Karamö, le prof virtuelLeçon 32 sur 33
Probabilités (suite)
Je sais calculer une probabilité conditionnelle, utiliser un arbre pondéré et la formule des probabilités totales, reconnaître des événements indépendants et calculer des probabilités dans des épreuves répétées.
- 1 h
- 5 exercices corrigés
- 1 schéma
- QCM de 5 questions
À la fin de la leçon, tu sauras :
- Calculer et interpréter une probabilité conditionnelle P_B(A)
- Construire et utiliser un arbre pondéré ; appliquer la formule des probabilités totales
- Reconnaître deux événements indépendants
- Calculer la probabilité d'obtenir k succès lors de n épreuves identiques et indépendantes
Avant de commencer : La leçon « Probabilités : généralités » (événements, P(Ā), P(A ∪ B), équiprobabilité) et les combinaisons C_n^p.
1Je découvre
Dans un lycée de Kindia, 60 % des élèves de Terminale sont des filles. L'an dernier, 70 % des filles et 55 % des garçons ont réussi le BAC blanc.
Le proviseur, M. Camara, se pose deux questions :
- « Si je choisis au hasard un élève de Terminale, quelle est la probabilité qu'il ait réussi ? »
- « Si je choisis au hasard un élève parmi ceux qui ont réussi, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? »
Dans la deuxième question, on dispose d'une information : on sait que l'élève a réussi. Cette information change le groupe dans lequel on choisit, donc la probabilité. On parle de probabilité conditionnelle.
Les pourcentages 70 % et 55 % sont eux aussi des probabilités conditionnelles : 70 % est la probabilité de réussir sachant que l'élève est une fille.
Comment calculer une probabilité lorsqu'on dispose d'une information, et comment organiser les calculs quand une expérience se fait en plusieurs étapes ?
2Je comprends
1. Probabilité conditionnelle
Soit B un événement de probabilité non nulle. La probabilité de A sachant B est :
PB(A) = P(A ∩ B)P(B) (on la note aussi P(A mid B)).
On en déduit la formule des probabilités composées :
P(A ∩ B) = P(B) × PB(A) = P(A) × PA(B).
En situation d'équiprobabilité, PB(A) = card(A ∩ B)card(B) : on se restreint aux issues de B.
Exemple
Un lycée compte 300 élèves de Terminale, répartis ainsi.
| Série SS | Séries SM et SE | Total | |
|---|---|---|---|
| Filles | 100 | 45 | 145 |
| Garçons | 80 | 75 | 155 |
| Total | 180 | 120 | 300 |
On choisit un élève au hasard. F : « c'est une fille » ; S : « il est en série SS ».
P(F) = 145/300 = 29/60.
P_S(F) = card(F ∩ S)/card(S) = 100/180 = 5/9 : parmi les élèves de SS, 5 sur 9 sont des filles.
P_F(S) = 100/145 = 20/29 : parmi les filles, 20 sur 29 sont en SS.
On voit que P_S(F) et P_F(S) sont différents : l'ordre compte.
2. L'arbre pondéré
Quand une expérience se déroule en plusieurs étapes, on la représente par un arbre pondéré. Sur chaque branche, on écrit une probabilité ; au premier niveau, ce sont des probabilités simples ; aux niveaux suivants, ce sont des probabilités conditionnelles.
Règles de l'arbre :
- la somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1 ;
- la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches ;
- la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
Voici l'arbre du proviseur, écrit sous forme de tableau (F : fille, G : garçon, R : réussite) :
| Premier niveau | Second niveau | Chemin | Probabilité du chemin |
|---|---|---|---|
| F : 0,6 | R : 0,7 | F ∩ R | 0,6 × 0,7 = 0,42 |
| F : 0,6 | R : 0,3 | F ∩ R | 0,6 × 0,3 = 0,18 |
| G : 0,4 | R : 0,55 | G ∩ R | 0,4 × 0,55 = 0,22 |
| G : 0,4 | R : 0,45 | G ∩ R | 0,4 × 0,45 = 0,18 |
Contrôle : 0,42 + 0,18 + 0,22 + 0,18 = 1.
3. La formule des probabilités totales
Si B1, B2, …, Bn forment une partition de Ω (ils sont deux à deux incompatibles et leur réunion est Ω), alors pour tout événement A :
P(A) = P(A ∩ B1) + P(A ∩ B2) + … + P(A ∩ Bn).
Avec deux événements B et B : P(A) = P(B) × PB(A) + P(B) × PB(A).
Exemple
Les deux questions du proviseur.
- F et G forment une partition. P(R) = P(F ∩ R) + P(G ∩ R) = 0,42 + 0,22 = 0,64.
