Statistique à deux variables : nuage de points, point moyen, ajustement affine

1. Série double et nuage de points

Une série statistique à deux variables (ou série double) associe à chaque individu deux caractères quantitatifs x et y. On la donne sous forme d'un tableau de n couples (x_i ; y_i).

Dans un repère orthogonal, l'ensemble des points M_i(x_i ; y_i) s'appelle le nuage de points. Sa forme indique le lien entre x et y :

• des points presque alignés sur une droite qui monte : lien linéaire positif ;
• presque alignés sur une droite qui descend : lien linéaire négatif ;
• points dispersés sans forme : pas de lien linéaire ; un ajustement affine n'a alors pas de sens.

2. Le point moyen

Le point moyen du nuage est le point G(x ; y), où x est la moyenne des x_i et y la moyenne des y_i :

x = x₁ + x₂ + … + x_nn et y = y₁ + y₂ + … + y_nn.

3. Ajustement affine par la méthode de Mayer

Principe : on range les points selon les x croissants et on partage le nuage en deux groupes de même effectif (ou presque, si n est impair ; l'énoncé précise alors les groupes). On calcule le point moyen G₁ du premier groupe et le point moyen G₂ du second. La droite de Mayer est la droite (G₁G₂). Elle passe aussi par le point moyen G.

4. Ajustement par la méthode des moindres carrés

La méthode de Mayer est simple, mais elle dépend du découpage en groupes. La méthode des moindres carrés donne la droite qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux entre les points et la droite. C'est la méthode la plus utilisée.

On a besoin de deux nombres :

• la variance de x : V(x) = 1nΣ x_i² - x² ;
• la covariance de x et y : cov(x, y) = 1nΣ x_i y_i - x y.

La droite de régression de y en x a pour équation y = ax + b avec :

a = cov(x, y)V(x) et b = y - ax.

Elle passe elle aussi par le point moyen G.

5. Le coefficient de corrélation linéaire

Pour savoir si un ajustement affine est justifié, on calcule le coefficient de corrélation linéaire :

r = cov(x, y)σ_x σ_y, où σ_x = √V(x) et σ_y = √V(y).

On a toujours -1 ≤ r ≤ 1, et r a le même signe que la covariance (donc que a).

• Si |r| est proche de 1 (en pratique |r| ≥ 0,87), la corrélation linéaire est forte : l'ajustement affine est justifié.
• Si |r| est proche de 0, il n'y a pas de lien linéaire : on ne fait pas de prévision avec une droite.

Pour la coopérative : Σ y_i² = 2 574, donc V(y) = 2 5746 - 20² = 429 - 400 = 29. Alors r = 9,1667√2,9167 × √29 ≈ 9,16671,7078 × 5,3852 ≈ 0,997. La corrélation est très forte et positive.

6. Prudence avec les prévisions

Une prévision obtenue en prolongeant la droite (on parle d'extrapolation) n'est fiable que si les conditions restent les mêmes et si l'on ne s'éloigne pas trop des données. Une sécheresse ou une maladie des plants peut changer la tendance. De plus, une forte corrélation ne prouve pas qu'une variable est la cause de l'autre.