Karamö, le prof virtuelLeçon 24 sur 33
Limite d'une suite ; suites arithmétiques et géométriques
Je sais reconnaître une suite arithmétique ou géométrique, calculer ses termes et la somme de ses termes, et trouver la limite d'une suite.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 2 schémas
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et donner sa raison
- Utiliser les formules du terme général et de la somme des termes
- Déterminer la limite d'une suite (suites de référence, q puissance n, opérations)
- Étudier une suite du type u_(n+1) = a u_n + b à l'aide d'une suite géométrique auxiliaire
Avant de commencer : La leçon « Les suites » (termes, récurrence, sens de variation) et les limites de fonctions.
1Je découvre
Alpha, apprenti mécanicien à Kankan, décide d'épargner. Le premier mois, il met de côté 10 000 GNF ; ensuite, chaque mois, il met 5 000 GNF de plus que le mois précédent. Combien aura-t-il économisé en tout au bout d'un an ?
Sa cousine Hawa choisit une autre méthode. Elle place une somme sur un compte qui augmente de 2 % chaque mois. Chaque mois, son capital est donc multiplié par 1,02.
La suite d'Alpha augmente toujours de la même quantité : on ajoute 5 000. La suite de Hawa augmente toujours dans la même proportion : on multiplie par 1,02. Ce sont les deux suites les plus utilisées en économie et en gestion.
Enfin, leur professeur pose une autre question : si un phénomène se répète indéfiniment, vers quel nombre les termes d'une suite se rapprochent-ils ?
Comment reconnaître et utiliser les suites arithmétiques et géométriques, et comment trouver la limite d'une suite ?
2Je comprends
1. Les suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique s'il existe un réel r, appelé raison, tel que, pour tout n : un+1 = un + r.
On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre. Pour prouver qu'une suite est arithmétique, on montre que la différence un+1 - un est une constante.
Terme général : un = u0 + n r, et plus généralement un = up + (n - p) r.
Si la suite commence à u1 : un = u1 + (n - 1) r.
Sens de variation : si r > 0, la suite est croissante ; si r < 0, elle est décroissante ; si r = 0, elle est constante.
Somme de termes consécutifs :
S = (nombre de termes) × premier terme + dernier terme2.
Cas particulier à connaître : 1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1)2. Par exemple, 1 + 2 + … + 100 = 100 × 1012 = 5 050.
Exemple
L'épargne d'Alpha. On note u_1 = 10 000 la somme du 1er mois et u_n celle du n-ième mois.
Chaque mois, on ajoute 5 000 : la suite est arithmétique de raison r = 5 000.
u_n = u_1 + (n − 1)r = 10 000 + 5 000(n − 1).
Le 12e mois : u_12 = 10 000 + 11 × 5 000 = 65 000 GNF.
Total sur un an : S = u_1 + u_2 + … + u_12 = 12 × (10 000 + 65 000)/2 = 12 × 37 500 = 450 000 GNF.
2. Les suites géométriques
Une suite (un) est géométrique s'il existe un réel q, appelé raison, tel que, pour tout n : un+1 = q × un.
On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre. Si les termes ne sont pas nuls, on le prouve en montrant que le quotient un+1un est constant.
Terme général : un = u0 × qn, et plus généralement un = up × q n-p.
Lien avec les pourcentages : augmenter de t \% revient à multiplier par 1 + t100 ; diminuer de t \% revient à multiplier par 1 - t100. Une grandeur qui évolue chaque année du même pourcentage forme donc une suite géométrique.
Sens de variation (si u0 > 0) : si q > 1, la suite est croissante ; si 0 < q < 1, elle est décroissante.
Somme de termes consécutifs (pour q ≠ 1) :
S = premier terme × 1 - q nombre de termes1 - q.
Cas particulier : 1 + q + q2 + … + qn = 1 - qn+11 - q.
Exemple
On considère la suite géométrique de premier terme u_0 = 3 et de raison q = 2.
u_n = 3 × 2ⁿ, donc u_5 = 3 × 32 = 96.
Somme S = u_0 + u_1 + … + u_5 : il y a 6 termes (de 0 à 5).
S = 3 × (1 − 2⁶)/(1 − 2) = 3 × (1 − 64)/(−1) = 3 × 63 = 189.
Vérification : 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.
- On ajoute toujours r
- u_n = u_0 + n r
- Points alignés
- Hausse fixe de 5 000 GNF
- On multiplie toujours par q
- u_n = u_0 × q^n
- Points sur une courbe « exponentielle »
- Hausse fixe de 2 %
3. Limite d'une suite
On s'intéresse au comportement de un quand n devient très grand (« n tend vers +∞ »).
