Mathématiques · Terminale SS Prépare le BAC

Leçon 20 sur 33

Étude de fonctions comportant exp

Je sais étudier complètement une fonction qui contient exp : dérivée de e^u, limites avec les croissances comparées, variations, asymptotes, tangente et courbe.

1 h 30
5 exercices corrigés
1 schéma
QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

Dériver e^(u(x)) et les produits ou quotients contenant exp
Utiliser les croissances comparées pour lever les formes indéterminées
Étudier le signe de la dérivée en utilisant eˣ > 0
Déterminer les asymptotes, dont l'asymptote oblique
Mener une étude complète de type BAC et tracer la courbe

Avant de commencer : La fonction exponentielle (définition, propriétés, limites), le calcul des dérivées, le plan d'étude d'une fonction et les asymptotes.

1Je découvre

Mamadou, élève de Terminale sociale à Boké, s'entraîne sur un sujet de BAC : « Soit f(x) = (x - 1)e^x. Étudier f et tracer sa courbe. »

Il commence par la limite en -∞. Le facteur x - 1 tend vers -∞ et e^x tend vers 0. Il obtient « -∞ × 0 », une forme indéterminée. Laquelle des deux tendances l'emporte ?

Il fait quelques calculs : pour x = -10, (x - 1)e^x = -11 × e^-10 ≈ -0,0005 ; pour x = -20, on trouve environ -0,000 000 04. Le produit semble s'écraser vers 0 : l'exponentielle « écrase » le facteur x - 1.

Pour la dérivée aussi, il hésite : c'est un produit, et il faut dériver e^x.

Comment calculer les limites et la dérivée d'une fonction qui contient exp, et mener son étude jusqu'à la courbe ?

2Je comprends

1. Dérivée de e^u

Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors e^u est dérivable sur I et :

(e^u)' = u' e^u.

Fonction	Dérivée
e^x	e^x
e^3x	3e^3x
e^-x	-e^-x
e^{-2x + 1}	-2e^{-2x + 1}
e^x²	2x e^x²
x e^x	1 × e^x + x e^x = (x + 1)e^x

Point clé pour le signe. Comme e^u > 0 toujours, dans une dérivée de la forme (facteur) × e^u, le signe est celui du facteur.

2. Croissances comparées

On admet les résultats suivants, qui disent que l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x :

lim_{x → +∞} e^xx = +∞ lim_{x → -∞} x e^x = 0 lim_{x → +∞} x e^-x = 0

Plus généralement, pour tout entier n ≥ 1 : lim_{x → +∞} e^xxⁿ = +∞ et lim_{x → -∞} xⁿ e^x = 0.

Exemple

Calculer lim (x → +∞) de (eˣ − x).

Forme ∞ − ∞. On factorise par x : eˣ − x = x(eˣ/x − 1).

Or eˣ/x → +∞, donc la parenthèse → +∞, et x → +∞.

lim (x → +∞) (eˣ − x) = +∞.

3. Première étude complète

Exemple

Étude de f(x) = (x − 1)eˣ sur ℝ.

Limites :

en −∞ : f(x) = x eˣ − eˣ ; x eˣ → 0 et eˣ → 0, donc f(x) → 0. La droite y = 0 est asymptote horizontale en −∞.

en +∞ : x − 1 → +∞ et eˣ → +∞, donc f(x) → +∞.

Dérivée (produit u = x − 1, u' = 1, v = eˣ, v' = eˣ) :

f'(x) = 1 × eˣ + (x − 1)eˣ = x eˣ.

Comme eˣ > 0, f'(x) a le signe de x : négatif sur ]−∞ ; 0[, positif sur ]0 ; +∞[.

Variations : f décroît de 0 à f(0) = (0 − 1) × 1 = −1 sur ]−∞ ; 0], puis croît de −1 à +∞ sur [0 ; +∞[.

Minimum : f(0) = −1.

Intersection avec l'axe des abscisses : (x − 1)eˣ = 0 ⇔ x = 1 (car eˣ ≠ 0).

Tangente en 1 : f(1) = 0 et f'(1) = e, donc y = e(x − 1).

Courbe de f(x) = (x − 1)eˣ : elle se rapproche de l'axe des abscisses en −∞, descend jusqu'au minimum M(0 ; −1), puis coupe l'axe en A(1 ; 0) et monte très vite

4. Une fonction avec asymptote oblique

Exemple

Étude de g(x) = x + e^(−x) sur ℝ.

