Mathématiques · Terminale SS Prépare le BAC

Leçon 28 sur 33

Effectifs cumulés, médiane, quartiles et moyenne

Je sais calculer les effectifs cumulés, la médiane, les quartiles et la moyenne d'une série statistique, qu'elle soit donnée par valeurs ou regroupée en classes, et en tirer une interprétation.

1 h
4 exercices corrigés
1 schéma
QCM de 5 questions

À la fin de la leçon, tu sauras :

Calculer effectifs et fréquences cumulés croissants et décroissants
Déterminer la médiane et les quartiles d'une série discrète ou en classes (interpolation linéaire)
Calculer la moyenne (et l'écart-type) d'une série
Interpréter ces paramètres pour comparer des séries

Avant de commencer : La leçon « La statistique » (vocabulaire, effectifs, fréquences, classes, centres) et les calculs sur les fractions.

1Je découvre

Au lycée de Dubréka, le professeur de mathématiques rend les copies d'un devoir à ses 30 élèves de Terminale SS. Les notes vont de 6 à 16. Kadiatou a obtenu 12. Elle se demande : « Suis-je dans la meilleure moitié de la classe ? Suis-je dans le quart des meilleurs ? »

Son camarade Ousmane répond : « La moyenne de la classe est d'environ 10,9 : tu es au-dessus. » Mais Kadiatou n'est pas satisfaite : la moyenne ne dit pas combien d'élèves ont eu moins qu'elle. Quelques très bonnes notes peuvent tirer la moyenne vers le haut sans que la majorité réussisse.

Pour répondre, il faut ranger les notes, compter combien d'élèves ont « moins de » ou « plus de » une note donnée, et trouver les notes qui partagent la classe en deux moitiés ou en quatre quarts.

Comment calculer et interpréter les effectifs cumulés, la médiane, les quartiles et la moyenne d'une série ?

2Je comprends

1. Effectifs et fréquences cumulés

Les valeurs étant rangées dans l'ordre croissant :

l'effectif cumulé croissant (ECC) d'une valeur x_i est le nombre d'individus dont la valeur est inférieure ou égale à x_i ;
l'effectif cumulé décroissant (ECD) de x_i est le nombre d'individus dont la valeur est supérieure ou égale à x_i ;
les fréquences cumulées s'obtiennent en divisant par N.

Le dernier ECC est égal à N ; le premier ECD aussi.

Exemple

Les notes des 30 élèves de Kadiatou.

Note x_i	6	8	10	12	14	16
Effectif n_i	3	5	8	7	4	3
ECC	3	8	16	23	27	30
ECD	30	27	22	14	7	3

Lecture : 16 élèves ont une note inférieure ou égale à 10 ; 14 élèves ont au moins 12.

Kadiatou (12) : 23 élèves ont 12 ou moins, 14 élèves ont 12 ou plus.

2. La médiane

La médiane Me est la valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à Me, et au moins la moitié sont supérieures ou égales.

Série donnée par valeurs (effectif N) :

si N est impair, Me est la valeur de rang N + 12 ;
si N est pair, Me est la moyenne des valeurs de rangs N2 et N2 + 1.

On repère ces rangs avec la ligne des ECC.

3. Les quartiles

Le premier quartile Q₁ est la plus petite valeur telle qu'au moins 25 % des valeurs lui soient inférieures ou égales. On prend la valeur de rang N4 (arrondi à l'entier supérieur si ce n'est pas un entier).
Le troisième quartile Q₃ est la plus petite valeur telle qu'au moins 75 % des valeurs lui soient inférieures ou égales : rang 3N4 (arrondi à l'entier supérieur).
L'écart interquartile Q₃ - Q₁ mesure la dispersion de la moitié « centrale » de la série.

Exemple

Médiane et quartiles des notes (N = 30).

N est pair : Me est la moyenne des valeurs de rangs 15 et 16. D'après les ECC, les rangs 9 à 16 correspondent à la note 10. Donc Me = (10 + 10)/2 = 10.

Q_1 : N/4 = 7,5, on prend le rang 8. Les rangs 4 à 8 ont la note 8, donc Q_1 = 8.

Q_3 : 3N/4 = 22,5, on prend le rang 23. Les rangs 17 à 23 ont la note 12, donc Q_3 = 12.

Écart interquartile : 12 − 8 = 4.

Kadiatou a 12 = Q_3 : au moins 75 % des élèves ont 12 ou moins. Elle est dans la meilleure moitié, à la limite du meilleur quart.