- Si les termes se rapprochent autant qu'on veut d'un nombre réel ell, on dit que la suite converge vers ell et on écrit limn → +∞ un = ell.
- Sinon, la suite diverge : soit elle tend vers +∞ ou -∞, soit elle n'a pas de limite (par exemple (-1)n, qui vaut alternativement 1 et -1).
Suites de référence : lim n = +∞ ; lim n2 = +∞ ; lim √n = +∞ ; lim 1n = 0 ; lim 1n2 = 0.
Si un = f(n), la limite de la suite est celle de la fonction f en +∞. Toutes les règles vues pour les fonctions (somme, produit, quotient, terme de plus haut degré pour les fonctions rationnelles) s'appliquent.
Limite de qn (très important) :
| valeur de q | q > 1 | q = 1 | -1 < q < 1 | q ≤ -1 |
|---|---|---|---|---|
| lim qn | +∞ | 1 | 0 | pas de limite |
Conséquences :
- une suite arithmétique de raison r > 0 tend vers +∞ ; de raison r < 0, vers -∞ ;
- une suite géométrique u0 qn avec u0 > 0 et q > 1 tend vers +∞ ; avec -1 < q < 1, elle converge vers 0.
Exemple
Limites de trois suites.
a) u_n = (2n + 1)/(n + 3). On garde les termes de plus haut degré : lim u_n = lim 2n/n = 2. La suite converge vers 2.
b) v_n = 5 × 0,8ⁿ. Comme −1 < 0,8 < 1, lim 0,8ⁿ = 0, donc lim v_n = 0.
c) w_n = 4 − 3 × 1,5ⁿ. Comme 1,5 > 1, lim 1,5ⁿ = +∞, donc lim w_n = −∞.
4. Les suites u_(n+1) = a u_n + b (arithmético-géométriques)
C'est le type de suite le plus fréquent au BAC. Elle n'est ni arithmétique ni géométrique, mais on l'étudie grâce à une suite auxiliaire géométrique.
Méthode
Pour étudier une suite u_(n+1) = a u_n + b (avec a ≠ 1) :
- Je cherche le nombre ℓ tel que ℓ = aℓ + b (le point fixe) ; l'énoncé le donne souvent.
- Je pose v_n = u_n − ℓ.
- Je montre que v_(n+1) = a v_n : (v_n) est géométrique de raison a, de premier terme v_0 = u_0 − ℓ.
- J'écris v_n = v_0 × aⁿ, puis u_n = v_n + ℓ = ℓ + (u_0 − ℓ)aⁿ.
- Si −1 < a < 1, aⁿ tend vers 0, donc u_n converge vers ℓ.
Exemple
u_0 = 0 et u_(n+1) = 0,5u_n + 4.
Point fixe : ℓ = 0,5ℓ + 4 donne 0,5ℓ = 4, soit ℓ = 8.
On pose v_n = u_n − 8. Alors v_(n+1) = u_(n+1) − 8 = 0,5u_n + 4 − 8 = 0,5u_n − 4 = 0,5(u_n − 8) = 0,5v_n.
(v_n) est géométrique de raison 0,5 et v_0 = 0 − 8 = −8, donc v_n = −8 × 0,5ⁿ.
u_n = 8 − 8 × 0,5ⁿ. Contrôle : u_1 = 8 − 4 = 4 et, par la récurrence, u_1 = 0,5 × 0 + 4 = 4. Juste.
Comme −1 < 0,5 < 1, lim 0,5ⁿ = 0, donc lim u_n = 8.
3Je retiens
Je retiens
Arithmétique : u_(n+1) = u_n + r ; u_n = u_0 + nr ; S = nb de termes × (premier + dernier)/2.
Géométrique : u_(n+1) = q u_n ; u_n = u_0 qⁿ ; S = premier × (1 − q^(nb de termes))/(1 − q), q ≠ 1.
1 + 2 + … + n = n(n + 1)/2.
Hausse de t % : on multiplie par 1 + t/100 ; baisse de t % : par 1 − t/100.
lim qⁿ = +∞ si q > 1 ; = 1 si q = 1 ; = 0 si −1 < q < 1 ; pas de limite si q ≤ −1.
Une suite converge si elle a une limite finie ; sinon elle diverge.
u_(n+1) = a u_n + b : poser v_n = u_n − ℓ (avec ℓ = aℓ + b), v_n est géométrique de raison a.
4Erreurs fréquentes
- Se tromper sur le nombre de termes : de u_0 à u_n il y a n + 1 termes ; de u_1 à u_n il y en a n ; de u_3 à u_10 il y en a 8.
