Karamö, le prof virtuelLeçon 23 sur 33
Les suites
Je sais reconnaître une suite numérique, calculer ses termes (formule explicite ou relation de récurrence), la représenter et étudier son sens de variation.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Définir une suite numérique et utiliser la notation u_n
- Calculer des termes d'une suite définie de façon explicite ou par récurrence
- Représenter graphiquement les premiers termes d'une suite
- Étudier le sens de variation d'une suite et reconnaître une suite majorée, minorée ou bornée
Avant de commencer : Les fonctions numériques (image d'un nombre, sens de variation), le calcul algébrique et le raisonnement par récurrence.
1Je découvre
Mariama vend des beignets devant le lycée, à Mamou. En janvier, elle ouvre une petite caisse d'épargne avec 50 000 GNF. Chaque fin de mois, elle y ajoute 25 000 GNF.
Elle note ce qu'elle possède dans un cahier :
- au départ (mois 0) : 50 000 GNF ;
- après 1 mois : 75 000 GNF ;
- après 2 mois : 100 000 GNF ;
- après 3 mois : 125 000 GNF…
Son frère Ousmane lui demande : « Combien auras-tu après 18 mois ? » Mariama ne veut pas écrire 18 lignes. Elle remarque que chaque nombre s'obtient à partir du précédent en ajoutant 25 000, mais aussi qu'on peut peut-être le calculer directement à partir du numéro du mois.
Cette liste de nombres numérotés 0, 1, 2, 3… s'appelle une suite.
Qu'est-ce qu'une suite numérique, comment calculer n'importe lequel de ses termes, et comment savoir si elle augmente ou diminue ?
2Je comprends
1. Définition et notations
Une suite numérique u est une fonction qui, à chaque entier naturel n (à partir d'un certain rang), associe un nombre réel noté un.
- un se lit « u indice n » : c'est le terme de rang n (ou terme général).
- u0 est le premier terme si la suite commence au rang 0 ; parfois la suite commence à u1.
- La suite elle-même se note (un) ou (un)n ∈ ℕ.
Attention à ne pas confondre (un), qui désigne toute la suite, et un, qui est un seul nombre.
Pour Mariama, en notant un le montant après n mois : u0 = 50 000, u1 = 75 000, u2 = 100 000, u3 = 125 000.
On note aussi un+1 le terme qui suit un et un-1 celui qui le précède. Ne confonds pas un+1 (le terme suivant) et un + 1 (le terme un augmenté de 1).
2. Deux façons de définir une suite
a) Suite définie de façon explicite. On donne un directement en fonction de n : un = f(n). On calcule alors n'importe quel terme en remplaçant n par sa valeur.
Pour Mariama : un = 50 000 + 25 000 n. Après 18 mois : u18 = 50 000 + 25 000 × 18 = 50 000 + 450 000 = 500 000 GNF.
b) Suite définie par récurrence. On donne le premier terme et une relation qui permet de calculer chaque terme à partir du précédent : un+1 = f(un).
Pour Mariama : u0 = 50 000 et un+1 = un + 25 000. Pour trouver u18, il faut calculer u1, u2, …, u17 d'abord : c'est plus long.
Exemple
Suite explicite : u_n = n² − 4n pour tout entier naturel n.
u_0 = 0² − 4 × 0 = 0
u_1 = 1² − 4 × 1 = −3
u_2 = 2² − 4 × 2 = 4 − 8 = −4
u_3 = 3² − 4 × 3 = 9 − 12 = −3
u_4 = 4² − 4 × 4 = 0
u_10 = 100 − 40 = 60
On calcule u_10 directement, sans passer par les termes précédents.
Exemple
Suite par récurrence : u_0 = 2 et u_(n+1) = 3u_n − 1.
u_1 = 3 × u_0 − 1 = 3 × 2 − 1 = 5
u_2 = 3 × u_1 − 1 = 3 × 5 − 1 = 14
u_3 = 3 × u_2 − 1 = 3 × 14 − 1 = 41
u_4 = 3 × 41 − 1 = 122
Pour obtenir u_4, on a dû calculer u_1, u_2 et u_3.
Une suite définie par récurrence peut souvent se transformer en formule explicite : c'est ce que tu feras dans la leçon suivante avec les suites arithmétiques et géométriques. Le raisonnement par récurrence (leçon précédente) sert justement à démontrer qu'une formule explicite est juste.
3. Représentation graphique
Dans un repère, on place les points de coordonnées (n ; un). Ce sont des points isolés : on ne les relie pas, car n ne prend que des valeurs entières.
