Karamö, le prof virtuelLeçon 31 sur 33
Probabilités : généralités
Je sais décrire une expérience aléatoire (univers, événements), utiliser les règles de calcul des probabilités et calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité à l'aide du dénombrement.
- 55 min
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Utiliser le vocabulaire des probabilités (expérience aléatoire, univers, issue, événement)
- Traduire les opérations sur les événements (contraire, intersection, réunion, incompatibles)
- Utiliser les propriétés d'une probabilité : P(Ā) = 1 − P(A) et P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Calculer une probabilité dans une situation d'équiprobabilité en utilisant le dénombrement
Avant de commencer : Le dénombrement (cardinal, principe multiplicatif, arrangements, combinaisons) et le calcul sur les fractions.
1Je découvre
À la kermesse de fin d'année d'une école de Kankan, Mamadou tient le stand de la tombola. Dans un sac, il a mis 5 jetons rouges et 3 jetons verts. Chaque joueur tire 3 jetons d'un coup, sans regarder. Il gagne un cahier s'il obtient au moins un jeton vert.
Fanta, la trésorière de l'école, est inquiète : « Si presque tout le monde gagne, nous n'aurons pas assez de cahiers ! » Mamadou pense que c'est « une chance sur deux ». Ibrahima, élève de Terminale SS, dit qu'on peut calculer exactement cette chance.
Le résultat d'un tirage est imprévisible. Pourtant, sur un grand nombre de joueurs, la proportion de gagnants se stabilise autour d'un nombre précis : la probabilité.
Comment décrire une expérience dont le résultat dépend du hasard, et comment calculer la probabilité d'un événement ?
2Je comprends
1. Expérience aléatoire et univers
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer un dé, tirer un jeton, choisir un élève au hasard).
- Chaque résultat possible s'appelle une issue (ou éventualité).
- L'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers, noté Ω (« oméga »).
Pour le lancer d'un dé cubique : Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} et card(Ω) = 6.
2. Les événements
Un événement est une partie de l'univers. On le décrit par une phrase ou par l'ensemble de ses issues.
| Vocabulaire | Signification | Exemple (lancer d'un dé) |
|---|---|---|
| Événement élémentaire | une seule issue | {5} : « obtenir 5 » |
| Événement certain | c'est Ω | « obtenir un nombre entre 1 et 6 » |
| Événement impossible | c'est ∅ | « obtenir 7 » |
| Contraire de A, noté A | les issues qui ne sont pas dans A | A : « pair » ; A : « impair » |
| A ∩ B (« A et B ») | issues communes à A et B | |
| A ∪ B (« A ou B ») | issues de A, de B ou des deux |
Deux événements sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se produire en même temps : A ∩ B = ∅.
Exemple
Lancer d'un dé. A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir au moins 4 ».
A = {2 ; 4 ; 6} ; B = {4 ; 5 ; 6}.
A ∩ B = {4 ; 6} (pair et au moins 4).
A ∪ B = {2 ; 4 ; 5 ; 6} (pair ou au moins 4).
Ā = {1 ; 3 ; 5} ; B̄ = {1 ; 2 ; 3}.
A et « obtenir 1 » sont incompatibles.
3. Probabilité sur un univers fini
Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d'apparition d'un événement se stabilise autour d'un nombre : c'est sa probabilité (loi des grands nombres).
Définir une probabilité P sur Ω = {e1 ; e2 ; … ; en}, c'est associer à chaque issue ei un nombre pi ≥ 0 tel que p1 + p2 + … + pn = 1.
La probabilité d'un événement A est la somme des probabilités des issues qui le composent.
Propriétés :
- 0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0 ;
- P(A) = 1 - P(A) ;
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ;
- si A et B sont incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Le contraire de A
- A et B
- A ou B (au moins l'un)
- A et B ne peuvent pas arriver ensemble
- Événement sûr
- Événement impossible
- Ā, complémentaire de A dans Ω
- A ∩ B
- A ∪ B
- A ∩ B = ∅
- Ω, probabilité 1
- ∅, probabilité 0
Exemple
Un dé est truqué : la probabilité d'obtenir chaque face est proportionnelle au nombre inscrit. Calcule P(« pair »).