64 % des élèves ont réussi.
- P_R(F) = P(F ∩ R)/P(R) = 0,42/0,64 = 0,65625 ≈ 0,656.
Parmi les élèves qui ont réussi, environ 65,6 % sont des filles (plus que les 60 % de départ, car les filles ont mieux réussi).
Méthode
Pour résoudre un exercice avec un arbre :
- Je nomme les événements avec des lettres et je traduis chaque pourcentage de l'énoncé (« parmi… », « sachant que… » donne une probabilité conditionnelle).
- Je dessine l'arbre : premier niveau, puis second niveau ; je complète chaque nœud pour que la somme fasse 1.
- Pour une intersection, je multiplie le long du chemin.
- Pour un événement final, j'additionne les chemins qui y mènent (probabilités totales).
- Pour une question « sachant que [événement du second niveau] », j'utilise P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B).
- 1Nommer les événements (F, G, R…) et traduire l'énoncé en probabilités.
- 2Premier niveau : P(F) = 0,6 et P(G) = 0,4.
- 3Second niveau : P_F(R) = 0,7 ; P_G(R) = 0,55 (et leurs contraires).
- 4Multiplier le long des chemins : P(F ∩ R) = 0,42 ; P(G ∩ R) = 0,22.
- 5Additionner les chemins vers R : P(R) = 0,64.
- 6Inverser le conditionnement : P_R(F) = 0,42/0,64 ≈ 0,656.
4. Événements indépendants
Deux événements A et B sont indépendants si la réalisation de l'un ne change pas la probabilité de l'autre. Par définition :
A et B sont indépendants si et seulement si P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Si P(B) ≠ 0, cela revient à PB(A) = P(A).
Attention : ne confonds pas indépendants et incompatibles. Deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants : si l'un se produit, l'autre devient impossible.
Exemple
On lance un dé équilibré. A : « obtenir un nombre pair » ; B : « obtenir 1 ou 2 ».
P(A) = 3/6 = 1/2 ; P(B) = 2/6 = 1/3 ; A ∩ B = {2}, donc P(A ∩ B) = 1/6.
P(A) × P(B) = 1/2 × 1/3 = 1/6 = P(A ∩ B) : A et B sont indépendants.
Savoir que le résultat est 1 ou 2 ne change pas la chance d'avoir un nombre pair (une chance sur deux).
5. Tirages successifs et épreuves répétées
Tirages sans remise. Les probabilités du second tirage dépendent du premier : on utilise un arbre avec des probabilités conditionnelles.
Dans une urne de 5 boules rouges et 3 vertes, on tire 2 boules successivement sans remise :
P(R1 ∩ R2) = 58 × 47 = 2056 = 514 ;
P(V2) = 58 × 37 + 38 × 27 = 15 + 656 = 2156 = 38.
Épreuves répétées indépendantes. On répète n fois, de façon identique et indépendante, une épreuve qui n'a que deux issues : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1 - p). La probabilité d'obtenir exactement k succès est :
P(k succès) = Cnk pk (1 - p)n-k.
Le coefficient Cnk compte le nombre de chemins de l'arbre qui contiennent exactement k succès.
Exemple
Alpha réussit un tir au but avec la probabilité 0,7. Il tire 3 fois, les tirs étant indépendants.
Exactement 2 buts : C_3^2 × 0,7² × 0,3 = 3 × 0,49 × 0,3 = 0,441.
Aucun but : 0,3³ = 0,027. Au moins un but : 1 − 0,027 = 0,973.
Trois buts : 0,7³ = 0,343.
3Je retiens
Je retiens
P_B(A) = P(A ∩ B)/P(B) (probabilité de A sachant B, avec P(B) ≠ 0).
P(A ∩ B) = P(B) × P_B(A) = P(A) × P_A(B).
Arbre : somme des branches d'un nœud = 1 ; chemin = produit ; événement = somme des chemins.
Probabilités totales : P(A) = P(B)P_B(A) + P(B̄)P_B̄(A).
Indépendants : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) ; ne pas confondre avec incompatibles (A ∩ B = ∅).
n épreuves indépendantes, succès de probabilité p : P(k succès) = C_n^k p^k (1 − p)^(n−k).
4Erreurs fréquentes
- Confondre P_B(A) et P_A(B) : « la probabilité d'être une fille parmi ceux qui ont réussi » n'est pas « la probabilité de réussir parmi les filles ».
- Confondre P(A ∩ B) et P_B(A) : « 70 % des filles réussissent » donne P_F(R) = 0,7, pas P(F ∩ R) = 0,7.
- Croire que « incompatibles » veut dire « indépendants » : c'est presque toujours le contraire.