Dérivée : g'(x) = 1 − e^(−x).

g'(x) > 0 ⇔ e^(−x) < 1 ⇔ −x < 0 ⇔ x > 0. Donc g' < 0 sur ]−∞ ; 0[ et g' > 0 sur ]0 ; +∞[.

Minimum : g(0) = 0 + 1 = 1.

Limites :

en +∞ : x → +∞ et e^(−x) → 0, donc g(x) → +∞.

en −∞ : forme −∞ + ∞. On écrit g(x) = e^(−x)(x eˣ + 1). Or x eˣ → 0, donc la parenthèse → 1, et e^(−x) → +∞. Donc g(x) → +∞.

Asymptote : g(x) − x = e^(−x) → 0 en +∞, donc la droite y = x est asymptote oblique en +∞.

Position : e^(−x) > 0, la courbe est toujours au-dessus de cette droite.

Méthode

Pour étudier une fonction qui contient exp :

Ensemble de définition : souvent ℝ (eˣ existe pour tout x), sauf s'il y a un dénominateur.
Limites : je remplace ; si j'obtiens une forme indéterminée, je factorise par le terme le plus fort et j'utilise les croissances comparées.
Dérivée : j'utilise (eᵘ)' = u' eᵘ et les formules du produit et du quotient ; je factorise par l'exponentielle.
Signe : eᵘ > 0, donc le signe de f' est celui de l'autre facteur.
Tableau de variations, extremums, asymptotes, tangente, puis tracé de la courbe.

5. Tableau des formes indéterminées fréquentes

Expression	En	Astuce	Limite
x e^x	-∞	croissance comparée	0
x e^-x	+∞	= xe^x	0
e^x - x	+∞	factoriser par x	+∞
e^xx	+∞	croissance comparée	+∞
e^2x - 4e^x	+∞	factoriser par e^2x	+∞

3Je retiens

Je retiens

(eᵘ)' = u' eᵘ ; (e^(ax + b))' = a e^(ax + b) ; (x eˣ)' = (x + 1)eˣ.

eᵘ > 0 : le signe de (facteur) × eᵘ est celui du facteur.

Croissances comparées : eˣ/x → +∞ en +∞ ; x eˣ → 0 en −∞ ; x e^(−x) → 0 en +∞.

« L'exponentielle l'emporte sur les puissances de x. »

Forme indéterminée : factoriser par le terme le plus fort avant de conclure.

f(x) − (ax + b) → 0 : asymptote oblique y = ax + b ; son signe donne la position.

4Erreurs fréquentes

Dériver e^(3x) en e^(3x) : on oublie u' ; la bonne dérivée est 3e^(3x).
Dériver x eˣ en eˣ : c'est un produit, la dérivée est eˣ + x eˣ = (x + 1)eˣ.
Écrire « −∞ × 0 = 0 » sans justification : il faut citer la croissance comparée lim x eˣ = 0 en −∞.
Chercher les solutions de eˣ = 0 dans l'étude du signe : l'exponentielle ne s'annule jamais.

5Je m’exerce

1Exercice 1

Calcule la dérivée de chaque fonction.

a) f(x) = e^3x

b) g(x) = e^{-2x + 1}

c) h(x) = x e^x

d) k(x) = e^xx sur ]0 ; +∞[

e) m(x) = e^x²

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) f'(x) = 3e^3x.

b) g'(x) = -2e^{-2x + 1}.

c) h'(x) = e^x + x e^x = (x + 1)e^x.

d) k'(x) = e^x × x - e^x × 1x² = (x - 1)e^xx².

e) u = x², u' = 2x : m'(x) = 2x e^x².

2Exercice 2

Calcule les limites.

a) lim_{x → +∞} (e^x - x)

b) lim_{x → -∞} x e^x

c) lim_{x → +∞} (e^-x + 2)

d) lim_{x → +∞} (x² + 1)e^-x

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) Forme ∞ - ∞ : e^x - x = x(e^xx - 1) et e^xx → +∞. La limite est +∞.

b) Croissance comparée : la limite est 0.

c) e^-x → 0, donc la limite est 2.

d) (x² + 1)e^-x = x²e^x + 1e^x ; x²e^x → 0 (croissance comparée) et 1e^x → 0. La limite est 0.