On pose P(1) = p. Alors P(2) = 2p, P(3) = 3p, …, P(6) = 6p.
La somme vaut 1 : p + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p = 21p = 1, donc p = 1/21.
P(pair) = P(2) + P(4) + P(6) = (2 + 4 + 6)/21 = 12/21 = 4/7.
Avec un dé équilibré, on aurait trouvé 1/2 : le dé truqué favorise les grandes faces.
4. L'équiprobabilité
Quand toutes les issues ont la même probabilité (dé équilibré, tirage « au hasard », boules indiscernables au toucher), on dit qu'il y a équiprobabilité. Chaque issue a alors la probabilité 1card(Ω) et :
P(A) = card(A)card(Ω) = nombre de cas favorablesnombre de cas possibles.
Les expressions « au hasard », « dé équilibré », « indiscernables au toucher » dans un énoncé signalent l'équiprobabilité. C'est là que le dénombrement de la leçon précédente devient indispensable.
Méthode
Pour calculer une probabilité en situation d'équiprobabilité :
- Je décris l'expérience et je justifie l'équiprobabilité (mots de l'énoncé).
- Je dénombre l'univers : card(Ω), avec l'outil adapté (n^p, A_n^p ou C_n^p).
- Je dénombre les cas favorables à A avec le même outil.
- Je calcule P(A) = card(A)/card(Ω) et je simplifie la fraction.
- Pour « au moins un », je passe par le contraire : P(A) = 1 − P(Ā).
Exemple
La tombola de Mamadou : 5 jetons rouges et 3 verts, tirage simultané de 3 jetons.
Les jetons sont tirés au hasard : il y a équiprobabilité. card(Ω) = C_8^3 = 56.
G : « obtenir au moins un jeton vert ». Son contraire Ḡ : « 3 jetons rouges », card(Ḡ) = C_5^3 = 10.
P(Ḡ) = 10/56 = 5/28, donc P(G) = 1 − 5/28 = 23/28 ≈ 0,82.
Environ 82 joueurs sur 100 gagneront : Fanta avait raison de s'inquiéter.
E : « obtenir exactement 2 rouges » : card(E) = C_5^2 × C_3^1 = 30, donc P(E) = 30/56 = 15/28.
Exemple
On lance deux dés équilibrés, un rouge et un bleu. Probabilité que la somme fasse 7 ?
Une issue est un couple (rouge ; bleu) : card(Ω) = 6 × 6 = 36, issues équiprobables.
Somme 7 : (1 ; 6), (2 ; 5), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 2), (6 ; 1), soit 6 issues.
P(somme = 7) = 6/36 = 1/6.
Exemple
Dans une classe de 40 élèves, 25 jouent au football, 18 au basket, 10 aux deux. On choisit un élève au hasard.
P(F) = 25/40 ; P(B) = 18/40 ; P(F ∩ B) = 10/40.
P(F ∪ B) = (25 + 18 − 10)/40 = 33/40.
Probabilité qu'il ne pratique aucun des deux : 1 − 33/40 = 7/40 = 0,175.
3Je retiens
Je retiens
Expérience aléatoire ; univers Ω = ensemble des issues ; événement = partie de Ω.
Ā : contraire ; A ∩ B : A et B ; A ∪ B : A ou B ; incompatibles : A ∩ B = ∅.
0 ≤ P(A) ≤ 1 ; P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0 ; la somme des probabilités des issues vaut 1.
P(Ā) = 1 − P(A).
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) ; = P(A) + P(B) si A et B sont incompatibles.
Équiprobabilité : P(A) = card(A)/card(Ω) (cas favorables / cas possibles).
« Au moins un » : on calcule 1 − P(aucun).
4Erreurs fréquentes
- Utiliser la formule card(A)/card(Ω) quand les issues ne sont pas équiprobables (dé truqué, par exemple).
- Additionner P(A) + P(B) alors que A et B ne sont pas incompatibles : on oublie de retirer P(A ∩ B) et on peut dépasser 1.
- Dénombrer l'univers avec un outil (combinaisons) et les cas favorables avec un autre (arrangements) : il faut le même modèle pour les deux.