- Dans la formule des épreuves répétées, oublier le coefficient C_n^k : il y a plusieurs ordres possibles pour obtenir k succès.
5Je m’exerce
1Exercice 1
A et B sont deux événements tels que P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et P(A ∩ B) = 0,2.
a) Calcule PB(A) et PA(B).
b) A et B sont-ils indépendants ?
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a) PB(A) = 0,20,5 = 0,4 ; PA(B) = 0,20,4 = 0,5.
b) P(A) × P(B) = 0,4 × 0,5 = 0,2 = P(A ∩ B) : oui, ils sont indépendants (on le voit aussi avec PB(A) = P(A)).
2Exercice 2
Reprends le tableau des 300 élèves (section 1). On choisit un élève au hasard.
a) Calcule la probabilité que ce soit un garçon de série SS.
b) Sachant que c'est un garçon, quelle est la probabilité qu'il soit en série SS ?
c) Les événements « être une fille » et « être en série SS » sont-ils indépendants ?
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a) P(G ∩ S) = 80300 = 415.
b) PG(S) = 80155 = 1631 ≈ 0,516.
c) P(F) = 145300, P(S) = 180300 = 0,6, P(F ∩ S) = 100300 = 13 ≈ 0,333.
P(F) × P(S) = 145300 × 0,6 = 0,29. Comme 0,29 ≠ 0,333, les événements ne sont pas indépendants : les filles sont proportionnellement plus nombreuses en série SS.
3Exercice 3
À Nzérékoré, pendant la saison des pluies, il pleut le matin avec une probabilité de 0,7. S'il pleut, le taxi de Hawa arrive en retard avec une probabilité de 0,4 ; s'il ne pleut pas, avec une probabilité de 0,1.
a) Construis l'arbre pondéré.
b) Calcule la probabilité que le taxi soit en retard.
c) Le taxi est en retard. Quelle est la probabilité qu'il ait plu ?
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a) Premier niveau : P (pluie) : 0,7 ; P : 0,3. Second niveau : après P, R (retard) : 0,4 et R : 0,6 ; après P, R : 0,1 et R : 0,9.
b) P(R) = 0,7 × 0,4 + 0,3 × 0,1 = 0,28 + 0,03 = 0,31.
c) PR(P) = P(P ∩ R)P(R) = 0,280,31 ≈ 0,903.
4Exercice 4
Un QCM comporte 5 questions indépendantes ; chacune a 3 réponses possibles, dont une seule est juste. Sékou répond au hasard à chaque question.
a) Quelle est la probabilité qu'il ait exactement 3 bonnes réponses ?
b) Quelle est la probabilité qu'il ait au moins une bonne réponse ?
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Chaque question est une épreuve à deux issues, de succès p = 13, répétée 5 fois de façon indépendante.
a) P(3 succès) = C53 (13)3 (23)2 = 10 × 127 × 49 = 40243 ≈ 0,165.
b) P(aucune) = (23)5 = 32243, donc P(au moins une) = 1 - 32243 = 211243 ≈ 0,868.
5Exercice 5
(Type BAC) On dispose de deux urnes. L'urne U1 contient 3 boules blanches et 2 noires ; l'urne U2 contient 1 boule blanche et 4 noires. On lance un dé équilibré : si l'on obtient 6, on tire une boule dans U1 ; sinon, on tire une boule dans U2.
a) Construis l'arbre pondéré de l'expérience.
b) Montre que la probabilité de tirer une boule blanche est 415.
c) On a tiré une boule blanche. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de U1 ?
d) On répète 4 fois l'expérience complète, de façon indépendante (en remettant la boule). Calcule la probabilité d'obtenir exactement 2 boules blanches, puis au moins une boule blanche (résultats arrondis à 0,001).
Voir le corrigéCacher le corrigé
a) Premier niveau : U1 : 16 ; U2 : 56. Second niveau : après U1, B : 35 et N : 25 ; après U2, B : 15 et N : 45.
b) P(B) = 16 × 35 + 56 × 15 = 330 + 530 = 830 = 415.
c) PB(U1) = P(U1 ∩ B)P(B) = 330830 = 38 = 0,375.
d) Épreuves répétées : n = 4, p = 415, 1 - p = 1115.
Exactement 2 blanches : C42 (415)2 (1115)2 = 6 × 16225 × 121225 = 11 61650 625 ≈ 0,229.
Au moins une blanche : 1 - (1115)4 = 1 - 14 64150 625 = 35 98450 625 ≈ 0,711.
Cherche d’abord seul, sur ton cahier, puis ouvre le corrigé pour comparer.
6Je vérifie
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