4. Série regroupée en classes : interpolation linéaire

Quand la série est en classes, on ne connaît pas les valeurs exactes. On suppose que les valeurs sont réparties régulièrement dans chaque classe. On trace le polygone des ECC : on place les points (borne supérieure de la classe ; ECC) en partant de (borne inférieure de la première classe ; 0), et on les relie par des segments.

La médiane est l'abscisse du point du polygone d'ordonnée N2. Par le calcul, si la classe médiane est [a ; b[ :

Me = a + N2 - ECC avant la classeeffectif de la classe × (b - a).

On procède de même pour Q₁ (ordonnée N4) et Q₃ (ordonnée 3N4).

Exemple

Durée du trajet de 40 élèves (en minutes).

Durée	[0 ; 10[	[10 ; 20[	[20 ; 30[	[30 ; 40[
Effectif	6	12	14	8
ECC (à la borne supérieure)	6	18	32	40

N/2 = 20 : l'ECC passe de 18 à 32 dans la classe [20 ; 30[.

Me = 20 + (20 − 18)/14 × 10 = 20 + 20/14 ≈ 21,43 minutes.

N/4 = 10 : dans [10 ; 20[, Q_1 = 10 + (10 − 6)/12 × 10 ≈ 13,33 minutes.

3N/4 = 30 : dans [20 ; 30[, Q_3 = 20 + (30 − 18)/14 × 10 ≈ 28,57 minutes.

La moitié des élèves met moins de 21 min 26 s environ.

Polygone des ECC (1 unité = 5 minutes en abscisse et 5 élèves en ordonnée). Le point M d'ordonnée 4 (soit 20 élèves = N/2) a pour abscisse environ 4,29, soit 21

5. La moyenne

La moyenne d'une série de valeurs x_i d'effectifs n_i est :

x = n₁ x₁ + n₂ x₂ + … + n_p x_pN, ou encore x = f₁ x₁ + f₂ x₂ + … + f_p x_p avec les fréquences.

Pour une série en classes, on remplace chaque classe par son centre.

Méthode

Pour calculer une moyenne à partir d'un tableau :

J'ajoute une ligne (ou colonne) « n_i × x_i » ; si la série est en classes, x_i est le centre de la classe.
Je fais la somme de ces produits.
Je divise par l'effectif total N.
Je vérifie que le résultat est compris entre la plus petite et la plus grande valeur, et j'arrondis comme demandé.

Exemple

Moyenne des notes : produits n_i x_i = 18 ; 40 ; 80 ; 84 ; 56 ; 48.

Somme = 326, donc x̄ = 326/30 ≈ 10,87.

Moyenne des durées de trajet (centres 5 ; 15 ; 25 ; 35) :

x̄ = (6 × 5 + 12 × 15 + 14 × 25 + 8 × 35)/40 = (30 + 180 + 350 + 280)/40 = 840/40 = 21 minutes.

Pour aller plus loin : variance et écart-type. La variance est V = Σ n_i x_i²N - x² et l'écart-type est σ = √V. Plus σ est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de la moyenne. Pour les notes : Σ n_i x_i² = 3 788, donc V = 3 78830 - (32630)² ≈ 8,18 et σ ≈ 2,86.

6. Moyenne ou médiane ?

La moyenne tient compte de toutes les valeurs : elle est sensible aux valeurs extrêmes. La médiane ne dépend que de l'ordre : elle n'est pas influencée par quelques valeurs très grandes ou très petites. Pour des revenus, par exemple, où quelques personnes gagnent beaucoup plus que les autres, la médiane décrit mieux la situation d'une personne « ordinaire ».

3Je retiens

Je retiens

ECC de x_i : nombre de valeurs ≤ x_i ; ECD de x_i : nombre de valeurs ≥ x_i.

Médiane : N impair → valeur de rang (N + 1)/2 ; N pair → moyenne des rangs N/2 et N/2 + 1.

Q_1 : valeur de rang N/4 ; Q_3 : valeur de rang 3N/4 (arrondis à l'entier supérieur).

En classes : Me = a + (N/2 − ECC avant)/n_classe × amplitude (idem pour Q_1 et Q_3).

Moyenne : x̄ = Σ n_i x_i / N (centres des classes si la série est groupée).

Écart-type : σ = √(Σ n_i x_i² / N − x̄²).

La médiane résiste aux valeurs extrêmes, la moyenne non.

4Erreurs fréquentes

Chercher la médiane sans ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
Prendre la valeur du milieu du tableau (la modalité centrale) au lieu de la valeur de rang N/2 dans la série complète.
Dans une série en classes, placer l'ECC au centre de la classe au lieu de la borne supérieure.
Calculer la moyenne en faisant la moyenne des modalités (6 + 8 + 10 + …)/6 sans tenir compte des effectifs.