- Trouver une probabilité supérieure à 1 ou négative sans s'en inquiéter : c'est forcément une erreur.
5Je m’exerce
1Exercice 1
On lance un dé cubique équilibré. On considère les événements A : « obtenir un nombre impair » et B : « obtenir un multiple de 3 ».
a) Écris Ω, A, B, A ∩ B, A ∪ B et A.
b) Calcule P(A), P(B), P(A ∩ B), puis P(A ∪ B) de deux façons.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ; A = {1 ; 3 ; 5} ; B = {3 ; 6} ; A ∩ B = {3} ; A ∪ B = {1 ; 3 ; 5 ; 6} ; A = {2 ; 4 ; 6}.
b) Dé équilibré, donc équiprobabilité : P(A) = 36 = 12 ; P(B) = 26 = 13 ; P(A ∩ B) = 16.
Directement : P(A ∪ B) = 46 = 23.
Par la formule : 12 + 13 - 16 = 3 + 2 - 16 = 46 = 23.
2Exercice 2
Un sac contient 20 jetons numérotés de 1 à 20. On tire un jeton au hasard. Calcule la probabilité que son numéro soit :
a) un multiple de 3 ; b) un multiple de 5 ; c) un multiple de 3 ou de 5.
Voir le corrigéCacher le corrigé
Tirage au hasard : équiprobabilité, card(Ω) = 20.
a) Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, 15, 18, soit 6 jetons : P = 620 = 310.
b) Multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, soit 4 jetons : P = 420 = 15.
c) Multiples de 3 et de 5 : seulement 15. P = 620 + 420 - 120 = 920.
3Exercice 3
A et B sont deux événements tels que P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 et P(A ∩ B) = 0,1.
Calcule P(A), P(A ∪ B) et la probabilité qu'aucun des deux événements ne se réalise.
Voir le corrigéCacher le corrigé
P(A) = 1 - 0,5 = 0,5.
P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 - 0,1 = 0,7.
« Aucun des deux » est le contraire de A ∪ B : 1 - 0,7 = 0,3.
4Exercice 4
Un dé est truqué : les faces 1 à 5 ont la même probabilité, et la face 6 a trois fois plus de chances de sortir que chacune des autres.
a) Calcule la probabilité de chaque face.
b) Calcule la probabilité d'obtenir un nombre pair.
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Soit x la probabilité de chacune des faces 1 à 5 ; celle de la face 6 est 3x. La somme vaut 1 : 5x + 3x = 8x = 1, donc x = 18. Faces 1 à 5 : 18 chacune ; face 6 : 38.
b) P(pair) = P(2) + P(4) + P(6) = 18 + 18 + 38 = 58.
5Exercice 5
(Type BAC) Une urne contient 4 boules blanches et 6 boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément 3 boules.
a) Justifie qu'il y a équiprobabilité et calcule le nombre de tirages possibles.
b) Calcule la probabilité des événements :
A : « obtenir 3 boules blanches » ;
B : « obtenir exactement une boule blanche » ;
C : « obtenir au moins une boule blanche » ;
D : « obtenir 3 boules de la même couleur ».
c) Les événements A et B sont-ils incompatibles ? Calcule P(A ∪ B).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Les boules sont indiscernables au toucher et tirées au hasard : tous les tirages ont la même probabilité. card(Ω) = C103 = 120.
b) P(A) = C43120 = 4120 = 130.
P(B) = C41 × C62120 = 4 × 15120 = 60120 = 12.
C : « aucune blanche » : P(C) = C63120 = 20120 = 16, donc P(C) = 1 - 16 = 56.
P(D) = C43 + C63120 = 4 + 20120 = 24120 = 15.
c) On ne peut pas avoir à la fois 3 blanches et exactement une blanche : A et B sont incompatibles. P(A ∪ B) = 130 + 12 = 1 + 1530 = 1630 = 815.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
Choisis une réponse pour chaque question : la correction s’affiche aussitôt.
Crée ton compte élève gratuit pour cocher les leçons terminées, suivre ta progression et gagner des points au QCM.
