1 000 000 GNF pendant 5 ans. Quelle part de son pouvoir d'achat (en pourcentage) le salarié a-t-il perdue ? (Indication : calcule P(0)P(5) = e-0,3.)
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a) P(0) = 10 000 e0 = 10 000 GNF. P(5) = 10 000 e0,3 ≈ 13 499 GNF.
b) P(t + 1) = 10 000 e0,06t + 0,06 = P(t) × e0,06. Le prix est multiplié chaque année par e0,06 ≈ 1,0618, soit une hausse d'environ 6,18 % par an.
c) P(t) ≥ 20 000 ⇔ e0,06t ≥ 2 ⇔ 0,06t ≥ ln 2 ⇔ t ≥ ln 20,06 ≈ 11,55. Le prix aura doublé au cours de l'année 2031 (entre t = 11 et t = 12) ; il est au moins doublé début 2032, pour t = 12.
d) Avec le même salaire, on peut acheter 1 000 000P(5) paniers au lieu de 1 000 000P(0). Le rapport est P(0)P(5) = e-0,3 ≈ 0,741. Le pouvoir d'achat ne représente plus que 74,1 % de sa valeur initiale : la perte est d'environ 25,9 %.
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6Je vérifie
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