3Exercice 3

Soit g(x) = x e^-x sur ℝ.

a) Calcule les limites de g en -∞ et en +∞.

b) Montre que g'(x) = (1 - x)e^-x et dresse le tableau de variations de g.

c) Donne le maximum de g (valeur exacte et valeur approchée au centième).

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) En -∞ : x → -∞ et e^-x → +∞, donc g(x) → -∞. En +∞ : x e^-x = xe^x → 0.

b) g'(x) = 1 × e^-x + x × (-e^-x) = (1 - x)e^-x. Le signe est celui de 1 - x : positif sur ]-∞ ; 1[, négatif sur ]1 ; +∞[.

g croît de -∞ à g(1) sur ]-∞ ; 1], puis décroît de g(1) vers 0 sur [1 ; +∞[.

c) g(1) = 1 × e^-1 = 1e ≈ 0,37. C'est le maximum de g.

4Exercice 4

Soit f(x) = e^2x - 4e^x sur ℝ.

a) Calcule les limites de f en -∞ et en +∞.

b) Montre que f'(x) = 2e^x(e^x - 2) et dresse le tableau de variations de f.

c) Résous f(x) = 0.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) En -∞ : e^2x → 0 et e^x → 0, donc f(x) → 0. En +∞ : forme ∞ - ∞ ; f(x) = e^2x(1 - 4e^-x) ; 1 - 4e^-x → 1 et e^2x → +∞, donc f(x) → +∞.

b) f'(x) = 2e^2x - 4e^x = 2e^x(e^x - 2). Comme 2e^x > 0, le signe est celui de e^x - 2 : négatif si x < ln 2, positif si x > ln 2.

f(ln 2) = e^{2 ln 2} - 4e^{ln 2} = 4 - 8 = -4.

f décroît de 0 à -4 sur ]-∞ ; ln 2], puis croît de -4 à +∞ sur [ln 2 ; +∞[.

c) f(x) = e^x(e^x - 4) = 0 ⇔ e^x = 4 (car e^x ≠ 0) ⇔ x = ln 4 = 2 ln 2. S = {ln 4}.

5Exercice 5

(Type BAC) Soit f(x) = (x + 2)e^-x sur ℝ, et (C) sa courbe.

a) Calcule lim_{x → -∞} f(x) et lim_{x → +∞} f(x). Interprète la seconde limite.

b) Montre que f'(x) = -(x + 1)e^-x et dresse le tableau de variations de f.

c) Détermine les points d'intersection de (C) avec les axes.

d) Écris l'équation de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 0.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) En -∞ : x + 2 → -∞ et e^-x → +∞, donc f(x) → -∞.

En +∞ : f(x) = x e^-x + 2e^-x ; x e^-x → 0 et 2e^-x → 0, donc f(x) → 0. La droite y = 0 (axe des abscisses) est asymptote horizontale en +∞.

b) f'(x) = 1 × e^-x + (x + 2)(-e^-x) = (1 - x - 2)e^-x = -(x + 1)e^-x. Le signe est celui de -(x + 1) : positif sur ]-∞ ; -1[, négatif sur ]-1 ; +∞[.

f(-1) = (1)e¹ = e ≈ 2,72.

f croît de -∞ à e sur ]-∞ ; -1], puis décroît de e vers 0 sur [-1 ; +∞[. Maximum : e.

c) Axe des ordonnées : f(0) = 2 × 1 = 2, point (0 ; 2). Axe des abscisses : (x + 2)e^-x = 0 ⇔ x = -2, point (-2 ; 0).

d) f(0) = 2 et f'(0) = -1 × 1 = -1. (T) : y = -x + 2.

Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.

Tu as fini la leçon ?

Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.

Créer mon compte Me connecter

Un point pas clair ? Dis-moi ce qui te bloque dans cette leçon : je t’explique autrement, pas à pas. Demander à Karamö

Toutes les leçons de Mathématiques · Terminale SS

Leçon ajoutée par Kharandi pour compléter le programme de la classe.

Apprendre

Infos gratuites

Kharandi

Étude de fonctions comportant exp

1Je découvre

2Je comprends

1. Dérivée de e^u

2. Croissances comparées

3. Première étude complète

4. Une fonction avec asymptote oblique

5. Tableau des formes indéterminées fréquentes

3Je retiens

4Erreurs fréquentes

5Je m’exerce

6Je vérifie