Pour une suite définie par un+1 = f(un), on peut aussi placer les termes sur l'axe des abscisses en utilisant la courbe de f et la droite d'équation y = x (tu verras ce tracé dans la leçon suivante).
4. Sens de variation d'une suite
- (un) est croissante si, pour tout n, un+1 ≥ un.
- (un) est décroissante si, pour tout n, un+1 ≤ un.
- (un) est constante si, pour tout n, un+1 = un.
- Une suite qui est croissante ou décroissante est dite monotone.
(Avec des inégalités strictes, on dit « strictement croissante » ou « strictement décroissante ».)
Il existe trois méthodes.
Méthode 1 : le signe de un+1 - un. C'est la méthode la plus générale.
Méthode 2 : comparer un+1un à 1, seulement si tous les termes sont strictement positifs. Si ce quotient est supérieur à 1, la suite est croissante ; s'il est inférieur à 1, elle est décroissante.
Méthode 3 : la fonction associée, seulement si un = f(n) (suite explicite). Si f est croissante sur [0 ; +∞[, alors (un) est croissante ; si f est décroissante, (un) est décroissante.
Méthode
Pour étudier le sens de variation d'une suite :
- J'exprime u_(n+1) (je remplace n par n + 1 dans la formule, ou j'utilise la relation de récurrence).
- Je calcule la différence u_(n+1) − u_n et je la simplifie.
- J'étudie son signe pour tout entier naturel n.
- Je conclus : positif → croissante ; négatif → décroissante ; nul → constante.
- Si tous les termes sont positifs et que la formule contient des puissances ou des produits, j'utilise plutôt le quotient u_(n+1)/u_n comparé à 1.
Exemple
Sens de variation de u_n = 50 000 + 25 000n (épargne de Mariama).
u_(n+1) = 50 000 + 25 000(n + 1) = 50 000 + 25 000n + 25 000.
u_(n+1) − u_n = 25 000 > 0.
La différence est strictement positive pour tout n : la suite est strictement croissante. L'épargne augmente chaque mois.
Exemple
Sens de variation de u_n = 3 × 2ⁿ.
Tous les termes sont strictement positifs. On calcule le quotient :
u_(n+1) / u_n = (3 × 2ⁿ⁺¹) / (3 × 2ⁿ) = 2.
Comme 2 > 1, la suite est strictement croissante.
Exemple
Sens de variation de u_n = 5/(n + 1).
u_(n+1) − u_n = 5/(n + 2) − 5/(n + 1) = [5(n + 1) − 5(n + 2)] / [(n + 1)(n + 2)] = −5 / [(n + 1)(n + 2)].
Le numérateur est négatif, le dénominateur est positif : la différence est strictement négative.
La suite est strictement décroissante, ce que confirme le graphique ci-dessus.
Une suite n'est pas toujours monotone. Pour un = n2 - 4n : un+1 - un = (n+1)2 - 4(n+1) - n2 + 4n = 2n - 3. Ce nombre est négatif pour n = 0 et n = 1, positif pour n ≥ 2. La suite diminue d'abord (0, -3, -4), puis augmente : elle est croissante à partir du rang 2.
5. Suites majorées, minorées, bornées
- (un) est majorée s'il existe un nombre M tel que un ≤ M pour tout n (M est un majorant).
- (un) est minorée s'il existe un nombre m tel que un ≥ m pour tout n (m est un minorant).
- (un) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Pour un = 5n+1 : comme n + 1 ≥ 1, on a 0 < un ≤ 5. La suite est bornée, minorée par 0 et majorée par 5.
Une suite croissante est toujours minorée par son premier terme ; une suite décroissante est toujours majorée par son premier terme.
3Je retiens
Je retiens
Une suite (u_n) associe à chaque entier naturel n un réel u_n, le terme de rang n.
Forme explicite : u_n = f(n), on calcule directement n'importe quel terme.
Forme par récurrence : u_0 donné et u_(n+1) = f(u_n), on calcule les termes un par un.
u_(n+1) est le terme suivant ; ce n'est pas u_n + 1.
Croissante : u_(n+1) − u_n ≥ 0 pour tout n ; décroissante : u_(n+1) − u_n ≤ 0.
Si tous les termes sont positifs : u_(n+1)/u_n ≥ 1 → croissante ; ≤ 1 → décroissante.
Majorée : u_n ≤ M ; minorée : u_n ≥ m ; bornée : les deux.
On représente une suite par des points isolés (n ; u_n), jamais reliés.