5Je m’exerce

1Exercice 1

Voici les ventes journalières (en milliers de GNF) d'une vendeuse pendant 7 jours : 12 ; 5 ; 9 ; 15 ; 9 ; 11 ; 7.

Calcule la médiane, les quartiles et la moyenne.

Voir le corrigéCacher le corrigé

Série ordonnée : 5 ; 7 ; 9 ; 9 ; 11 ; 12 ; 15 (N = 7).

Médiane : rang 7 + 12 = 4, donc Me = 9.

Q₁ : 74 = 1,75, rang 2, donc Q₁ = 7. Q₃ : 214 = 5,25, rang 6, donc Q₃ = 12.

Moyenne : 5 + 7 + 9 + 9 + 11 + 12 + 157 = 687 ≈ 9,71 milliers de GNF.

2Exercice 2

Un vendeur de charbon a relevé le nombre de sacs vendus par jour pendant 20 jours :

Sacs vendus	2	3	4	5	6
Nombre de jours	2	4	7	5	2

a) Calcule les ECC et les ECD.

b) Détermine la médiane, Q₁ et Q₃.

c) Calcule la moyenne.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) ECC : 2 ; 6 ; 13 ; 18 ; 20. ECD : 20 ; 18 ; 14 ; 7 ; 2.

b) N = 20 est pair : Me est la moyenne des valeurs de rangs 10 et 11. Les rangs 7 à 13 valent 4, donc Me = 4.

Q₁ : rang 204 = 5 ; les rangs 3 à 6 valent 3, donc Q₁ = 3. Q₃ : rang 15 ; les rangs 14 à 18 valent 5, donc Q₃ = 5.

c) x = 2 × 2 + 3 × 4 + 4 × 7 + 5 × 5 + 6 × 220 = 4 + 12 + 28 + 25 + 1220 = 8120 = 4,05 sacs par jour.

3Exercice 3

Âges des 50 clients d'un cybercafé de Labé :

Âge	[10 ; 20[	[20 ; 30[	[30 ; 40[	[40 ; 50[	[50 ; 60[
Effectif	5	15	18	8	4

a) Calcule les ECC.

b) Détermine par interpolation la médiane, Q₁ et Q₃.

c) Calcule l'âge moyen.

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) ECC : 5 ; 20 ; 38 ; 46 ; 50.

b) N2 = 25 : classe [30 ; 40[. Me = 30 + 25 - 2018 × 10 ≈ 32,78 ans.

N4 = 12,5 : classe [20 ; 30[. Q₁ = 20 + 12,5 - 515 × 10 = 25 ans.

3N4 = 37,5 : classe [30 ; 40[. Q₃ = 30 + 37,5 - 2018 × 10 ≈ 39,72 ans.

c) Centres 15 ; 25 ; 35 ; 45 ; 55 : x = 75 + 375 + 630 + 360 + 22050 = 1 66050 = 33,2 ans.

4Exercice 4

(Type BAC) Le surveillant d'une classe de 30 élèves a relevé le nombre de jours d'absence de chaque élève au premier trimestre :

Jours d'absence x_i	0	1	2	3	4
Effectif n_i	12	9	5	3	1

a) Calcule les effectifs cumulés croissants. Combien d'élèves ont au plus 2 jours d'absence ?

b) Détermine la médiane et les quartiles.

c) Calcule la moyenne, la variance et l'écart-type (arrondis à 0,01).

d) Le directeur dit : « La moitié des élèves a été absente au moins un jour. » A-t-il raison ?

Voir le corrigéCacher le corrigé

a) ECC : 12 ; 21 ; 26 ; 29 ; 30. Au plus 2 jours : 26 élèves.

b) N = 30 : rangs 15 et 16. Les rangs 13 à 21 valent 1, donc Me = 1.

Q₁ : 7,5, rang 8 ; les rangs 1 à 12 valent 0, donc Q₁ = 0. Q₃ : 22,5, rang 23 ; les rangs 22 à 26 valent 2, donc Q₃ = 2.

c) Σ n_i x_i = 0 + 9 + 10 + 9 + 4 = 32, donc x = 3230 ≈ 1,07 jour.

Σ n_i x_i² = 0 + 9 + 20 + 27 + 16 = 72, donc V = 7230 - (3230)² = 2,4 - 1,1378 ≈ 1,26 et σ = √1,2622 ≈ 1,12 jour.

d) 12 élèves n'ont jamais été absents, donc 30 - 12 = 18 élèves ont été absents au moins un jour, soit 60 % : c'est plus de la moitié. Le directeur a raison (c'est cohérent avec Me = 1).

Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.

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