- Écrire u_n = u_0 × qⁿ quand la suite commence à u_1 : il faut alors u_n = u_1 × qⁿ⁻¹.
- Croire que qⁿ tend toujours vers +∞ : si 0 < q < 1, qⁿ tend vers 0 (0,9ⁿ devient de plus en plus petit).
- Confondre « augmenter de 5 % » (multiplier par 1,05) et « ajouter 5 » (suite arithmétique).
5Je m’exerce
1Exercice 1
(un) est une suite arithmétique telle que u0 = 7 et u10 = 37.
a) Calcule sa raison r.
b) Exprime un en fonction de n, puis calcule u25.
c) Calcule S = u0 + u1 + … + u25.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) u10 = u0 + 10r, donc 37 = 7 + 10r, soit r = 3.
b) un = 7 + 3n ; u25 = 7 + 75 = 82.
c) De u0 à u25, il y a 26 termes : S = 26 × 7 + 822 = 26 × 44,5 = 1 157.
2Exercice 2
(vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 1 000 et de raison q = 1,1.
a) Calcule v1, v2 et v3.
b) Exprime vn en fonction de n.
c) Calcule v0 + v1 + v2 + v3 avec la formule, puis vérifie en additionnant.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) v1 = 1 100 ; v2 = 1 210 ; v3 = 1 331.
b) vn = 1 000 × 1,1n.
c) 4 termes : S = 1 000 × 1 - 1,141 - 1,1 = 1 000 × 1 - 1,4641-0,1 = 1 000 × 4,641 = 4 641.
Vérification : 1 000 + 1 100 + 1 210 + 1 331 = 4 641.
3Exercice 3
Détermine la limite de chaque suite.
a) an = 3n2 - 1n2 + 5
b) bn = 2 - 4n (pour n ≥ 1)
c) cn = 200 × 0,95n
d) dn = 3n - 10
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Termes de plus haut degré : lim 3n2n2 = 3.
b) lim 4n = 0, donc lim bn = 2.
c) -1 < 0,95 < 1, donc lim 0,95n = 0 et lim cn = 0.
d) 3 > 1, donc lim 3n = +∞ et lim dn = +∞.
4Exercice 4
Une coopérative de Boké produit 12 000 sacs de manioc la première année. Sa production baisse ensuite de 5 % chaque année. On note p1 = 12 000.
a) Justifie que (pn) est géométrique ; donne sa raison.
b) Calcule la production de la 3e année, puis celle de la 5e année (arrondie à l'unité).
c) Quelle est la limite de pn ? Interprète.
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a) Baisser de 5 % revient à multiplier par 1 - 0,05 = 0,95 : pn+1 = 0,95 pn. La suite est géométrique de raison 0,95.
b) pn = 12 000 × 0,95 n-1. La 3e année : p3 = 12 000 × 0,952 = 12 000 × 0,9025 = 10 830 sacs. La 5e année : p5 = 12 000 × 0,954 = 12 000 × 0,81450625 = 9 774,075, soit environ 9 774 sacs.
c) lim 0,95 n-1 = 0, donc lim pn = 0 : si la baisse continuait indéfiniment au même rythme, la production deviendrait presque nulle. D'où l'intérêt de réagir.
5Exercice 5
(Type BAC) Une association de jeunes de Labé compte 200 membres en 2024. Chaque année, 20 % des membres partent et 60 nouveaux membres s'inscrivent. On note u0 = 200 et un le nombre de membres l'année 2024 + n.
a) Justifie que un+1 = 0,8un + 60, puis calcule u1 et u2.
b) On pose vn = un - 300. Montre que (vn) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
c) Exprime vn, puis un, en fonction de n.
d) Calcule la limite de un et interprète.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) 20 % des membres partent : il en reste 80 %, soit 0,8un ; on ajoute 60 inscrits : un+1 = 0,8un + 60.
u1 = 0,8 × 200 + 60 = 220 ; u2 = 0,8 × 220 + 60 = 236.
b) vn+1 = un+1 - 300 = 0,8un + 60 - 300 = 0,8un - 240 = 0,8(un - 300) = 0,8 vn.
(vn) est géométrique de raison 0,8 et de premier terme v0 = 200 - 300 = -100.
c) vn = -100 × 0,8n, donc un = 300 - 100 × 0,8n. Contrôle : u1 = 300 - 80 = 220.
d) -1 < 0,8 < 1, donc lim 0,8n = 0 et lim un = 300. À long terme, l'association se stabilisera autour de 300 membres sans jamais les dépasser (car un < 300).
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6Je vérifie
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