4Erreurs fréquentes
- Confondre u_(n+1) et u_n + 1 : pour u_n = 2n², u_(n+1) = 2(n + 1)², et non 2n² + 1.
- Utiliser le quotient u_(n+1)/u_n sans vérifier que tous les termes sont strictement positifs : avec des termes négatifs, la conclusion est fausse.
- Conclure sur le sens de variation à partir de deux ou trois termes seulement : u_0 < u_1 ne prouve pas que la suite est croissante (voir n² − 4n).
- Relier les points de la représentation graphique : une suite n'est définie que pour des entiers.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On considère la suite définie par un = 2n + 1n + 3 pour tout entier naturel n.
a) Calcule u0, u1, u2 et u7.
b) Exprime un+1 en fonction de n.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u0 = 13 ; u1 = 34 ; u2 = 55 = 1 ; u7 = 1510 = 32.
b) On remplace n par n + 1 : un+1 = 2(n+1) + 1(n+1) + 3 = 2n + 3n + 4.
2Exercice 2
On considère la suite définie par v0 = 4 et vn+1 = 12vn + 3.
a) Calcule v1, v2, v3 et v4.
b) Que semble-t-il se passer quand n devient grand ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v1 = 12 × 4 + 3 = 5 ; v2 = 12 × 5 + 3 = 5,5 ; v3 = 12 × 5,5 + 3 = 5,75 ; v4 = 12 × 5,75 + 3 = 5,875.
b) Les termes augmentent de moins en moins et semblent se rapprocher de 6. (En effet, si vn = 6, alors vn+1 = 3 + 3 = 6 : le nombre 6 est « stable ». On le démontrera dans la leçon suivante.)
3Exercice 3
Étudie le sens de variation des suites suivantes.
a) an = 7 - 4n
b) bn = n2 + n
c) cn = 5 × 0,8n
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) an+1 - an = 7 - 4(n+1) - (7 - 4n) = -4 < 0 : la suite est strictement décroissante.
b) bn+1 - bn = (n+1)2 + (n+1) - n2 - n = n2 + 2n + 1 + n + 1 - n2 - n = 2n + 2 > 0 : la suite est strictement croissante.
c) Tous les termes sont strictement positifs et cn+1cn = 5 × 0,8n+15 × 0,8n = 0,8 < 1 : la suite est strictement décroissante.
4Exercice 4
Montre que la suite wn = 2n + 1n + 3 de l'exercice 1 est croissante et qu'elle est majorée par 2.
Voir le corrigéCacher le corrigé
wn+1 - wn = 2n + 3n + 4 - 2n + 1n + 3 = (2n+3)(n+3) - (2n+1)(n+4)(n+4)(n+3).
Numérateur : (2n2 + 9n + 9) - (2n2 + 9n + 4) = 5.
Donc wn+1 - wn = 5(n+4)(n+3) > 0 : la suite est strictement croissante.
Majoration : wn - 2 = 2n + 1 - 2(n + 3)n + 3 = -5n + 3 < 0, donc wn < 2 pour tout n : la suite est majorée par 2.
5Exercice 5
(Type BAC) Un tailleur de Labé fabrique des tenues. Le premier mois, il en fabrique 40. Chaque mois, il en fabrique 6 de plus que le mois précédent. On note t1 = 40 le nombre de tenues fabriquées le premier mois et tn le nombre fabriqué le n-ième mois.
a) Calcule t2, t3 et t4.
b) Exprime tn+1 en fonction de tn.
c) Démontre par récurrence que, pour tout n ≥ 1, tn = 6n + 34.
d) Combien de tenues fabrique-t-il le 12e mois ? À partir de quel mois dépasse-t-il 100 tenues par mois ?
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) t2 = 40 + 6 = 46 ; t3 = 52 ; t4 = 58.
b) Chaque mois, il en fait 6 de plus : tn+1 = tn + 6.
c) Soit P(n) : « tn = 6n + 34 ».
Initialisation : 6 × 1 + 34 = 40 = t1, donc P(1) est vraie.
Hérédité : supposons tn = 6n + 34 pour un entier n ≥ 1. Alors tn+1 = tn + 6 = 6n + 34 + 6 = 6(n + 1) + 34 : P(n+1) est vraie.
Conclusion : pour tout n ≥ 1, tn = 6n + 34.
d) t12 = 6 × 12 + 34 = 106 tenues. On cherche n tel que 6n + 34 > 100, soit 6n > 66, soit n > 11. C'est donc à partir du 12e mois (106 tenues) ; le 11e mois, il en fabrique exactement 6 × 11 + 34 = 100.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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